工业机器人关节空间的插值轨迹规划_凌家良

惠州学院学报(自然科学版)JOURNA L OF HU IZHOU UN IVERS TY第29卷第3期2009年6月Vol 291No13Jun12009惠州学院学报(自然科学版)JOURNA L OF HU IZHOU UN IVERS TY第29卷第3期2009年6月Vol 291No13Jun120092 Chirva Academic JoumaEltcLronic Publishing HouseAll rihilti.n(工业机器人关节空间的插值轨迹规划凌家良12,施荣华1,王国才1(11中南大学信息科学与工程学院，湖南 长沙 410075 21惠州学院电子科学系，广东 惠州 516015)摘 要：首先介绍了工业机器人轨迹规 划的概念及涉及到的问题，并改进关节空间的三次多项式插值轨迹规 划,提岀五次多项式插值轨迹规划，最后重点分析了含多个 途经点的插值轨迹规划、抛物线过渡轨迹规划，并进一步 完善这两种情况同时存在时的轨迹规划 。关键词：轨迹规划；关节空间；线性插值；多项式中图分类号：TP24212文献标识码：A 文章编号：1671- 5934( 2009)03- 0052- 051绪论工业机器人在执行某项操作作业时，往往会附加一些约束条件，如沿指定的路径运动，这就要对机器人的运动轨迹进行规划和协调。所谓轨迹，是指操作臂每个自由度在运动过程中每时每刻的位置、速度和加速度。而轨迹规划是根据机器人作业要求，在有障碍的环境内，按照一定的评价标准，对末端执行器在工作过程中的状态(包括位置、姿态、速度、加速度等)进行设计，寻找一条从起始状态到目标状态的无碰撞路径1。轨迹规划是运动学逆解的实际应用。运动轨迹规划的好坏直接影响机器人作业质量，比如当关节变量的加速度在规划中发生突变时,将会产生冲击2。轨迹规划涉及三个方面的问题：(1) 对机器人的任务进行描述。(2) 根据所确定的轨迹参数，在计算机内部描述所要求的轨迹。(3) 对计算机内部描述的轨迹进行实际计算，计算岀位置、速度、加速度等，生成相应的运动轨迹。轨迹规划是根据作业任务的要求，计算岀预期的运动轨迹。轨迹规划既可在关节空间3中进行，也可在直角,用这些关节函数及其一阶、坐标空间中进行。在关节空间中进行轨迹规划是指将所有关节量表示为时间的函数二阶导数描述机器人预期的运动4-5。如对抓放作业(pCkand place operation)的机器人，就比较适合于关节空间进行规划。因为我们只需要描述它的起始状态(或起始点)和目标状态(或终止点),而不考虑两点之间的运动路径。2关节空间轨迹规划关节空间中进行轨迹规划，当已知末端手臂的起始位姿和终止位姿时，由逆向运动学可求岀对应于这两位姿的各个途经点的一组关节变量。假设，每个关节都可以找到一个平滑函数 ，使得每个关节在每段路径所需的时间是相等的，即所有关节会在同一时间到达途经点，那么这些途经点就形成了机器人关节空间的路径轨迹 冋。在关节空间进行轨迹规划 ，规划的路径可能不是唯一的。对于不同期望轨迹，平滑函数 H( t)可以通过满足不同的约束条件，从而选取不同类型的关节角度函数，生成不同的运动轨迹,如图1所示。已知机器人在= 0时刻某关节角为图1某关节可能的运动轨迹收稿日期：2008- 10- 12,讲师,研究方向为移动通信技术、 计算机应用作者简介：凌家良(1977-),男,江西定南人，中南大学软件工程硕士第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# 53#H, tn时刻该关节角为 H。211五项多项式插值的轨迹规划对于每个关节的平滑函数H(t)而言,为了实现关节的平稳运动，有六个约束条件：两端点的位置约束、两端点的速度约束和两端点的加速度约束。端点的位置约束是指起始位姿和终止位姿各自所对应的关节角度。即：(2- 1),用Vh(O)和Vh吐)表H 0) = HH tn ) = H为了满足关节运动速度的连续性要求，假设机器人初始点和终止点的关节角速度为零示，即：.Vh( 0)=H( tn )= 同时为了满足式 2- 1和2- 2两端点的关节角加速度用I aH (0) = aH0aH(0)和 aH(tn)表示，即:(2-2)(2-3)第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #aH(n)= - aH(t)由这六个约束条件可以我们可以唯一确定一个五次多项式H t) = Ko + K it +23K2 t + K 3 t +45K 4 t + K 5t(2-4)aH( t),则:水2 t + 3K3 t设该路径的关节角速度为Vh( t),关节角加速度为VH(t) = Hc(t) = K1 +aH( t) = Hd( t) = 2K2 + 6K3t + 12K4f + 20K5f5)和式(2- 6)可得方程组:34+ 44t + 55t23(2-(2-5)6)由式(2- 1)、式(2- 2)式、(2- 3)分别代入式(2 - 4)、式(2-0 = K1第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #H0 = K o2K21 a( t)=230 = K1 + 2K2 tn + 3K3 tn + 4C 4 tn +23冰5羊45H= K0+K1tn+K2tn + K3 tn + K 4 tn + K5 tn23-a(t) = 2K2 + 6K3tn + 124i + 20K5tn(2-7)第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #求解式(2 - 7)方程组,可得:KiK2 =；a(t)K3K42-2a( t)右 + 10(H - H)3tn25a( t)右 + 30(Hn - H)(2-8)K542tn26(H- H0) - a( t) b所以,对于初速度及终速度为零的关节运动，满足这四约束条件的五次多项式插值函数为2 2.1一丄210(Hl+H) - 2a( t)tn35a( t) t +30( H.-H)4H t) = H + a( t) t +3t +4t +3tn42tn26 (Hn - H) - a( t) tn f第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #9)&匚 hiniimieju.mal FkcLwnX Publish in g 丨工皿 AH 门号hlA tcstncc.电讥：2-第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# 55#8*图3用抛物线过渡的线性插值轨迹至此，完成了五次多项式路径轨迹规划212含多个途经点的直线与抛物线过渡的轨迹规划有时候，我们所规划的机器人运动轨迹在中间多个点有位姿要求，比如需要绕过障碍物，如图2所示。实际上如果通过的每个路径点都做停留，则刚才所介绍的方法完全适用，但为了提高工作效率，一般要求机器人中间不能做任何停顿。针对这种情况，我们需要将上面的方法做些改进。在轨迹规划时，我们可以把每个关节上相邻的两个路径点分别看成是/起始点0和/终止点0,然后通过相应的五次多项式插值函数把路径平滑连 接起来。但是在这里情况下，/起始点0和/终止点0的关节运动速度一般不 为零。不过，我们可以通过下面几种方法获取：一是直角坐标速度通过雅可比矩阵变换成关节速度6;另外就是采用近似方法获得，即用直线连接途经点,如果途经点两侧直线斜率改变符号，则取该途经点的速度为零，否则取该途经点的速度为两个斜率的平均值对于给定了起始点和终止点的关节空间轨迹规划，使用上面所介绍的线性函数插值比较简单，容易实现。但是,单纯线性插值容易造成起始点和终止点关节速度不连续，并且加速度无限大，这样会使两端机械造成较大磨损。为了生成一条位置和速度都连续的平滑运动轨迹，需要对上面的线性函数插值方案稍加改进。策略是在线性插值的两端点的邻域内设置一段抛物线的/缓冲区0,如图3所示。由于抛物线函数对于时间的二阶导数为常数即相应区段内的加速度恒定，这样保证起始点和终止点的速度是平滑过渡的，从而使整个轨迹上的位置和速度连续。第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #为了描述方便，现假设这两段抛物线段的持续时间ta相同,加速度Sh （ t）大小相同符号相反，路径相对于时间中点th和位置中点 H是对称的。由于要保证路径轨迹的连续、光滑，即要求抛物线轨迹的终点速度必须等于线性段的速度,所以有下列关系：(2-10)H - KaH（叽=；J11其中H是对应于时间ta的关节角度，它的值可以由下式求岀H = H aH(t) # ta(2-11)1Hh = (H0 + H)(2-12)则有式（2- 10）、式（2- 11）和式（2-12）可得：Sh ( t) #2ta - Sh( t) # tf ta + (H- H ) = 0(2-13)2一般情况下，H、H和t都是按任务规划好的参数，这样，由式（2- 13）可以求解岀相应的aH（t）和t,得到相应的轨迹，即：.I./I专甘一外_ fJaH（t）#-4aH（t）# （H - H）1 = 22aH（ t）显然，为了保证ta有解，角加速度aH（ t）必须满足如下条件：(2- 14)aH（t）E竿 店(2- 15)我们分析可以得到，当式（2-15）取等号时，线性轨迹段长度缩为零，整个轨迹由两个抛物线 /缓冲区0组成,这两个抛物线/缓冲区0衔接处的斜率相等。当角加速度aH（t）取值增大时，抛物线/缓冲区0的长度会缩短，当角 加速度取无限大时，轨迹就变成一条直线。实际上，在很多情况下其预期轨迹需要将上面所述两种情况结合在一起,即轨迹包含途经点的直线和抛物线过渡的/缓冲区0,如图4所示，因此我们需要将上面的轨迹规划方案进行综合,称为含途径点的直线与抛物线过渡轨迹规划整个路径我们可以分为三段，即起始段、中间段和结束段。为了得到相应的平滑函数 五次多项式的插值约束条件。 的持续时间我们可以自己设定H（ t）,我们需要求岀如前面所述而各端点的位置是已知的，各段,在满足式2 - 15的情况下我们可以将整个路径的角加速度大小设为一个固定值，那么剩下的只要分别求岀各段的速度约束及加速度的方向。对于开始段，抛物线的末端速度应该等于直线段速度即：H- H1t12-于aH1 t12- 16由此相应可得到aH = sgn(V也-Vh ) | aH |22(H2- H )切2 -aH12- 17H - HV12 =-1td12 - -t1t12 =帖2 - t1 -t22结束段与开始段刚好相反aH = sgn(Vw -Vh) | aH|1 =td( n- 1)n2(H - H 1 )n- 1)n + aHi1)n =d (n- 1) nH - H-1itn2- 18第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# #如 1) n =td( n- 1)n 1994-2012 China Academic Jaumal Ekctronic Pub 1 shini; HouNe. All rights第3期凌家良等：工业机器人关节空间的插值轨迹规划# 57#对于中间段，不难得到以下关系2- 19图5关节机器人径多路径点a= sgn(Vbjk - Wj) | aH |Vtjik - V Hlj t =aH1 itljk -tj - tk2 23 测试数据现给岀关节机器人途经的四个作业路径点的如图5所示,其中a为起点，d为终点，速度均为0。采用含途径点的直线与抛物线过渡轨迹规划，得到相应轨迹规划结果如图6所示。=30b=20=10 =45图6测试结果(a)位移(b)加速度(c)速度1*94-2012 ChirKi Academic Journal Eltctronic Publishing House. All rights reservedJ hltpy?www.CT)ki.Et 参考文献：1 吴振彪，王正家.工业机器人M .武汉：华中科技大学出版社,2006 167- 1802 谭冠政，王越超.工业机器人时间最 优轨迹规划及轨迹控制的理论与实验研究J.控制理论与应用，2003 20( 2): 1851923 LUCA A De OROLO G. T rajectoryplann ng and control for planar robotsw ith passVe last joint J. The International Journal of Robotics Research 2002 21( 5): 575- 59Q4 王仲民，崔世钢.机器人关节空间的轨迹规划研究J.液压与机床，2005( 2): 63- 64.5 李庆龄，刘加亮.六自由度工业机器人运动学分析及仿真J.机电工程技术，2008 37( 11): 36- 386 李超，董继先.浅析机器人轨迹规划中关节空间轨迹的插值方法J.西北轻工业学院学报，2002 20( 5): 42- 447 孙树栋.工业机器人技术基础M.西安：西北工业大学出版社，2006 121- 125.=责任编辑：吴跃新The In dustrialRobot T rajectory P la nning in Joint Space1 2 1 1L ING J a- liang ，SH I Ron-hua，WANG Guo cai(1. College of Information Scienceand E ng ineering，Central South Un iversiy，Changsha410075, Hunan Ch ina;2. D eparfrient of E lectronicSciencjeH uizhou UniversityH uizhou 516015，Guangdong China)Abstrac t This paper first introduces industrial robops conceptsand re lated questions about trajectory planning It m proves cubic- polynomial interpolation about trajectory planning of joint space proposesa five- dmensional poynomial interpolation for trajectory planning，analyzes the interpolation trajectory planning including several route points and parabola transition curve It finally m proves the trajectory planning when two above casesexist at the sane timeK ey word s trajectory planning; join space linear interpolation; po lynomial1942012 China Academic Journal Ekctrank: Pub】i$hiii帛 ITodse. AIL rights reserved, http：/?wwwxnki Jiel