资源描述
3.1 3.1 变化率与导数变化率与导数 牛顿牛顿微积分的主要创始人l牛顿：牛顿：英国著名的物理学家、数学家、天文学家、哲学家。牛顿创立了经典力学体系，发现了运动三定律和万有引力定律。在数学领域中，他建立了二项式定理，并创立了微积分理论。l莱布尼兹（茨）：莱布尼兹（茨）：德意志哲学家、数学家。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是发明了微积分中使用的数学符号，因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。 微积分的主要创始人莱布尼兹(茨）l我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢球的半径增加越来越慢. .l从数学角度，如何描述这种现象呢从数学角度，如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是：334)(rrV用V 表示r得：343)(VVr问题一:气球膨胀率第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率当V从0增加到1L时，气球的半径增加了r(1)-r(0)0.62(dm)气球的平均膨胀率为)(62. 001) 0() 1 (dmrr当V从1增加到2L时，气球的半径增加了r(2)-r(1)0.16(dm)气球的平均膨胀率为)(16. 012) 1 ()2(dmrr 当气球的空气容量从当气球的空气容量从V1增加到增加到V2时，时，气球的平均膨胀率是多少？气球的平均膨胀率是多少？思考2121()()r Vr VVV问题一:气球膨胀率问题二 高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对运动员相对 于水面的高度于水面的高度 ( (单位：米单位：米) )与起与起 跳后的时间（单位：秒）存在跳后的时间（单位：秒）存在 函数关系：函数关系： hto2( )4.96.510h ttt ht 如何用运动员在某段时间内的平如何用运动员在某段时间内的平均速度粗略地描述其运动状态均速度粗略地描述其运动状态?00.512ttv 计算 和时的平均速度hto问题二:高台跳水2( )4.96.510h ttt00.5t (1)在这段时间里(0.5)(0)4.05(/ )0.50hhvm s2t (2)在1这段时间里(2)(1)8.2(/ )2 1hhvm s 思考 运动员运动员 在这段时间内的平均在这段时间内的平均速度为速度为12ttt 2121( )( )h th tvtt问题二:高台跳水 气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率和运动员在某段时间的和运动员在某段时间的平均速度平均速度是特殊的情况，我们把这一思路延伸是特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，如果上述问题的函数关系用到函数上，如果上述问题的函数关系用 表示，表示，那么问题中变化率可用式子表示，那么问题中变化率可用式子表示，2121()()f xf xxx探究活动( )f x12( )f xxx称为函数从 到 的平均变化率211xxxxxxx习惯上，用 表示， 看作是相对于是一个增量,并非 与相乘， 是一个整体符号yxl观察函数观察函数 的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?2121()()f xf xyxxxOAB直线直线AB的斜率的斜率思考平均变化率的几何意义？平均变化率的几何意义？P74( )f x平均变化率表示函数图像上两点连线的斜平均变化率表示函数图像上两点连线的斜率，即割线的斜率。率，即割线的斜率。21xxx 21()( )yf xf x 1x2x1( )f x2( )f xyx( )yf x2.求函数求函数y=5x2+6在区间在区间2，2+x 内的平均变化内的平均变化率。率。解：解：2225(2)6(526)205y205yxxxxx 则平均变化率为：随堂练习1.函数函数 在区间在区间 上的平均变化率（上的平均变化率（ ）2( )f x x1,3A. 4 B. 2 C. D.1434探究探究计算：运动员在计算：运动员在 这段时间内的平均速度，这段时间内的平均速度，并思考下面的问题：并思考下面的问题： P7365049t（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？什么问题吗？ 平均速度平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员只是粗略地描述这段时间内运动员运动的快慢，不能反映他在这段时间里运动状态，运动的快慢，不能反映他在这段时间里运动状态，需要用需要用瞬时速度瞬时速度描述运动状态。描述运动状态。 004965)0()4965(hhv（1 1）运动员在这段）运动员在这段时间里是静止的吗？时间里是静止的吗？2(2)(2)4.913.12(2)4.913.1hhtttvttt 考察考察t=2t=2附近的平均速度附近的平均速度通过列表看出平均速度的变化趋势 ：2(2)(2)4.913.1(2)24.913.1hthttvttt 0,2,2tt 时 在这段时间内02 2+tt时 ， 在，这 段 时 间 内tt我们发现，当趋近于0时，即无论 从小于2的一边，还是从大于2一边的趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定值-13.1 0limt(2)(2)13.1htht 0limt00()( )h tth tt瞬时速度瞬时速度我们用因此因此, ,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的的瞬时速度瞬时速度为：为：= 2, 0,-13.1 .tt表示“当趋近于 时 平均速度趋于确定值”示？处的瞬时变化率怎样表在函数0)(xxxf000()()limxf xxf xx 思考导数的定义导数的定义:000()()limxf xxf xx 0limxyx 0( )yf xxx我们称它为函数 在处的导数；00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 00(),fxy xx记作或即0( )yf xxx一般地，函数在处的瞬时变化率是它说明在第它说明在第2(h)2(h)附近，原附近，原油温度大约以油温度大约以3 3 0 0C/HC/H的速的速度下降；在第度下降；在第6(h)6(h)附近，附近，原油温度大约以原油温度大约以5 5 0 0C/HC/H的的速度上升。速度上升。关键是求出：关键是求出：例例1 1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 (h)时，原油的温度（单位：0C）为 .计算第2(h)和第6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。(2)(6)ff；2( )715(08)yf xxxx )2(fxfxf)2()2(0limx)6(fxfxf)6()6(0limxx1.通过本节课的学习你有哪些收获？通过本节课的学习你有哪些收获？ 课堂小结平均变化率、瞬时变化率（即导数）平均变化率、瞬时变化率（即导数）体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成体会了函数思想、逼近思想方法、概念形成过程中的抽象概括过程中的抽象概括课后作业1.必做题必做题13，选做题选做题452.上网查阅微积分创始人的有关资料上网查阅微积分创始人的有关资料
展开阅读全文