计算机控制系统 第6章

1计算机控制系统第第6章章 离散域现代控制设计离散域现代控制设计 北京航空航天大学2本章主要内容本章主要内容 6.1 概述概述 6.2 离散系统的可控性与可观性离散系统的可控性与可观性 6.3 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计 6.4 状态观测器设计状态观测器设计 6.5 调节器设计（控制律与观测器的调节器设计（控制律与观测器的组合）组合） 6.6 计算机控制系统最优二次型设计计算机控制系统最优二次型设计 6.7 计算机控制系统的模糊控制器设计算机控制系统的模糊控制器设计计 6.8 其他智能控制方法概述其他智能控制方法概述 本章小结本章小结北京航空航天大学36.1 概述概述 现代控制理论主要是基于矩阵理论对多输入多输出系统现代控制理论主要是基于矩阵理论对多输入多输出系统进行描述、分析与设计的方法进行描述、分析与设计的方法 。 采用状态变量表示，可以得到更多的系统信息；状态方采用状态变量表示，可以得到更多的系统信息；状态方程描述对于多变量系统、复杂的非线性系统和时变系统程描述对于多变量系统、复杂的非线性系统和时变系统的分析与设计更为方便。的分析与设计更为方便。 经典控制理论的基本内容有时域法、频域法、根轨迹法、经典控制理论的基本内容有时域法、频域法、根轨迹法、描述函数法、相平面法等，研究的主要问题是稳定性问描述函数法、相平面法等，研究的主要问题是稳定性问题。现代控制理论的基本内容有系统辨识、最优控制问题。现代控制理论的基本内容有系统辨识、最优控制问题、最优滤波问题等，研究的主要问题是最优化问题。题、最优滤波问题等，研究的主要问题是最优化问题。 经典控制理论是研究控制系统输出的分析与综合的理论，经典控制理论是研究控制系统输出的分析与综合的理论，那么现代控制理论则是研究控制系统状态的分析与综合那么现代控制理论则是研究控制系统状态的分析与综合的理论。的理论。 智能控制系统是指具有某些仿人智能的工程控制与信息智能控制系统是指具有某些仿人智能的工程控制与信息处理系统。处理系统。 北京航空航天大学46.2 离散系统的可控性与可观性离散系统的可控性与可观性 本节主要内容本节主要内容 6.2.1 可控性与可达性可控性与可达性 6.2.2 可观性与可重构性可观性与可重构性 6.2.3 可控性、可观性与传递函数的关系可控性、可观性与传递函数的关系 6.2.4 采样系统可控可观性与采样周期的采样系统可控可观性与采样周期的关系关系 北京航空航天大学56.2.1 可控性与可达性可控性与可达性 给定离散系统为给定离散系统为 可控性定义：可控性定义： 对所示系统，若可以找到控制序列对所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时，能在有限时间间NT内驱动系统从任意初始状态内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状到达任意期望状态态x(N)=0，则称该系统是状态，则称该系统是状态完全可控的完全可控的（简称是可（简称是可控的控的) 。 可达性定义：可达性定义： 对所示系统，若可以找到控制序列对所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时，能在有限时间间NT内驱动系统从任意初始状态内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状到达任意期望状态态x(N)，则称该系统是状态，则称该系统是状态完全可达的完全可达的。 应当指出，可控性并不等于可达性。由定义知，可控性实质上是应当指出，可控性并不等于可达性。由定义知，可控性实质上是可达性的一个特例，即如果系统是可达的，则其一定是可控的可达性的一个特例，即如果系统是可达的，则其一定是可控的。 (1)( )( )x kFx kGu k( )( )( )y kCx kDu k北京航空航天大学66.2.1 可控性与可达性可控性与可达性例例6-1 研究下述离散系统研究下述离散系统的可控性与可达性。的可控性与可达性。 解解 取控制序列取控制序列u(k)0，在，在k2时时，x(k)=0，系统可控系统可控。 x2 =0,k 1,无控制序列使系统到达无控制序列使系统到达x(N)0系统不可达系统不可达。12(0)011(1)( )( )(0)0000(0)xx kx ku kxx 122(0)011011(0)(0)(1)(0)(0)(0)00000(0)00 xxuxxuux 201101(0)(0)1(1)(2)(1)(1)(1)00000000 xuuxxuu 01101(1)1(2)x(3)=x(2)+(2)(2)00000000uuuu 北京航空航天大学76.2.1 可控性与可达性可控性与可达性 离散系统可控及可达应满足的条件离散系统可控及可达应满足的条件1. 可达性条件可达性条件(1)( )( )x kFx kGu k(1)(0)(0)xFxGu2-1- -10(2)(1)(1)(0)(0)(1)()(0)( )NNN iixFxGuF xFGuGux NFxFGu i-1-2(0)(1)()-(0)(-1)NNNuux NFxFG FGGMu N(0), (1), (-1)uuu N唯一存在，应满足下唯一存在，应满足下述充分必要条件：述充分必要条件：-1-2NNRWFG FGG可达性矩阵 1-2NNRrankWrank FG FGGn1 1）x x是是n n维向量，上式是维向量，上式是n n维线性方程，故维线性方程，故N N= =n n. .2 2）必须满足：）必须满足：北京航空航天大学82. 可控性条件可控性条件 6.2.1 可控性与可达性可控性与可达性-1-2(0)(1)()-(0)(-1)NNNuux NFxFG FGGu N-1-2-(0)- (0)(1)(-1)NTxF G F GFG uuu N-1-2(0)(1)(0)(-1) NNNuuFxFG FGGu N2. 2. 可控性条件可控性条件要求终值状态要求终值状态()0 x N 上述线性方程上述线性方程组有解组有解, ,必须必须C= , rankN nWn-1-2-CNWF G F G L FG完全可控完全可控充要条件充要条件可控性矩阵 若若F F 是可逆的，是可逆的，则则CRrankrankWWn表明可控性与表明可控性与可达性一致可达性一致采样系统的状态转移阵采样系统的状态转移阵F=F=e eAT AT 可逆，可逆， 采样系统的可达性与可控性一致采样系统的可达性与可控性一致. . 北京航空航天大学96.2.1 可控性与可达性可控性与可达性 可控性与可达性都描述了系统的结构特性，两者之间略有可控性与可达性都描述了系统的结构特性，两者之间略有差别差别。 对于采样系统，可控性与可达性是等价的，可用可达性矩对于采样系统，可控性与可达性是等价的，可用可达性矩阵判断可控性与可达性。阵判断可控性与可达性。 对于纯离散系统，若对于纯离散系统，若F是可逆的，可控性与可达性等价。是可逆的，可控性与可达性等价。若若F是奇异的，系统可控不一定可达；系统可达则一定可是奇异的，系统可控不一定可达；系统可达则一定可控，这时应当用定义去判断系统的可控性与可达性控，这时应当用定义去判断系统的可控性与可达性。 应当注意，系统的可控性是由系统结构决定的，简单地改应当注意，系统的可控性是由系统结构决定的，简单地改变状态变量的选取或增加控制序列的步数都不能改变系统变状态变量的选取或增加控制序列的步数都不能改变系统的可控性。的可控性。 如果已知系统是不可控的，也就没有必要去寻求控制作用，如果已知系统是不可控的，也就没有必要去寻求控制作用，唯一的办法是修改系统的结构和参数，使唯一的办法是修改系统的结构和参数，使F、G构成可控对。构成可控对。 例例6-2 北京航空航天大学106.2.2 可观性与可重构性可观性与可重构性 给定离散系统为给定离散系统为1)可观性定义可观性定义： 对所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间对所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是，则称该系统是可观的可观的。 系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系统的自由运动：无关，为此，以后可只研究系统的自由运动：( )( )( )y kCx kDu k(1)( )( )x kFx kGu k(1)( )x kFx k( )( )y kCx k(0)(0)yCx(1)(1)(0)yCxCFx( )(0)ky kCF x2)可观性条件可观性条件(0)(1)(0)( )kyCyCFxy kCF北京航空航天大学116.2.2 可观性与可重构性可观性与可重构性 已知已知 为使为使x(0)有解，要求：有解，要求： (1)式式(6-8)代数方程组一定是代数方程组一定是n维的。维的。 (2)若令若令k=n-1，则应有，则应有 可观性是由系统性质决定的。系统不可观，增加测量值也可观性是由系统性质决定的。系统不可观，增加测量值也不能使系统变为可观。不能使系统变为可观。 可观性与可达性对应，与可控性对应的有可重构性的概念。可观性与可达性对应，与可控性对应的有可重构性的概念。 可重构性的基本问题是，能否利用有限个过去测值，求得可重构性的基本问题是，能否利用有限个过去测值，求得系统当今状态系统当今状态.系统当今状态。系统当今状态。 可观一定可重构。可观一定可重构。 如果系统转移矩阵如果系统转移矩阵F是可逆的，其可观性与可重构性也是是可逆的，其可观性与可重构性也是一致的。一致的。(0), (1), ( )yyy k1 TrankranknOWC CFCFn1 TnOWC CFCF可观矩阵可观矩阵北京航空航天大学126.2.2 可观性与可重构性可观性与可重构性例例6-3 研究下述转动物体的可观性：研究下述转动物体的可观性：式中式中M是控制力矩，是控制力矩，J是转动惯量。是转动惯量。解：系统状态方程可写为解：系统状态方程可写为 ( )( )01 ( )y kCx kx k22ddJMt1122010( )001xxu txx 12,/( )xxMJu t21122(1)( )1/2( )(1)01( )x kx kTTu kx kx kT只测量角位移只测量角位移,系统输出方程为系统输出方程为 ( )C ( )10 ( )y kx kx kTO10rankrankrank21WC CFnT可观性矩阵秩为可观性矩阵秩为 系统系统可观可观 只测量角速度只测量角速度, ,系统输出方程为系统输出方程为可知系统是不可观的可知系统是不可观的Orank1Wn 北京航空航天大学136.2.3 可控可观性与传递函数的关系可控可观性与传递函数的关系1)系统组成部分系统组成部分-S1:可控可观部分可控可观部分-S2:不可控及不可观部分不可控及不可观部分-S3:可控不可观部分可控不可观部分-S4:可观不可控部分。可观不可控部分。脉冲传递函数只反映了系统中可控可观那部分状态的特性。脉冲传递函数只反映了系统中可控可观那部分状态的特性。可以证明，若传递函数的零点和极点发生对消，系统状态可以证明，若传递函数的零点和极点发生对消，系统状态可能是不可控的，也可能是不可观的，或者既是不可控的可能是不可控的，也可能是不可观的，或者既是不可控的又是不可观的。又是不可观的。 产生这些可能性的原因取决于状态变量的选择。由于状态产生这些可能性的原因取决于状态变量的选择。由于状态变量的选择不是唯一的，因而状态变量的选择就造成这些变量的选择不是唯一的，因而状态变量的选择就造成这些可能性。可能性。 例例6-5图图6-3 6-3 系统的分解系统的分解 北京航空航天大学146.2.3 可控可观性与传递函数的关系可控可观性与传递函数的关系2).表示系统可控性及可观性的另一种方式表示系统可控性及可观性的另一种方式 采用系统模态可控及可观的表示方式。采用系统模态可控及可观的表示方式。 设系统有相异特征根，通过非奇异变换设系统有相异特征根，通过非奇异变换T，可以将，可以将F阵变阵变换为对象阵：换为对象阵： 若若中没有全为零的行，中没有全为零的行，则系统全部模态都是可控的。则系统全部模态都是可控的。 系统每一个模态都通过输系统每一个模态都通过输出阵出阵C与输出与输出y相关，则系统相关，则系统是完全可观的。是完全可观的。 好处是，可以由好处是，可以由及及H阵中阵中各元素判断状态可控及可观。各元素判断状态可控及可观。 (1)( )( )( )( )x kx ku ky kHx k 11( )( ),diagix kTx kT FT 1T12, ,nT G HCT图图6-4 6-4 具有对角形系统矩阵的模态可控原理具有对角形系统矩阵的模态可控原理 北京航空航天大学156.2.4 可控可观性与采样周期的关系可控可观性与采样周期的关系采样周期要影响系统的可控性及可观性，并且可能使系统采样周期要影响系统的可控性及可观性，并且可能使系统变成不可控及不可观的变成不可控及不可观的。对于采样系统不加证明给出下述结果对于采样系统不加证明给出下述结果。 1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控及若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控及可观的充分条件是：对连续系统任意可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根个相异特征根p p、q q，下式应成立：，下式应成立：若连续系统无复根，则采样系统必定是可控及可观的。若连续系统无复根，则采样系统必定是可控及可观的。2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是可若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是可控及可观的控及可观的。如采样周期如采样周期T选取不当，系统将失去可控性及可观性选取不当，系统将失去可控性及可观性。 例例6-6pqs2jj1, 2, kkkT，北京航空航天大学166.3 状态反馈控制律的极点配置设计状态反馈控制律的极点配置设计 本节主要内容本节主要内容 6.3.1 状态反馈控制状态反馈控制 6.3.2 单输入系统的极点配单输入系统的极点配 6.3.3 多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置北京航空航天大学176.3.1 状态反馈控制状态反馈控制( )-( )( )y kC DK x kDr k(1)( )( )x kFx kGu k( )( )( )y kCx kDu k( )( )( )u kKx kLr k mp维输入矩阵维输入矩阵 p p维参考维参考输入向量输入向量 mp维状态反馈增益矩阵维状态反馈增益矩阵 令令L L=I=I得闭环系统状态方得闭环系统状态方程：程：(1)-( )( )x kF GK x kGr k1)1)闭环系统的特征方程由闭环系统的特征方程由 F-GKF-GK 决定，系统的阶次不改变决定，系统的阶次不改变, , 通过选择状态反馈增益通过选择状态反馈增益K K，可以改变系统的稳定性。，可以改变系统的稳定性。采用状态线性反馈控制采用状态线性反馈控制 给定离散系统状态方程给定离散系统状态方程 结论：结论：图图6-6 6-6 状态反馈控制系统结构图状态反馈控制系统结构图 北京航空航天大学186.3.1 状态反馈控制状态反馈控制3)3)闭环系统的可观性由闭环系统的可观性由 F-GKF-GK 及及 C-DKC-DK 决定。决定。如果开环系统是可观的，加入状态反馈控制，由于如果开环系统是可观的，加入状态反馈控制，由于K K 的不同的不同选择，闭环系统可能失去可观性。选择，闭环系统可能失去可观性。4)4) 状态反馈时闭环系统特征方程为状态反馈时闭环系统特征方程为C( )detdet0zzIFzIFGK可见，状态反馈增益矩阵可见，状态反馈增益矩阵K K 决定了闭环系统的特征根。决定了闭环系统的特征根。 可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择K K阵可以阵可以 任意配置闭环系统的特征根。任意配置闭环系统的特征根。2)2)闭环系统的可控性由闭环系统的可控性由 F-GKF-GK 及及G G 决定。决定。 可以证明，如开环系统可控，闭环系统也可控，可以证明，如开环系统可控，闭环系统也可控， 反之亦然。反之亦然。北京航空航天大学196.3.1 状态反馈控制状态反馈控制若单输入单输出系统是可控的，则该系统可用下述可控若单输入单输出系统是可控的，则该系统可用下述可控标准型描述：标准型描述： 110100000100(1)( )( )000101nnx kx ku kaaa 111detnnnnzIFza zaza( )( )Kx( )u kr kk12nKK KK111det-(-)()()0nnnnzIF GKzaKzaK由于Ki可以任意取值，闭环特征方程系数亦可为任意值，所可以任意取值，闭环特征方程系数亦可为任意值，所以，由方程系数决定的特征根即可以取任意值。以，由方程系数决定的特征根即可以取任意值。对多输入多输出系统，上述结论也是成立的，但问题更复杂。对多输入多输出系统，上述结论也是成立的，但问题更复杂。北京航空航天大学206.3.1 状态反馈控制状态反馈控制状态反馈不能改变或配置系统的零点。状态反馈不能改变或配置系统的零点。 系统传递函数的零点定义是系统有非零的状态及输入时，系系统传递函数的零点定义是系统有非零的状态及输入时，系统输出仍为零值的统输出仍为零值的z z0 0。 闭环系统零点应满足下述方程（假定闭环系统零点应满足下述方程（假定D D=0=0） 000( )-0( )0X zz I F GKGR zC0000( )-0( )( )0X zz I FGR zKX zC变量置换变量置换 方程的系数矩阵与方程的系数矩阵与K K 无关，它的解不受无关，它的解不受K K 影响，所以状态反影响，所以状态反馈不能改变或配置系统的零点。馈不能改变或配置系统的零点。由于状态反馈可以任意配置系统的极点，它为控制系由于状态反馈可以任意配置系统的极点，它为控制系统统设计提供了有效的方法设计提供了有效的方法. .状态反馈增益矩阵可以依不同状态反馈增益矩阵可以依不同要求，采用不同方法确定。要求，采用不同方法确定。 北京航空航天大学216.3.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置 极点配置法的基本思想是，由系统性能要求确定闭环系统极点配置法的基本思想是，由系统性能要求确定闭环系统的期望极点位置，然后依据期望的极点位置确定反馈增益的期望极点位置，然后依据期望的极点位置确定反馈增益矩阵矩阵K。 单输入系统，单输入系统，m=1，反馈增益矩阵，反馈增益矩阵K是一行向量，仅包含是一行向量，仅包含n个元素，可由个元素，可由n个极点唯一确定。个极点唯一确定。1系数匹配法系数匹配法 给定闭环系统期望特征方程为给定闭环系统期望特征方程为 状态反馈闭环系统特征方程为状态反馈闭环系统特征方程为 使上两式各项系数相等，可得使上两式各项系数相等，可得n n个代数方程，从而可求得个代数方程，从而可求得n n个未知系数个未知系数 K Ki i。c12( )()()()0na zzzzi i -期望特征根期望特征根det0zIFGK12nKKKK北京航空航天大学226.3.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置例例6-8 卫星单轴姿态运动方程卫星单轴姿态运动方程(设采样周期为设采样周期为T) 1122010001xxuxx 12,xx1210 xyx采样离散系统状态方程为：采样离散系统状态方程为： 21122( )(1)1( )2(1)01( )Tx kx kTu kx kx kT具有状态反馈的卫星单轴姿态具有状态反馈的卫星单轴姿态控制闭环系统特征方程为：控制闭环系统特征方程为： 2221122det21022K TK TzIFGKzK TzK T期望的闭环系统性能要求，可得连续系统期望特征根期望的闭环系统性能要求，可得连续系统期望特征根, ,并转为并转为z z平面期望特征根，得到期望特征方程：平面期望特征根，得到期望特征方程：22121.60.70za zazz北京航空航天大学236.3.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置由对应系数相等，可得下述代数方程组：由对应系数相等，可得下述代数方程组：212121222212K TK TaK TK Ta 11222121(1)101(3)3.52KaaTKaaT2 2AckermannAckermann公式公式 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K K的方法，的方法， 对于高阶系统，便于用计算机求解。对于高阶系统，便于用计算机求解。 如果单输入系统是可控的，使闭环系统特征方程为如果单输入系统是可控的，使闭环系统特征方程为c( )0a z 的反馈增益矩阵的反馈增益矩阵K K 可由下式求得：可由下式求得： 1Cc100( )KW a F12C;nnWFG FGFG G1c1( )nnna FFa Fa I北京航空航天大学246.3.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置例例6-9 利用利用Ackermann公式计算卫星单轴姿态控制系统的公式计算卫星单轴姿态控制系统的反馈增益矩阵。反馈增益矩阵。 21/ 201TTFGT22C1.50.5TTWFGGTT21C21/0.5/1/1.5/TTWTT22c121211( )0101TTa FFa Fa Iaa I121121201aaTaTaa 112Cc10( )KKKW a F2121212121/0.5/10011/1.5/aaTaTTTaaTT1212213103.52aaaaTT北京航空航天大学256.3.2 单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置3使用极点配置方法应注意的问题使用极点配置方法应注意的问题(1) 系统完全可控是求解该问题的充分必要条件系统完全可控是求解该问题的充分必要条件.若系统有不可若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。(2) 实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化为为z平面上的极点位置。平面上的极点位置。(3) 理论上，通过选择反馈增益可以使系统有任意快的时间响理论上，通过选择反馈增益可以使系统有任意快的时间响应。应。 -增大反馈增益可以提高系统的频带，加快系统的反应；增大反馈增益可以提高系统的频带，加快系统的反应； -过大的反馈增益，必然增大控制作用的幅值。控制信号过大的反馈增益，必然增大控制作用的幅值。控制信号的幅值受物理条件的限制，不能无限增大。的幅值受物理条件的限制，不能无限增大。(4) 系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较高时，应依高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。公式，利用计算机求解。北京航空航天大学266.3.3 多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置 对于对于n阶系统，最多需要配置阶系统，最多需要配置n个极点。个极点。 单输入系统状态反馈增益单输入系统状态反馈增益K矩阵为矩阵为1n维，其中的维，其中的n个元个元素可以由素可以由n个闭环特征值要求唯一确定。个闭环特征值要求唯一确定。 对于多输入系统，对于多输入系统，K阵是阵是mn维，如果只给出维，如果只给出n个特征值个特征值要求，要求，K阵中有阵中有m(n-1)个元素不能唯一确定，必须附加个元素不能唯一确定，必须附加其他条件，如使其他条件，如使K最小，得到最小增益阵；给出特征最小，得到最小增益阵；给出特征向量要求，使部分状态量解耦等。向量要求，使部分状态量解耦等。 事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、最优控制等现代多变量控制方法设计。最优控制等现代多变量控制方法设计。北京航空航天大学276.4 状态观测器设计状态观测器设计 本节主要内容本节主要内容 6.4.1 系统状态的开环估计系统状态的开环估计 6.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计 6.4.3 降维状态观测器降维状态观测器北京航空航天大学286.4.1 系统状态的开环估计系统状态的开环估计(1)( )( )x kFx kGu k( )( )( )y kCx kDu k给定离散系统状态方程给定离散系统状态方程 构造系统的一个模型构造系统的一个模型(1)( )( )x kFx kGu k状态的估计值状态的估计值 估计误差：估计误差：- xx x估计误差估计误差状态方程：状态方程：(1)( )x kFx k 如果原系统是不稳定的，那么如果原系统是不稳定的，那么观测误差将随着时间的增加而观测误差将随着时间的增加而发散。发散。 如如果果F F 阵的模态收敛很慢，观阵的模态收敛很慢，观测值也不能很快收敛将影响观测值也不能很快收敛将影响观测效果。测效果。 开环估计只利用了原系统的输开环估计只利用了原系统的输入信号，并没有利用原系统可入信号，并没有利用原系统可测量的输出信号。测量的输出信号。图图6-9 6-9 开环估计器结构图开环估计器结构图 北京航空航天大学296.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计利用观测误差修正模型的输入，构成闭环估计利用观测误差修正模型的输入，构成闭环估计. 1 预测观测器预测观测器预测观测器的基本思想是，根据测量的输出值去预估下一预测观测器的基本思想是，根据测量的输出值去预估下一时刻的状态时刻的状态,构成闭环估计。构成闭环估计。闭环观测器方程闭环观测器方程估计误差状态方程估计误差状态方程表明观测误差与表明观测误差与u(k)无关，无关，它的动态特性由它的动态特性由F-LC决定。决定。 (1)( )( )( )( )-( )( )( )x kFx kGu kL y kCx kF LC x kGu kLy knr维观测器反馈增益矩阵维观测器反馈增益矩阵 (1)- ( )x kF LC x k图图6-10 6-10 闭环状态估计器闭环状态估计器 北京航空航天大学306.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计观测误差主要是由以下几个方面的原因造成的：观测误差主要是由以下几个方面的原因造成的：1) 观测器所用的模型参数与真实系统的模型参数不能完全观测器所用的模型参数与真实系统的模型参数不能完全一致，将引起较大的观测误差。一致，将引起较大的观测误差。 2) 观测器的初始条件很难与对象的真实初始状态一致观测器的初始条件很难与对象的真实初始状态一致.对象对象初始状态是未知的，观测器的初始值通常只能设置为零初始状态是未知的，观测器的初始值通常只能设置为零.观测器的初始观测误差总是存在的。观测器的初始观测误差总是存在的。3) 对象经常受到各种干扰的影响，对象的输出中也包含各对象经常受到各种干扰的影响，对象的输出中也包含各种测量噪声。干扰及测量噪声将使观测误差不能趋于零种测量噪声。干扰及测量噪声将使观测误差不能趋于零.观测器设计的基本问题是，使观测误差能尽快地趋于零观测器设计的基本问题是，使观测误差能尽快地趋于零或最小值。或最小值。合理地确定增益合理地确定增益L矩阵矩阵,可以使观测器子系统的极点位于可以使观测器子系统的极点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。给定的位置，加快观测误差的收敛速度。 北京航空航天大学316.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计 若系统完全可观，可以选择反馈增益阵若系统完全可观，可以选择反馈增益阵L，任意配置观测器，任意配置观测器系统的极点。系统的极点。 观测器增益观测器增益L计算计算 1) 系数匹配法系数匹配法 2) Ackermann公式计算法公式计算法 由转置方式直接得出由转置方式直接得出 det0zIFLCo(0）z观测器特征方程观测器特征方程期望特征方程期望特征方程对应系数相等对应系数相等, ,得得m m个代数方程个代数方程, ,求得求得L L。T1OO( )0 01LF W1 TonWC CFCFO( )z Fz这种方法估计系统状态，将要这种方法估计系统状态，将要产生一步的延迟产生一步的延迟, ,如果将估计如果将估计的状态用于产生当前的控制，的状态用于产生当前的控制，那么与当前的观测误差无关，那么与当前的观测误差无关，因此精度稍差。因此精度稍差。 北京航空航天大学326.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计2. 现今值观测器现今值观测器 预测下一时刻的状态预测下一时刻的状态 测量测量(k+1)时刻的系统输出值时刻的系统输出值 观测误差观测误差 (k+1)时刻的观测值时刻的观测值 现今值观测器的观测误差方程现今值观测器的观测误差方程 (1)( )( )x kFx kGu k(1)y k (1)(1)y kCx k(1)(1)(1)(1)x kx kL y kCx k(1)( )( ) (1)( )( ) -( )-( )(1)x kFx kGu kL y kC Fx kGu kF LCF x kG LCG u kLy k(1)- ( )x kF LCF x k图图6-11 6-11 现今值观测器现今值观测器 北京航空航天大学336.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计 观测器极点的配置由观测器极点的配置由F CF的可观性决定。的可观性决定。 分析表明，若分析表明，若F C可观，则可观，则F CF必定也可观。必定也可观。 选择反馈增益选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点。亦可任意配置现今值观测器的极点。 现今值观测器与预测观测器的主要差别现今值观测器与预测观测器的主要差别 -预测观测器利用陈旧的预测观测器利用陈旧的y(k)测量值产生观测值。测量值产生观测值。-现今值观测器利用当前测量值现今值观测器利用当前测量值y(k+1)产生观测值。产生观测值。计算时间计算时间 0由于由于00，故现今值观，故现今值观测器不能准确实现测器不能准确实现。但采用这种观测器，但采用这种观测器，仍可使控制作用的计算减仍可使控制作用的计算减少时间延迟，比预测观测少时间延迟，比预测观测器更合理。器更合理。图图6-126-12 北京航空航天大学346.4.2 全阶状态观测器设计全阶状态观测器设计例例6-10 对卫星姿态控制系统设计全阶观测器。对卫星姿态控制系统设计全阶观测器。21/ 21 00 1TTFGCT预测观测器：预测观测器： 特征方程：特征方程： 112211-1 0011LLTTF LCLL2112(2)10zL zLL T 期望特征方程期望特征方程 2120zz112122(1)/LLT112211LTLTFLCFLL T特征方程：特征方程：2121(2)(1)0zLL TzL122121(1)/LLT 20z 若期望特征方程若期望特征方程预测观测器预测观测器现今值观测器现今值观测器122,1/LLT121,1/LLT(最少拍观测器最少拍观测器) ) 现今值观测器现今值观测器北京航空航天大学356.4.3 降维状态观测器降维状态观测器 降维状态观测器降维状态观测器-只观测部分状态，使观测器简化。只观测部分状态，使观测器简化。 设系统有设系统有p个状态可测，有个状态可测，有q=n-p个状态需要观测。个状态需要观测。11112112212222(1)( )( )(1)( )x kFFx kGu kx kFFx kG12( )( )0( )x ky kIx kp p维可测维可测q=n-pq=n-p维需观测维需观测 系统系统状态方程状态方程22222112(1)( )( )( )x kF x kF x kG u k可直接测得可直接测得可直接测得可直接测得动态方程：动态方程：输出方程：输出方程：利用全阶预测观测器方程的结果可得：利用全阶预测观测器方程的结果可得： 222122211121(1)-( )- ( )- ( )(1)x kFLFx kFLFy kGLG u kLy kL L仍为观测仍为观测器增益器增益 11111122(1)( )( )( )x kF x kG u kF x k北京航空航天大学366.4.3 降维状态观测器降维状态观测器观测误差方程观测误差方程 22222122(1)(1)(1)( )x kx kx kFLFx k单输入系统观测器增益可利用单输入系统观测器增益可利用Ackermann Ackermann 公式求得：公式求得：1121222O22-21222-1122200()01qqFF FLFF FF F 如果系统全阶状态观测器如果系统全阶状态观测器存在，那么降维状态观测存在，那么降维状态观测器也一定存在器也一定存在 例例6-116-11 对卫星姿态控制系统设计降维对卫星姿态控制系统设计降维观测器观测器设可测量状态为设可测量状态为x x1 1，用降维观测器估，用降维观测器估计状态计状态x x2 2111221221,0,1FFT FF212/2,GTGT( )0zz直接利用直接利用AckermannAckermann公式，计算可得：公式，计算可得： L =10北京航空航天大学376.5 调节器设计调节器设计（控制律与观测器的组合）（控制律与观测器的组合） 本节主要内容本节主要内容 6.5.1 调节器设计分离原理调节器设计分离原理 6.5.2 调节器系统的控制器调节器系统的控制器 6.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择北京航空航天大学386.5.1 调节器设计分离原理调节器设计分离原理 全状态反馈控制律与状态观测器组合起来构成一个完整的全状态反馈控制律与状态观测器组合起来构成一个完整的控制系统，如图所示。控制系统，如图所示。 被控对象方程为被控对象方程为 (1)( )( )( )( )( )( ) xFxGuyCxuKxkkkkkkk( )( )( )xxx kkk(1)( )( )( )( )( )( ) x kFx kGu ky kCx ku kKx k预测观测误差的预测观测误差的状态方程为状态方程为(1)- ( )x kFLC x k组合组合系统系统方程方程(1)-0( )(1)-( )( )( )0( )x kFLCx kx kGK F GKx kx ky kCx k组合系统特征方程组合系统特征方程0det0zIFLCGKzIFGKcOdet det( )( )0zIFLCzIFGKzz 图图6-13 6-13 观测器与控制律的组合观测器与控制律的组合 北京航空航天大学396.5.1 调节器设计分离原理调节器设计分离原理 分离原理分离原理 该式表明，组合系统的阶次为该式表明，组合系统的阶次为2n，它的特征方程分别由观，它的特征方程分别由观测器及原闭环系统的特征方程组成。测器及原闭环系统的特征方程组成。 反馈增益反馈增益K只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增益益L只影响观测器系统特征根。只影响观测器系统特征根。 分离原理：分离原理： -控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的极点不变控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后极点不变控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的极点不变，这就是通常的分离原理。各自的极点不变，这就是通常的分离原理。cOdet det( )( )0zIFLCzIFGKzz c( )0zO( )0z北京航空航天大学406.5.2 调节器系统的控制器调节器系统的控制器 把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器。把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器。 对对SISO系统，控制器可以看作是一个数字滤波器。系统，控制器可以看作是一个数字滤波器。 -测量输出为测量输出为y(k)，输出为，输出为u(k)(1)- ( )( )( )( ) x kF GK LC x kLy ku kKx k 控制器控制器 状态方程状态方程特征方程为特征方程为 det0zIFGKLC( )-( )( )zX zF GKLC X zLY z( )( ) U zKX z1( )( )( ) U zD zK zIFGKLCLY z数字滤波器数字滤波器 传递函数传递函数北京航空航天大学416.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择 由控制律与观测器的组合而形成的系统，其特性分别受控由控制律与观测器的组合而形成的系统，其特性分别受控制律的极点及观测器极点的影响。制律的极点及观测器极点的影响。 控制律的极点由系统期望特性确定控制律的极点由系统期望特性确定. 观测器附加了观测器极观测器附加了观测器极点点,影响闭环系统的性能必须合理地选择观测器极点。影响闭环系统的性能必须合理地选择观测器极点。 观测器和系统的初始状态相同，系统的动态响应与观测器观测器和系统的初始状态相同，系统的动态响应与观测器无关。若不相同，系统的动态响应将受观测器动态的影响。无关。若不相同，系统的动态响应将受观测器动态的影响。 (1)( )( )x kFx kGKx k(1)- ( )( )x kF GKLC x kLCx k- ( )(0)( )zI F x zzxGKx z- ( )(0)( )zI FGKLC x zzxLCx z- ( )- ( )zI FLC x zzI FLC x z- ( )(0)zI FGK x zzx(0)(0)xx( )( )x kx k观测器方程观测器方程 系统方程系统方程z z变换变换 上两式相减，可得上两式相减，可得 北京航空航天大学426.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择 通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小时间通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小时间常数的常数的(1/21/4) ，由此确定观测器的反馈增益，由此确定观测器的反馈增益L。 观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，但要求反馈增益值，但要求反馈增益L越大。过大的增益越大。过大的增益L，将增大测量噪，将增大测量噪声，降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差。声，降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差。 若观测器输出与对象输出十分接近，若观测器输出与对象输出十分接近，L的修正作用较小，则的修正作用较小，则L可以取得小些。可以取得小些。 若对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较若对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，大，L应取得大些。应取得大些。 若测量值中噪声干扰严重，则若测量值中噪声干扰严重，则L应取得小些。应取得小些。 实际系统设计实际系统设计L时，最好的方法是采用较真实的模型时，最好的方法是采用较真实的模型(包括包括作用于对象上的干扰及测量噪声作用于对象上的干扰及测量噪声)进行仿真研究。进行仿真研究。 本节讨论的问题也同样适于降维状态观测器。本节讨论的问题也同样适于降维状态观测器。 北京航空航天大学436.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择例例6-13 天线伺服系统的结构图如图所示。要求用极点配天线伺服系统的结构图如图所示。要求用极点配置法设计使系统满足下述要求：置法设计使系统满足下述要求： 超调量超调量 升起时间升起时间 调节时间调节时间 并设计降维观测器观测天线角速度并设计降维观测器观测天线角速度. 设采样周期设采样周期T。%15%r0.55st s1st 北京航空航天大学446.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择解解 依第依第2章所述，以速度回路作为被控对象，传递函数为章所述，以速度回路作为被控对象，传递函数为离散状态方程矩阵离散状态方程矩阵1) 状态反馈设计状态反馈设计取希望极点为取希望极点为利用利用MATLAB软件中的软件中的Ackerman公式程序可求得状态公式程序可求得状态反馈增益：反馈增益： 10120( )(0.11) 5(3 10)G ssss112201001020 xxuxx 12()xx，1.00.06320.073600.36791.2642FG；1,2 =0.3485 j0.3096p4.11570.2911K 12( )4.1157( )0.2911( )u kx kx k 北京航空航天大学456.5.3 控制律及观测器极点选控制律及观测器极点选择择2）设计降维观测器）设计降维观测器 系统为二阶系统，降维状态观测器是一阶环节。考虑到闭系统为二阶系统，降维状态观测器是一阶环节。考虑到闭环系统的极点要求，选择观测器极点比控制器极点模值大环系统的极点要求，选择观测器极点比控制器极点模值大4倍，找到观测器期望极点为倍，找到观测器期望极点为z0 = 0.0472. 依依Ackerman公公式可得观测器增益式可得观测器增益L。 依降维状态观测器计算公式依降维状态观测器计算公式可得：可得： 3）控制器与观测器）控制器与观测器 组合组合 依观测器方程及依观测器方程及 状态反馈控制律可状态反馈控制律可得整个控制系统结构。得整个控制系统结构。 22(1)0.0472( )0.891 ( )5.07 ( )5.07 (1)x kx ku ky ky k图图6-146-14系统结构图系统结构图北京航空航天大学466.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择12( )4.1157 ( )0.2911( )u kx kx k z z变换变换 22(1)0.21218( )8.7373 ( )5.07 (1)x kx ky ky k 222( )4.1157 ( )0.2911( )( )0.21218( )5.07( )8.7373 ( )U zY zXzzXzXzzY zY z 25.07(1.7233)( )( )0.21218zXzY zz5.07(1.7233)( )4.1157 ( )0.2911( )0.21218zU zY zY zz ( )0.29868( )5.59158( )0.21218U zzD zY zz 北京航空航天大学476.5.3 控制律及观测器极点选择控制律及观测器极点选择零初始条件零初始条件 角速度角速度初始条件初始条件X2初始条件初始条件X2角度角度角速度角速度角度角度角度角度角速度角速度角速度角速度00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.0200.020.040.060.080.10.120.140.16x1(k)t/s初始条件初始条件X200.20.40.60.811.21.41.61.82-0.2-0.100.10.20.30.40.5t/sx2(k)角速度角速度表明，在初始条件不同时，观测器对系统响应表明，在初始条件不同时，观测器对系统响应是有影响的是有影响的。 角度角度阶跃响应初值响应图图6-156-15系统的动态响应系统的动态响应北京航空航天大学486.6 计算机控制系统最优二次型设计计算机控制系统最优二次型设计 本节主要内容本节主要内容 6.6.1 概述概述 6.6.2 无限时间离散二次型最优调节器无限时间离散二次型最优调节器 6.6.3 采样系统二次型最优调节器采样系统二次型最优调节器 6.6.4 离散最优二次型调节器离散最优二次型调节器北京航空航天大学496.6.1 概述概述 最优控制将寻求一种最优控制策略，使某一性能指标最佳最优控制将寻求一种最优控制策略，使某一性能指标最佳. 性能指标常以对状态及控制作用的二次型积分表示，通常性能指标常以对状态及控制作用的二次型积分表示，通常称为二次型最优控制。称为二次型最优控制。 通常的性能指标（代价函数）：通常的性能指标（代价函数）： 离散代价函数：离散代价函数： TTT011()()( )( )( )( )d22NNNtJxtSx txt Qx tut Ru ttt1TTT011( )( )( )( )22NNNkJx Sxxk Qx kuk Ru k限制终端状态限制终端状态x xN N 状态的惩罚与限制状态的惩罚与限制 控制作用的限制控制作用的限制 为使代价函数有意义，应要求为使代价函数有意义，应要求S S、Q Q至少是对称半正定的，至少是对称半正定的，R R是对称正定的是对称正定的。 北京航空航天大学506.6.1 概述概述 终端时刻可以任意选取：终端时刻可以任意选取： -如是如是tN有限的，则称为有限时间最优代价函数有限的，则称为有限时间最优代价函数。 -如如tN趋于无限大，则称为无限时间代价函数。趋于无限大，则称为无限时间代价函数。 无限时间代价函数：无限时间代价函数： -连续系统连续系统 -离散系统离散系统 无限长时间内，系统已趋于平衡状态，没有必要对终端无限长时间内，系统已趋于平衡状态，没有必要对终端状态进行惩罚，代价函数中的第一项已无意义。状态进行惩罚，代价函数中的第一项已无意义。 TT1( )( )( )( )d02Jxt Qx tut Ru ttTT01( )( )( )( )2kJxk Qx kuk Ru k北京航空航天大学516.6.2 无限时间离散二次型最优调节器无限时间离散二次型最优调节器 代价函数变为代价函数变为 为使问题有解，被控对象及代价函数应满足下述条件：为使问题有解，被控对象及代价函数应满足下述条件：(1) 被控对象被控对象（F G）应是完全可控或可稳定的应是完全可控或可稳定的稳态解稳态解存在的必要条件存在的必要条件。(2) 控制加权阵控制加权阵R是正定的，状态加权阵是正定的，状态加权阵Q也是正定的也是正定的解存在的充分条件解存在的充分条件。 最优控制为最优控制为-常值反馈增益阵常值反馈增益阵 ( )( ) u kKx kTT01( )( )( )( )2kJxk Qx kuk Ru k稳态最优稳态最优调节器问题调节器问题T1TKG PGRG PFT-1T-MP PG G PGRG PTTT-1T-PF PF F PG G PGRG PFQTPF MFQ北京航空航天大学526.6.2 无限时间离散二次型最优调节器无限时间离散二次型最优调节器 二次型最优稳态调节器与前述极点配置所得到的结果是类二次型最优稳态调节器与前述极点配置所得到的结果是类似，但却有一些好的特性。例如：似，但却有一些好的特性。例如： -可以用于单输入单输出系统，也可以用于多输入多输可以用于单输入单输出系统，也可以用于多输入多输出系统及时变系统。改变出系统及时变系统。改变Q、R各元素相对比值可以很容易各元素相对比值可以很容易地改变系统响应。地改变系统响应。 -对无限时间的最优控制，若对无限时间的最优控制，若Q半正定，半正定，R正定，可以证正定，可以证明最优控制明最优控制 使闭环系统使闭环系统渐近稳定，同时还具有一定的相位和增益稳定裕度。渐近稳定，同时还具有一定的相位和增益稳定裕度。 -二次型最优调节器闭环极点与代价函数加权阵密切相二次型最优调节器闭环极点与代价函数加权阵密切相关，加权变化时闭环极点随之变化，形成闭环极点轨迹。关，加权变化时闭环极点随之变化，形成闭环极点轨迹。T1T( )( )u kG PGRG PFx k (1)(-) ( )x kF GK x k北京航空航天大学536.6.3 采样系统二次型最优调节采样系统二次型最优调节器器1. 采样系统最优调节器问题采样系统最优调节器问题 ( )( )( ) x tAx tBu t1( )()( )kkku tu tu ktttTT01( )( )( )( )2Jxt Qx tut Ru t dtt采样系统特点：采样系统特点：-连续被控连续被控对象及连续对象及连续积分代价函数积分代价函数寻求分段常值控制，寻求分段常值控制，使代价函数使代价函数J J最小最小。不同于离散系统最优调节器问题，不同于离散系统最优调节器问题，无法直接采用连续或无法直接采用连续或离散系统最优调节器的结果离散系统最优调节器的结果。解决问题的思路：采样系统最优调节器问题解决问题的思路：采样系统最优调节器问题离散系统最优调节器问题离散系统最优调节器问题北京航空航天大学546.6.3 采样系统二次型最优调节采样系统二次型最优调节器器TT0T0T(1)1( )( )d21( ) ( )( ) ( )( ) ( )02( ) ( )( )( )dkkkTJxQxu RukTTFx kGu kQ Fx kGu kuk