13第三章 第五节

第五节二次函数的简单综合题考点一考点一 二次函数的实际应用问题二次函数的实际应用问题例例1 1 (2018(2018福建福建A A卷卷) )如图，在足够大的空地上有一段长为如图，在足够大的空地上有一段长为a a米的旧墙米的旧墙MNMN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCDABCD，其中其中ADMN.ADMN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100100米木栏米木栏(1)(1)若若a a2020，所围成的矩形菜园的面积为，所围成的矩形菜园的面积为450450平方米，求所平方米，求所利用旧墙利用旧墙ADAD的长；的长；(2)(2)求矩形菜园求矩形菜园ABCDABCD面积的最大值面积的最大值【分析分析】(1)(1)设设ADAD长为长为x x米，根据矩形的周长米，根据矩形的周长和面积计算公式计算和面积计算公式计算ADAD的长，注意的长，注意ADAD的长小的长小于旧墙于旧墙MNMN的长度；的长度；(2)(2)根据矩形根据矩形的面积公式的面积公式列代数式，再求函数的最值即可列代数式，再求函数的最值即可【自主解答自主解答】解：解：(1)(1)设设ADADx x米，则米，则ABAB 米米依题意，得依题意，得 450.450.解得解得x x1 11010，x x2 290.90.因为因为a a2020，xaxa，所以，所以x x2 29090不合题意，舍去不合题意，舍去故所利用旧墙故所利用旧墙ADAD的长为的长为1010米米100 x2x(100 x2 ）(2)(2)设设ADADx x米，则米，则0 0 xaxa，所以矩形菜园所以矩形菜园ABCDABCD的面积的面积S S (x(x2 2100 x)100 x) (x(x50)50)2 21 250.1 250.()()若若a50a50，则当，则当x x5050时，时，S S最大最大1250.1250.()()若若0 0a a5050，则当，则当0 0 xaxa时，时，S S随随x x的增大而增大的增大而增大x100 x2（）1212故当故当x xa a时，时，S S最大最大50a50a a a2 2. .综上，当综上，当a50a50时，矩形菜园时，矩形菜园ABCDABCD的面积的最大值是的面积的最大值是1 2501 250平方米平方米当当0 0a a5050时，矩形菜园时，矩形菜园ABCDABCD的面积的最大值是的面积的最大值是(50a(50a a a2 2) )平方米平方米1212例例2 2(2018(2018连云港连云港) )已知学校航模组设计制作的火箭的升空已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度高度h(h(m m) )与飞行时间与飞行时间t(t(s s) )满足函数表达式满足函数表达式h ht t2 224t24t1.1.则下列说法中正确的是则下列说法中正确的是( () )A A点火后点火后9 9 s s和点火后和点火后13 13 s s的升空高度相同的升空高度相同B B点火后点火后24 24 s s火箭落于地面火箭落于地面C C点火后点火后10 10 s s的升空高度为的升空高度为139 139 m mD D火箭升空的最大高度为火箭升空的最大高度为145 145 m m【分析分析】分别求出分别求出t t9 9、1313、2424、1010时时h h的值可判断的值可判断A A、B B、C C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D D选项选项【自主解答自主解答】A A当当t t9 9时，时，h h136136；当；当t t1313时，时，h h144144，所以点火后所以点火后9 9 s s和点火后和点火后13 13 s s的升空高度不相同，此选项错的升空高度不相同，此选项错误；误；B.B.当当t t2424时，时，h h1010，所以点火后，所以点火后24 24 s s火箭离地面的火箭离地面的高度为高度为1 1 m m，此选项错误；，此选项错误；C.C.当当t t1010时，时，h h141141，此选项错，此选项错误；误；D.D.由由h ht t2 224t24t1 1(t(t12)12)2 2145145知火箭升空的知火箭升空的最大高度为最大高度为145 145 m m，此选项正确；故选：，此选项正确；故选：D.D. (2018(2018绵阳绵阳) )如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 2 m m时，时，水面宽水面宽4 4 m m，水面下降，水面下降2 2 m m，水面宽度增加，水面宽度增加_ _ m m. .4 2 4考点二考点二 二次函数与一次函数图象的交点问题二次函数与一次函数图象的交点问题例例3 3 已知直线已知直线y y2x2xm m与抛物线与抛物线y yaxax2 2axaxb b有一个公共有一个公共点点M(1M(1，0)0)，且，且ab.ab.()()求抛物线顶点求抛物线顶点Q Q的坐标的坐标( (用含用含a a的代数式表示的代数式表示) )；()()说明直线与抛物线有两个交点；说明直线与抛物线有两个交点；()()直线与抛物线的另一个交点记为直线与抛物线的另一个交点记为N N；若若1a1a ，求线段，求线段MNMN长度的取值范围长度的取值范围12【分析分析】()()把把M M点坐标代入抛物线解析式可得点坐标代入抛物线解析式可得b b与与a a的关系的关系式，可用式，可用a a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；坐标；()()联立一次函数和二次函数解析式，根据联立一次函数和二次函数解析式，根据a a与与b b之间之间的关系进行判断；的关系进行判断；()()先求得先求得N N点坐标，利用勾股定理可求点坐标，利用勾股定理可求得得MNMN2 2，利用二次函数性质可求得，利用二次函数性质可求得MNMN长度的取值范围长度的取值范围【自主解答自主解答】解：解：()()抛物线顶点抛物线顶点Q Q的坐标为的坐标为( ( ， ) )()()直线直线y y2x2xm m经过经过M(1M(1，0)0)，0 02 21 1m m，解得，解得m m2.2.yy2x2x2 2，把，把y y2x2x2 2代入代入y yaxax2 2axax2a2a，得得axax2 2(a(a2)x2)x2a2a2 20 0，( (* *) )129a4(a(a2)2)2 24a(4a(2a2a2)2)9a9a2 212a12a4 4，由由()()知知b b2a2a，又，又abab，所以，所以a0a0.b0.所以所以00，所以方程，所以方程( (* *) )有两个不相等的实数根，故直线与有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点抛物线有两个交点()()把把y y2x2x2 2代入代入y yaxax2 2axax2a2a，得得axax2 2(a(a2)x2)x2a2a2 20 0，1. 1. 已知：如图是二次函数已知：如图是二次函数y yaxax2 22x2x1 1的图象，那么的图象，那么axax2 22x2x1 10 0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标标( ( ) )C C2. 2. 已知二次函数已知二次函数y y1 1axax2 2bxbxc c与一次函数与一次函数y y2 2kxkxm(k0)m(k0)的图象相交于点的图象相交于点A(A(2 2，4)4)，B(8B(8，2)2)如图所示，则能使如图所示，则能使y y1 1y y2 2成立的成立的x x的取值范围是的取值范围是_x x2 2或或x x8 8