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本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 第一课时第一课时 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 学习要求学习要求 1通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值单离散型随机变量的均值 2掌握二项分布及超几何分布的均值掌握二项分布及超几何分布的均值 3会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题题 学法指导学法指导 离散型随机变量的均值是离散型随机变量取值的平均水离散型随机变量的均值是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得均值利用随平，可以利用离散型随机变量的分布列求得均值利用随机变量的均值可以帮助我们对实际问题做出决策机变量的均值可以帮助我们对实际问题做出决策. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 填一填填一填 知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点 1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 (1)设随机变量设随机变量 X 的可能取值为的可能取值为 a1，a2，ar，取，取 ai的概率的概率为为 pi (i1,2， ， r)， 即， 即 X 的分布列为的分布列为_ (i1,2， ，r) 定义定义 X 的均值为的均值为_a1p1a2p2arpr， X 的均值也称作的均值也称作 X 的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)，记作，记作_ (2)均值均值 EX 刻画的是刻画的是 X 取值的取值的“_”，这是随机，这是随机变量变量 X 的一个重要特征的一个重要特征 P(Xai)pi a1P(Xa1)a2P(Xa2)arP(Xar) EX 中心位置中心位置 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 填一填填一填 知识要点、记下疑难点知识要点、记下疑难点 2二项分布、超几何分布的均值二项分布、超几何分布的均值 (1)若若 XB(n，p)，则，则 EX_； (2)若随机变量若随机变量 X 服从参数为服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则的超几何分布，则它的均值它的均值 EX_. np nMN 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 探究点一探究点一 离散型随机变量的均值公式及性质离散型随机变量的均值公式及性质 问题问题 1 某商场要将单价分别为某商场要将单价分别为 18 元元/kg、 24元元/kg、 36 元元/kg的的 3 种糖果按种糖果按 321 的比例混合销售，如何对混合糖果的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？定价才合理？ 答 由于平均在每 1 kg 的混合糖果中，3 种糖果的质量分别是12 kg、13 kg 和16 kg， 所以混合糖果的合理价格应该是 18122413361623(元/kg) 这里的 23 元/kg 就是混合糖果价格的均值 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 问题问题 2 离散型随机变量的均值有什么作用？离散型随机变量的均值有什么作用？ 答 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 EXx1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映了离散型随机变量 X 取值的平均水平 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 问题问题 3 若一组数据若一组数据 xi(i1,2，n)的平均数为的平均数为x，那么另，那么另一组数据一组数据 axib(a、b 是常数且是常数且 i1,2，n)的平均数为的平均数为axb.那么离散型随机变量那么离散型随机变量 YaXb 是否也具有类似性是否也具有类似性质？如何证明？质？如何证明？ 答 若 YaXb，则 EYaEXb. 证明如下： X、Y 的分布列为 X x1 x2 xi xn Y ax1b ax2b axib axnb P p1 p2 pi pn 于是 EY(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pn a(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aEXb. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 例例 1 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列如下：的分布列如下： X 2 1 0 1 2 P 14 13 15 m 120 (1)求求 m 的值；的值； (2)求求 EX； (3)若若 Y2X3，求，求 EY. 解 (1)由随机变量分布列的性质，得 141315m1201，解得 m16. (2)EX(2)14(1)1301511621201730. (3)方法一 由公式 E(aXb)aEXb， 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 得得 EYE(2X3)2EX3 2173036215. 方法二 由于 Y2X3，所以 Y 的分布列如下： Y 7 5 3 1 1 P 14 13 15 16 120 所以 EY(7)14(5)13(3)15(1)1611206215. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 小结小结 对于对于 aXb 型的随机变量，可利用均值的性质求解，型的随机变量，可利用均值的性质求解，即即 E(aXb)aEXb；也可以先列出；也可以先列出 aXb 的分布列，再的分布列，再用用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 跟踪训练跟踪训练 1 已知随机变量已知随机变量 X 的分布列为的分布列为 X 1 2 3 P 12 13 16 且且 YaX3，若，若 EY2，求，求 a 的值的值 解 EX11221331653， EYE(aX3)aEX353a32， a3. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 探究点二探究点二 超几何分布的均值超几何分布的均值 例例 2 在在 10 件产品中，有件产品中，有 3 件一等品、件一等品、4 件二等品、件二等品、3 件三件三等品从这等品从这 10 件产品中任取件产品中任取 3 件，求取出的件，求取出的 3 件产品中件产品中一等品件数一等品件数 X 的分布列和均值的分布列和均值 解 从 10 件产品中任取 3 件共有 C310种结果，其中恰有 k件一等品的结果数为 Ck3C3k7，其中 k0,1,2,3. P(Xk)Ck3C3k7C310，k0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 EX072412140274031120910. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 小结小结 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 跟踪训练跟踪训练 2 在本例中，求取出的在本例中，求取出的 3 件产品中二等品件数件产品中二等品件数 的均值的均值 解 P(0)C36C31016， P(1)C14C26C31012， P(2)C24C16C310310， P(3)C34C310130， E1122310313065. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 探究点三探究点三 二项分布的均值二项分布的均值 问题问题 1 若随机变量若随机变量 XB(n，p)，怎样证明，怎样证明 EXnp? 答 EXnk0kCknpk(1p)nk，kCknnCk1n1， EXnk1npCk1n1pk1(1p)n1(k1) n1k0npCkn1pk(1p)n1knp. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 问题问题 2 若随机变量若随机变量 X 服从两点分布，怎样计算服从两点分布，怎样计算 EX? 答 两点分布是二项分布中 n1 的情况，EXp. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 例例 3 某运动员投篮命中率为某运动员投篮命中率为 p0.6. (1)求投篮求投篮 1 次时命中次数次时命中次数 的均值；的均值； (2)求重复求重复 5 次投篮时，命中次数次投篮时，命中次数 的均值的均值 解 (1)投篮 1 次，命中次数 的分布列如下表： 0 1 P 0.4 0.6 则 Ep0.6. (2)由题意，重复 5 次投篮，命中的次数 服从二项分布， 即 B(5,0.6)则 Enp50.63. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 小结小结 (1)如果随机变量如果随机变量 X 服从两点分布， 则其均值服从两点分布， 则其均值 EXp (p为成功概率为成功概率) (2)如果随机变量如果随机变量 X 服从二项分布即服从二项分布即 XB(n， p)， 则， 则 EXnp.以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程繁杂的计算过程 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 跟踪训练跟踪训练 3 甲、乙两人各进行甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标次射击，甲每次击中目标的概率为的概率为12， 乙每次击中目标的概率为， 乙每次击中目标的概率为23.记甲击中目标的次数记甲击中目标的次数为为 ，乙击中目标的次数为，乙击中目标的次数为 . (1)求求 的分布列；的分布列； (2)求求 和和 的均值的均值 解 (1)P(0)C0312318， P(1)C1312338， P(2)C2312338， P(3)C3312318. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 研一研研一研 问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效 的分布列为的分布列为 0 1 2 3 P 18 38 38 18 (2)由题意可得 B3，12，B3，23. E312321.5， E3232. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 练一练练一练 当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处 1随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数 的均值为的均值为 ( ) A0.6 B1 C3.5 D2 解析 抛掷骰子所得点数 的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 16 16 16 16 16 16 所以，E116216316416516616 (123456)163.5. C 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 练一练练一练 当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处 2 若随机变量 若随机变量 B(n,0.6)， 且， 且 E3， 则， 则 P(1)的值是的值是( ) A20.44 B20.45 C30.44 D30.64 解析 B(n,0.6)，E3，0.6n3，即 n5. 故 P(1)C150.6(10.6)430.44. C 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 练一练练一练 当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处 3设随机变量设随机变量 X 的分布列为的分布列为 P(Xk)Ck300 13k 23300k(k0,1,2，300)，则，则 EX_. 解析 由 P(Xk)Ck30013k23300k， 可知 XB300，13，EX30013100. 100 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 练一练练一练 当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处 4袋中有袋中有 20 个大小相同的球，其中记上个大小相同的球，其中记上 0 号的有号的有 10 个，记个，记上上 n 号的有号的有 n 个个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球现从袋中任取一球 表示表示所取球的标号所取球的标号 (1)求求 的分布列，均值；的分布列，均值； (2)若若 a4，E1，求，求 a 的值的值 解 (1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 的均值：E01211202110332041532. (2)EaE41，又 E32， 则 a3241，a2. 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练 第一课时第一课时 练一练练一练 当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处 1求离散型随机变量均值的步骤：求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量确定离散型随机变量 X 的取值；的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值根据公式写出均值 2若若 X、Y 是两个随机变量，且是两个随机变量，且 YaXb，则，则 EYaEXb；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值利用公式计算均值 本课时栏目开关本课时栏目开关 填一填填一填 研一研研一研 练一练练一练
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