3.5数列的综合应用

3.5 3.5 数列的综合应用数列的综合应用1. 解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.2. 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.（3）分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则(1).(1)1nnrrbar基础自测基础自测1.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年该 地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元），预计该地区自2004年起的5年内（包括2004年），农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 （ ）A.4 200元4 400元 B.4 400元4 600元C.4 600元4 800元 D.4 800元5 000元 解析解析 到2008年农民的工资性收入变为1 800（1+6%）5 2 409（元）， 其他收入变为1 350+5160=2 150（元）， 故2008年收入为4 559元.B B2. （2009广西河池模拟）设f(n)=2+24+27+23n+1 (nN N*)，则f(n)等于（ ）A. B. C. D. 解析解析 本题考查等比数列的前n项和公式等知识.由题意发 现，f(n)是一个以2为首项，公比q=23=8,项数为n+1的等比 数列的和.由公式可得B2(81)7n12(81)7n22(81)7n32(81)7n111112(1 8)2( )(81).11 87nnnnqf nSq3. 若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列， 且a+3b+c=10，则a的值为 （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析解析 由互不相等的实数a,b,c成等差数列，可设a=b- d,c=b+d,由a+3b+c=10,可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b 成等比数列可得(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0（舍去）， 所以a=-4.D4. 设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成 等差数列，则公比 （ ） A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q=-1 解析解析 由题意可得2Sn=Sn+1+Sn+2，当q1时， 解之得q=-2或q=1,当q=1时不成立.A12111(1)(1)(1)2,111nnnaqaqaqqqq即2=q+q25. (2009新郑模拟新郑模拟）某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4 个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂 成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞存活的个 数是 （ ）A.63 B.65 C.67 D.71解析解析 方法一方法一 设n小时后细胞个数为an, 则a1=22-1=3,a2=23-1=5, a3=25-1=9,a4=29-1=17, a5=217-1=33,a6=233-1=65. 方法二方法二 设n小时后细胞个数为an， 则a1=3,an=2an-1-1 (n2), an-1=2(an-1-1). an-1是公比为2的等比数列，a1-1=2. an-1=22n-1=2n，an=2n+1， a6=26+1=65.B 数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1)求an的通项公式； （2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且 T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn. 【思维启迪思维启迪】（1）运用公式 （2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系. 解解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2),题型一题型一 等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用,11nnnSSSan=1,n2.求an.两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an (n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.（2）设bn的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0,d=2,b1=3, 探究拓展探究拓展 本题重在考查等差数列、等比数列的通项公式与求前n项和的基础知识和基本运算技能.222) 1(32nnnnnTn （12分）已知f(x)=logax(a0且a1)，设f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差为2的等差数列. (1)设a为常数，求证：an成等比数列； （2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当 时,求Sn.【思维启迪思维启迪】利用函数的有关知识得出an的表达式，再 利用表达式解决其他问题. （1）证明证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2, 即logaan=2n+2,2分 可得an=a2n+2. 为定值. 所以an 为等比数列. 题型二题型二 数列与函数的综合数列与函数的综合2a222222(1) 221(2)nnnnnnaaaanaaa(2)解解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当 时，bn=(2n+2) =(n+1)2n+2.7分Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3-得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3. 12分2a22)2(n3142) 1(21)21 (216nnn探究拓展探究拓展 数列与函数和综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250 万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新 建住房面积平均比上一年增长8%.另外每年新建住房中,中 低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年 底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47, 1.0861.59)题型三题型三 数列的实际应用数列的实际应用【思维启迪思维启迪】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：(2)an0.85bn,bn=4001.08n-1.解解 （1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)50=50n+200令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.750422525502) 1(2502nnnnnSn2(1)25050250225 ,2nn nSnnn（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400(1.08)n-10.85.当n=5时，a50.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.探究拓展探究拓展 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.方法与技巧1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是 解题的关键.两类数列性质既有类似的部分，又有区别，要 在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降底解题的运算 量，从而减小差错.2.等比数列的前n项和公式要分两种情况:公比等于1和公比不 等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习.3.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组） 求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方 法的不同之处.4.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等 知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决 此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有 所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思 想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨 论”、“等价转换”等.5.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、 存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来 解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解 决实际问题.失误与防范1.数列的应用还包括实际问题,要学会建模,对应哪一类数列, 进而求解.2.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法.1.已知数列an、bn满足：a1=2,b1=1,且 (1)令cn=an+bn，求数列cn的通项公式； （2）求数列an的通项公式及前n项和公式Sn. 解解（1）当n2时， cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2 (n2) 数列cn为等差数列，首项c1=a1+b1=3,公差d=2. cn=3+（n-1）2=2n+11111311,44131.44nnnnnnaabbab) 141() 14143(1111nnnnnnnbababac, 211nnba1111311,44(2).13144nnnnnnaabnbab（2）当n时，-得：数列an-bn为等比数列，首项为a1-b1=1，公比 由（1）知：an+bn=2n+1,+得),2)(2111nbabannnn,21q.)21(1nnnba1)21() 12(2nnnannna21)21()212121()21()212()211 (2nnnS211)211 (2122)1 (nnnn.21122nnn-得：数列an-bn为等比数列，首项为a1-b1=1，公比 由（1）知：an+bn=2n+1,+得),2)(2111nbabannnn,21q.)21(1nnnba1)21() 12(2nnnannna21)21()212121()21()212()211 (2nnnS211)211 (2122)1 (nnnn.21122nnn2.已知数列an满足a1=2,且点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x 的图象上，其中n=1,2,3,. （1）证明：数列lg(1+an)是等比数列； （2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an 的通项. （1）证明证明 由于(an,an+1)在函数f(x)的图象上， an+1+1=（an+1）2. a1=2，an+11, lg（an+1+1）=2lg（an+1）. 数列lg(an+1)是公比为2的等比数列.,221nnnaaa（2）解解 由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1)Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an).3lg3lg2121nn.3112nna012132223333n211 2 222133.nn . 13,31212nnaTn3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老 储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增 加d(d0),因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2,是 一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息 政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果 固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的 储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n-2,.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. (1)写出Tn与Tn-1(n2)的递推关系式； （2）求证：Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列， Bn是一个等差数列.(1)解解 我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n2).（2）证明证明 T1=a1,对n2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an.在式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+an-1(1+r)2+an(1+r).-,得rTn=a1(1+r)n+d(1+r)n-1+(1+r)n-2+(1+r)-an即如果记则 Tn=An+Bn,其中An是以 为首项，以1+r（r0）为公比的等比数列；Bn是以 为首项， 为公差的等差数列.1(1)1(1),nnndrrarar .)1 (2121rdranrdrrdraTnn,)1 (2121nrdrdraBrrdraAnnn)1 (21rrdra12a rddrrrd1.B 2.B 3.C 4.D5.已知等比数列an的各项均为正数,数列bn满足bn=lnan，b3=18,b6=12,则数列bn前n项和的最大值等于 （ ）A.126 B.130 C.132 D.134解析解析 an是各项不为0的正项等比数列, bn=lnan是等差数列. 又b3=18,b6=12,b1=22,d=-2, (Sn)max=-112+2311=132. ,23)2(2) 1(222nnnnnSnC6.(2008衡水调研衡水调研）设y=f(x）是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)等于（ ）A.n(n+4)B.n(2n+3)C.2n(2n+3)D.2n(n+4) 解析解析 f(x)是一次函数，且f(0)=1, 设f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. f(1),f(4),f(13)成等比数列， （4k+1）2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. k0,k=2,即f(x)=2x+1. f（2），f（4），f（6），f（2n）构成以5为首 项，4为公差的等差数列.).32(2) 145()2()4()2(nnnnnfffB7.11 985 8.4 9019.设等差数列an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. （1）若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式； （2）若a16,a110,S1477,求所有可能的数列an的通 项公式. 解解 （1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0. 解得 a1=20,d=-2,因此an的通项公式是 an=22-2n,（n=1,2,3,） （2）由 得即解得 又dZ,故d=-1.10a112,a1Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3）.14111770 ,6Saa601011132111adada122020211132111adada,131711d10.（1） （2）证明 由 知对任意正整数n,an都不是 的整数倍. 所以sinan0,从而bn=sinansinan+1sinan+20. 于是 612 nan612 nannnnnnnnnnnaaaaaabbsinsinsinsinsinsinsinsin3213211（n=1,2,3,）. 1sin)sin(nnaa,4165sin2sin6sin1b又 bn是以 为首项，-1为公比的等比数列.11.（1）an=2n (2)存在最大正整数k=5使 恒成 立.12.(2008大庆模拟大庆模拟）已知数列an的前n项和为Sn，且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn (nN*). (1)求证：数列 为等比数列；（2）求数列an的通项公式及前n项和Sn；4) 1(1nnb4112kTnnSn（n=1,2,3,） （3）若数列bn满足： (nN*),求数列bn的通项公式.（1）证明证明 将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得 (nN*).又由已知所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列.（2）解解 由（1）的结论可得 Sn=n2n-1，当n2时，nSbnbbnnn1,2111nSnSnn211，S111nSn12,nnSnan=Sn-Sn-1=n2n-1-（n-1）2n-2=2n-2（n+1）.由已知，a1=1,又当n=1时，2n-2(n+1)=1,an=(n+1)2n-2 (nN*).(3)解解 由 得由此式可得)(1*1NnnSbnbnnn,2111nnnnbnb,221321nnnnbnb,2121nnnnbnb,2232323bb把以上各等式相加得，2 2212.21bb.22221222332bnbnnn,212121,2111nnnbb(21)()2nnnbn*N返回