数学：51《任意角及其度量》弧度制教案（沪教版高中一年级 第二学期）

5.1(2) 弧度制 一、教学内容分析本节课的内容主要是学习角的一种新的度量.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难.本堂课首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，可通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量方法比应用角度制的度量方法更具有优越性.二、教学目标设计(1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；(2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.三、教学重点及难点重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化难点：弧度制定义的理解四、教学流程设计实例引入概念辨析巩固练习总结提炼作业及反馈拓展与思考五、教学过程设计 一、情景引入回顾：我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角，的角是如何定义的？ 我们规定把周角的作为度的角把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.例：已知三角形中两个内角分别为，求它的另一个内角的大小.在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位二、学习新课1、概念形成n 弧度制的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，弧所对的圆心角就是弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度图1的弧度数 的弧度数 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ （易证以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关）因为，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单问题：试用角的弧度数表示扇形的面积公式.扇形面积公式：.2、角度制与弧度制的互化用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算我们已经知道：若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2，得若将等式两边同除以180，得；同理，若将等式两边同除以，得（即）例1：把角化为弧度制.答：.例2：把角化为角度制.答：.说明在进行角度制与弧度制互化时要抓住这个关键下面请大家写出一些特殊角的弧度数角度 弧度 按从左至右顺序其答案是：、今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“”通常省略不写，而只写相应的弧度数例如：角就表示是弧度的角，就表示弧度的角的余弦，即例3：计算下列各式的值(1) (2) (精确到)答： (1) ；（2）.说明第（2）小题使用计算器计算，教师可提醒学生注意计算器的设置，需根据问题，选择角度制还是弧度制.3、角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确： 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度； 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角的大小； 不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值4、角的集合与实数集R之间的一一对应正角零角负角正数零负数用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的一一对应关系（如图2所示）图2每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应说明以后我们将要学习的三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一例4：下列各角中哪几个是第二象限角？(1) (2) (3) (4) (5) (6) 答：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 从而可知(2)、(4)、(5)所给的角在第二象限内.说明： 用弧度制表示终边重合的角的方法； 把一角化为形式，其中，从而可判断角所在的象限 在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如 写法不妥例5：填空(1) 在内与终边重合的角是_.(2) 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是_.(3) 在扇形中，弧长为，则此扇形内切圆的面积是_.答：(1) ；(2) ；(3).三、巩固练习练习5.1（2）四、课堂小结（1）弧度制的定义；（2）弧度制与角度制之间的互化（）；（3）扇形弧长公式：，扇形面积公式：；（4）掌握用弧度制表示终边重合的角；（5）理解弧度制的思想.五、课后作业练习册 P1315习题5.1 A组 1.(2)，3，4，5，7习题5.1 B组 3，4六、教学设计说明1、 要使学生理解弧度制与引入弧度制的必要性.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难. 首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是六十进制，而弧度制却是十进制；其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，通过弧度制与角度制对比分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法具有优越性；2、 关于弧度制与角度制之间互化，教学时要抓住这个关键引导学生.3、 教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致.