北京市师范大学亚太实验学校2021届高三数学上学期期中试题（含解析）

北京市师范大学亚太实验学校2021届高三数学上学期期中试题（含解析）试卷说明：本次考试满分150分，考试时间120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，所以.故选：A2. 已知集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，由，可得，由此列不等式求得实数的取值范围.【详解】集合，故选：C.3. 下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是（ ）A. yB. yC yD. y【答案】A【解析】【分析】画出每个函数的图象，即得解.【详解】y，y，y，y，它们的图象如图所示:由图象知，只有y在(0，)上单调递增故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4. 已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数的单调性即可得出区间.【详解】解：由正弦函数的性质得函数的单调增区间为：,所以区间可以是.故选： D【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题.5. 命题“,”的否定为（）A. , B. , C. , D. , 【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【详解】解：命题为全称命题,则命题“,”的否定为：“,”,故选：A【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础6. 已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.7. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和8. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，不等式的解集为，故选C考点：1对数函数的图象；2函数与不等式；3数形结合的数学思想9. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，所以由根存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.10. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.第二部分（非选择题 共110分）二填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，答案写在横线上11. ，三个数中最大数的是 【答案】【解析】【详解】，所以最大.12. 函数定义域是_【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于,解不等式即可【详解】解：令,解得,即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题13. 已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，则公比_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到，求得再由等比数列的前项和公式，求得，得到答案.【详解】由题意，在数列是各项均为正的等比数列，因为，可得，即，解得或（舍去），又由等比数列的前项和公式，可得.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 已知向量,若,则_.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.【详解】由题：，所以，所以，解得：.故答案为：【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.15. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_【答案】 (1). 130. (2). 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.三解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以又因为平面，平面，所以平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，所以因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17. 已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（） ；（）.【解析】【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18. 在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）, ；选择条件（）6（）, .【解析】【分析】选择条件（）根据余弦定理直接求解，（）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件（）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19. 已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，_是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由从，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【答案】见解析【解析】【分析】选择或或，求出的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.【详解】选择：因为，所以，所以令，即，所以使得的正整数的最小值为；选择：因为，所以，因为，所以不存在满足条件的正整数；选择：因为，所以，所以令，即，整理得当为偶数时，原不等式无解；当为奇数时，原不等式等价于，所以使得的正整数的最小值为【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20. 已知函数.（1）求函数图象经过的定点坐标；（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）.【解析】试题分析：（1）当时，则，即可求得顶点坐标；（2）当时，对求导，分别求出与，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数单调区间；（3）对函数求导，讨论和时，函数的单调性，进而求出，即可求出实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数的图象无论为何值都经过定点.（2）当时，.，则切线方程为，即.在时，如果，即时，函数单调递增；如果，即时，函数单调递减.（3），.当时，在上单调递增.，不恒成立.当时，设，.的对称轴为，在上单调递增，且存在唯一，使得.当时，即，在上单调递减；当时，即，在上单调递增.在上的最大值.，得，解得.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；数形结合(图象在 上方即可)；讨论最值或恒成立.21. 已知函数.（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值【答案】（）和.（）见解析；（）.【解析】【分析】()首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；()由题意分别证得和即可证得题中的结论；()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得a的值.【详解】（），令得或者.当时，此时切线方程为，即；当时，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（）设，令得或者，所以当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（）由（）知，所以是中较大者，若，即时，；若，即时，；所以当最小时，此时.【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.