5.第22课时 矩形、菱形、正方形

第22课时 矩形、菱形、正方形 第七章 图形的变化 考点特训营 考点精讲 矩形、菱形、正方形 矩形 菱形 正方形 四边形之间的转化关系 中间四边形 边：矩形的对边平行且相等 ABCD,ADBC ABCD,AD_ 角：四个角都是直角：ABCBCDCDA DAB90 对角线：矩形的对角线相等且互相平分：ACBD， OAOC，OBOD 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形， 有_条对称轴 性质 BC 2 有一个角是_的平行四边形是矩形 判定 有三个角都是直角的四边形是矩形 对角线_的四边形是矩形 面积：S=_（a、b分别表示长和宽） 直角 互相平分且相等 ab 边 菱形的四条边都相等:AB=BC=CD=DA 对边平行：ABCD,ADBC 性质 角：对角相等DAB=DCB,ADC=ABC 对角线 对称性 判定 面积 菱形的对角线互相垂直且_ ACBD AOCO,DOBO 对角线平分一组对角 AC平分DAB与_ BD平分ABC与ADC 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有_ 条对称轴 平分 DCB 2 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 平行四边形ABCD _ 四边形ABCD是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 四边形ABCD ABBCCDAD 四边形ABCD是菱形 面积：S_(m、n分别表示两条对角线的长) ACBD 12mn 边 四条边都相等:AB=BC=CD=DA 对边平行：ABCD,ADBC 性质 角：四个角都是直角： ABC=BCD=CDA=DAB=90 对角线 对称性 判定 面积 ACBD 对角线互相_且相等 AO=CO,DO=BO AC=BD 对角线平分一组对角 DAC=BAC=_,DCA=BCA=45 ADB=CDB=_,ABD=CBD=45 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴 垂直平分 45 45 有一个角是_的菱形是正方形 有一组邻边_的矩形是正方形 有一组邻边_,并且有一个角是_的平行四边形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形: 矩形ABCD _ 四边形ABCD是正方形 直角(或90) 相等 相等 直角(或90) ACBD 对角线相等的菱形是正方形： 菱形ABCD AC=BD 四边形ABCD是正方形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形： ACBD AO=CO,DO=BO 四边形ABCD是正方形 AC=BD 面积：S_ (a表示正方形边长) a2 相等 直角 直角 相等 中点四边形：平行四边形的中点四边形为平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的 中点四边形是正方形. 重难点突破 一 与矩形有关的证明及计算（重点） 例1如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，对角线AC，BD 交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE （1）求证：四边形ABCD是矩形； 【思维教练】可利用三个角是直角的四边形是矩形来证明； 自主作答: 例1题图 (1)证明：ADBC， ABCBAD180， ABC90， BAD90， BADABCADC90， 四边形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求OEC的面积 【思维教练】作OFBC于F求出EC、OF的长，然后利用三角形的面积公式求解即可. 自主作答： (2)解：如解图，作OFBC于点F. 四边形ABCD是矩形， CDAB2，BCD90， ACBD, AOBOCODO, BFFC, OF CD1， DE平分ADC，ADC90， EDC45，在RtEDC中，ECCD2， OEC的面积 EC OF1. 例1题解图 1212满 分 技 法 对于以矩形为背景的相关计算，要掌握以下内容： 1.矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长； 2.矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形； 3.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形； 4.当已知条件中有一个角为30时，应联想到“在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质. 练习1如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6，BC=8，则AEF的周长为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 练习1题图 C 【解析】四边形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC，在RtBAD中， BD 10， ODOAOB5，E、F分别是AO，AD的中点，EF OD ，AE ，AF4，AEF周长为9. 2222= 68A BA D125252练习2如图，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8连接AC，BD，CE平分ACD交BD于点E，则DE=_. 练习2题图 3011【解析】如解图，过点D作DFAC交CE的延长线于点F，设AC、BD相交于点O，CE平分ACD，ACEDCEDFE, DFCDAB6，AB6，BC8, ACBD 10, ODOC5, DFAC, DEFOEC， ， 且OEODDE5DE， ， 解得DE . 301122A B B C =DEDFOEOC6=55DEDE 练习2题解图 二 与菱形有关的证明及计算（重点） 例2在RtABC中，BAC=90，D是BC中点，E是AD中点，过A作AFBC,交BE的延长线于点F，连接CF. （1）求证：AEFDEB； 自主作答： 例2题图 (1)证明：AFBC， AFEDBE, E是AD的中点， AEDE， 在AEF和DEB中， AEFDEB(AAS)； =FEABEDAFEDBEAEDE （2）求证：四边形ADCF是菱形； 【思维教练】利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF=BD结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADCF是平行四边形，要证四边形ADCF为菱形，还需证得一组邻边相等，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到BD=AD=DC，从而得出结论 自主作答： (2)证明：由(1)知，AFEDBE， AFDB. AD是BC边上的中线， DBDC, AFCD.AFBC， 四边形ADCF是平行四边形， BAC90，D是BC的中点， ADDC BC， 四边形ADCF是菱形； 12（3）若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面积 【思维教练】由三角形中线的性质和菱形的性质得出SABD =SACD =SACF，得出S 菱形ADCF =S RtABC= AB AC，即可得出答案 自主作答: 12解：D是BC的中点，四边形ADCF是菱形， SABDSACDSACF, S菱形ADCFS RtABC AB AC 5410. 1212满 分 技 法 与菱形有关的计算，一般有以下三种设问：求角度；求长度（线段长或者周长）；求面积. 1.求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转化要求的角，直到找到与已知的角存在的关系； 2.求长度（线段长或者周长）时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为60，则连接120顶角所对的顶点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，在计算时可借助等边三角形的性质进行求解；连接对角线构成直角三角形，则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行求解； 3.求面积时，可直接利用S=底高来求解，也可利用菱形的两条对角线互相垂直，其面积等于对角线之积的一半来进行求解. 练习3如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则EAF等于( ) A 75 B 45 C 60 D 30 练习3题图 C 【解析】如解图，连接AC, AEBC，AFCD，且E、F分别为BC、CD的中点， ABAC，ADAC，四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，ABBCAC，ACCDAD，BD60，BAEDAF30，BAD180B120， EAFBADBAEDAF60. 故选C. 练习3题解图 练习4如图，在菱形ABCD中，BAD=120，点E、F分别在边AB、BC上，BEF与GEF关于直线EF对称，点B的对称点是G，且点G在边AD上，若EGAC，AB=2，则FG的长为. 练习4题图 【解析】四边形ABCD是菱形，BAD120，ABBCCDAD，CABCAD60， ABC，ACD是等边三角形， EGAC，AEGAGE30，BEGF60， AGF90，即FGAD，又BCAD，FGBC, 2 SABCBC FG，2 222 FG，FG . 343三与正方形有关的证明及计算（重点） 例3如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且EPB=90，作PMAD，PNAB，垂足分别为M、N （1）求证：四边形PMAN是正方形； 【思维教练】要证四边形PMAN为正方形，由已知可得NAM=90，AMP=ANP=90，可得四边形PMAN为矩形；AC平分BAD，则可得PM=PN，可证得四边形PMAN是正方形. 自主作答： 例3题图 证明： (1)四边形ABCD是正方形， BAD90，AC平分BAD， PMAD，PNAB， PMPN，PMAPNA90， 四边形PMAN是矩形， PMPN, 四边形PMAN是正方形； （2）求证：EM=BN 【思维教练】由四边形PMAN是正方形，易证得EPMBPN，即可证得：EM=BN. 自主作答： (2)四边形PMAN是正方形， PMPN，MPN90， EPB90， MPEEPNNPBEPN90， MPENPB, 在EPM和BPN中， PMAPNB90，PMPN，MPENPB， EPMBPN(ASA)， EMBN. 满 分 技 法 对于正方形性质的有关计算问题，应注意合理运用其性质及由性质得到的一些结论： 1.四边相等，四角相等且均为90； 2.对角线垂直平分且相等； 3.对角线平分一组对角得到45角； 4.边长与对角线的长度比为12. 练习5如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值为( ) A. B. C. D. 练习5题图 2212322D 【解析】如解图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则SBCESBCPSBEP，即 BE h BC PQ BE PR， BEBC，hPQPR， 即h AC BD 2 . 练习5题解图 22121212121212练习6ABC是边长为18的正三角形，点D、E分别在边AB、BC上，且BD=BE当四边形DEFG是边长为6的正方形时，点F到AC的距离为_. 练习6题图 6 3 - 6【解析】如解图，作BLAC于点L交DE于点H，交FG于点K，ABC是等边三角形，ACBCAB18，C60，BLBC sin60 ，BEBD，BED是等边三角形，BEBDDE6，BHEB sin60 HKEF6，BK 6，KLBLBK ( 6) ，BEDC60，DEAC，DEFG，FGAC，点F到AC的距离为 . 6 3 - 693333393336 3 - 6练习6题解图