第十七章勾股定理

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 （第1课时） 复习引入 前面学习了三角形的有关知识，我们知道：三角形有三个角和三条边： 问题1：三个角之间有什么关系？ 问题2：三条边之间有何关系？ A B C 毕达哥拉斯的发现 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种关系.我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系. 探究1 1 问题1 三个正方形的面积S1，S2，S3有什么关系？ S1+S2=S3 S1 S2 S3 a b c a2+b2=c2 是不是所有的直角三角形都是这样的呢？是不是所有的直角三角形都是这样的呢？ 图1 图1 探究2 2 问题2 观察右边两个图并填下表： 面积面积 图图 A B C 图1 图2 4 9 13 SC=S大正方形-4个S直角三角形 9 25 34 SA+SB=SC a b c a2+b2=c2 SC=S小正方形+4个S直角三角形 猜想 如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别为为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2 a b c 证明 （赵爽弦图） 图3 .,22,)(214,)(,2222222222cbacaabbabcabababc即：所以小正方形的面积解：大正方形的面积 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b， 斜边为斜边为c，那么，那么 222.abc即即 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方. a b c 表示为：RtABC中，C=90， 则 .222cba结论 勾股定理勾股定理 应用 1.1.成立条件成立条件： 在直角三角形在直角三角形 2.2.公式变形公式变形: : 222,acb222;bca3.3.作用作用：已知直角三角形任意两边长，：已知直角三角形任意两边长， 求第三边长求第三边长. . a b c 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”“勾”，下半部分称为“股”. .我国古代学者把直角三角我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”斜边称为“弦”. . 勾勾 股股 数学小知识 勾股定理的由来 这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，商高是公，商高是公元前十一世纪的中国人元前十一世纪的中国人. .当时中国的朝代是西周，当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期是奴隶社会时期. .在中国古代大约是战国时期西汉在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作的数学著作周髀算经周髀算经中记录着商高同周公的中记录着商高同周公的一段对话一段对话. .商高说：商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，勾广三，股修四，经隅五经隅五. .”商高那段话的意思就是说：当直角三角商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，（长边）时，径隅（就是弦）则为径隅（就是弦）则为5 5. .以后人们就简单地把这个以后人们就简单地把这个事实说成事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”. .由于勾股定理的内容由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做做“商高定理商高定理”. . 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是）是古希腊数学家，他是公元前五世古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年. .希腊另一位数学家欧几里德希腊另一位数学家欧几里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右，是公元前三百年左右的人）在编著的人）在编著几何原本几何原本时，时，认为这个定理是毕达哥达斯最早认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了流传开了. . 美国第二十任总统加菲尔德（美国第二十任总统加菲尔德（1831-1881）的证法在数学史）的证法在数学史上被传为佳话上被传为佳话 .人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法. 有趣的总统证法有趣的总统证法 b c a b c a A B C D 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的勾股方囿图注中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.年的国际数学家大会将此图作为大会会徽 巩固练习巩固练习 教材P24 练习1、2题 课堂小结 1、勾股定理的内容是什么？ 2、勾股定理总结的是什么数量关系？ 3、勾股定理有什么用途？ 作业 1、教科书P28第1、2、3题。 2、思考题：教科书P29 第10题