初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第19讲 转化灵活的圆中角

第十九讲 转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来熟悉以下基本图形、基本结论注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探讨【例题求解】【例1】 如图，直线AB与O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在O上，且AOC40，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交O于另一点D，则使DE=DO的点正共有 个 思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与O有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在O内)、在BA或AB的延长线上(E点在O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例2】 如图，已知ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如下五个结论：FMC=45；AE+AFAB；2BM2=BFBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是( ) A2个 B3个 C4个 D5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证1 / 7注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择【例3】 如图，已知四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面积思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键【例4】 如图，已知AB是O的直径，C是O上的一点，连结AC，过点C作直线CDAB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O于点F，连结AF与直线CD交于点G (1)求证：AC2=AGAF；(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC； （2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键 注：构造直径上90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相交于一点Q，设AD与CF的交点为P 求证：（1）；(2) 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形(1) 证明QDEACF；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定学历训练1一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的一点，则1+2= 3如图，AB是O的直径，弦CDAB，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为 4如图，已知ABC内接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，设O的半径为，AB的长为，用的代数式表示，= 5如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于( )A120 B136 C144 D1506如图，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC等于( ) A20 B30 C40 D507如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则D的度数为( ) A60 B 120 C 135 D150 8如图，O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F给出下列四个结论：CH2=AHBH；AD=AC；AD2=DFDP； EPC=APD，其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9如图，已知B正是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高 (1)求证：ACBC=BECD；(2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直径BE的长 10如图，已知AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC (1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是ABC的外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长 11如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tanAPBtanCPD= 12如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=，则四边形ABCD的面积为 13如图，圆内接四边形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，则BC= 14如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，B=40，则A等于( ) A60 B50 C80 D70 15如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若APD=60，则O的面积为( ) A25 B16 C15 D13 (2001年绍兴市竞赛题)16如图，AD是RtABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与GDE相似的三角形的个数为( ) A5 B4 C3 D217如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD的面积 18如图，已知ABCD为O的内接四边形，E是BD上的一点，且有BAE=DAC 求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD19如图，已知P是O直径AB延长线上的一点，直线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E (1)求证：PAPB=POPE；(2)若DECF，P=15，O的半径为2，求弦CF的长 20如图，ABC内接于O，BC=4，SABC=，B为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分ADC，交O于点E，交AC于点F (1)求B的度数； (2)求CE的长； (3)求证：DA、DC的长是方程的两个实数根 参考答案 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！