高考数学一轮复习 第3章 导数及应用 专题研究 导数的综合运用课件 理

专题研究 导数的综合运用 专专 题题 讲讲 解解 题型一题型一 导数与函数图像导数与函数图像 (2016 课标全国)函数 y2x2e|x|在2，2的图像大致为( ) 【解析】 当 x0 时，令函数 f(x)2x2ex，则 f(x)4xex，易知 f(x)在0，ln4)上单调递增，在ln4，2上单调递减，又 f(0)10，f(1)4e0，f(2)8e20，所以存在 x0(0，12)是函数 f(x)的极小值点，即函数 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为 D. 【答案】 D 状元笔记 给定解析式选函数的图像是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点 思考题 1 (2017 杭州质检)设函数 f(x)x2sinx，则函数f(x)的图像可能为( ) 【解析】 因为 f(x)(x)2sin(x)x2sinxf(x)，所以 f(x)是奇函数又因为 f(x)2xsinxx2cosx，所以 f(0)0，排除 A；且当 x0，时，函数值为正实数，排除 B；当x(，2)时，函数值为负实数，排除 D，故选 C. 【答案】 C 题型二题型二 导数与不等式导数与不等式 (1)(2018 上海春季高考题)设 a0，函数 f(x)11a 2x. 求函数 yf(x)f(x)的最大值(用 a 表示)； 设 g(x)f(x)f(x1)， 若对任意 x(， 0， g(x)g(0)恒成立，求 a 取值范围 【解析】 yf(x)f(x)11a 2x11a 2x 11a2a（2x2x）， 2x2x2，当且仅当 x0 时“”成立 当 x0 时，ymax11a22a. g(x) f(x) f(x 1) 11a 2x11a 2x111a 2x22a 2x，g(x)a 2xln2（1a 2x）22 a 2xln2（2a 2x）2 a 2xln2（a222x2）（2a 2x）2（1a 2x）20 在 x(，0恒成立 即 a222x20 在 x(，0恒成立 a2(222x)min，a22.a(0， 2 【答案】 当 x0 时，ymax112aa2 (0， 2 【讲评】 破解不等式恒成立问题需要“一构造一分类”：“一构造”是指通过不等式的同解变形，构造一个与背景函数相关的函数；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论 有时也可以利用分离参数法， 即将不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，一般地，af(x)对 xD 恒成立，只需 af(x)max；af(x)对 xD 恒成立，只需 af(x)min. (2)已知函数 f(x)ex1x3， g(x)ln(x1)2.求证： f(x)1)，则 p(x)ex11（x1）20. 所以函数 p(x)h(x)ex11x1在(1，)上单调递增 因为 h(12)e1220， 所以函数 h(x)ex11x1在(1， )上有唯一零点 x0，且 x0(12，0) 因为h(x0)0,所以ex011x01,即ln(x01)(x01). 当 x(1， x0)时， h(x)0，所以当 xx0时，h(x)取得最小值 h(x0) 所以 h(x)h(x0)ex01ln(x01)21x01(x01)20. 综上可知，f(x)ln21 且 x0 时，exx22ax1. 【思路】 令 f(x)0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性 构造函数 g(x)exx22ax1(xR)，注意到 g(0)0，只需证明 g(x)在(0，)上是增函数，可利用导数求解 【解析】 由f(x)ex2x2a，xR，得f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln2) ln2 (ln2，) f(x) 0 f(x) 2(1ln2a) 故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，) f(x)在 xln2 处取得极小值， 极小值为 f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)无极大值 设 g(x)exx22ax1，xR.于是 g(x)ex2x2a，xR. 由知当 aln21 时，g(x)最小值为 g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意 xR，都有 g(x)0， 所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 aln21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0) 又 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0. 即 exx22ax10，故 exx22ax1. 【答案】 单调递减区间为(，ln2)，单调递增区间为(ln2，)；极小值 2(1ln2a) 无极大值 略 (2)(2018 邢台摸底考试)已知函数 f(x)axex(e 为自然对数的底数) 当 a1e时，求函数 f(x)的单调区间及极值； 当 2ae2 时，求证：f(x)2x. 【解析】 当 a1e时，f(x)1exex. 令 f(x)1eex0，得 x1， 当 x0；当 x1 时，f(x)0， 所以，函数 f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)，当 x1 时，函数 f(x)有极大值2e，没有极小值 方法一： .x0 时，f(x)1，10 恒成立 .x0 时，axex2x(a2)xex， 2ae2，a20. (a2)x0，而ex0，(a2)xex0 时，令 g(x)aexx.g(x)ex（x1）x2， x1 时，g(x)0，0 x0. g(x)maxg(1)ae. 2ae2，ae2. g(x)2 恒成立，axex2x. 综上所述，f(x)2x. 方法二：令 F(x)2xf(x)ex(a2)x， .当 a2 时，F(x)ex0， 所以 f(x)2x. .当 2a2e 时，F(x)ex(a2)exeln(a2)， 当 xln(a2)时，F(x)ln(a2)时，F(x)0， 所以 F(x)在(，ln(a2)上单调递减，在(ln(a2)，)上单调递增 所以 F(x)F(ln(a2)eln(a2)(a2)ln(a2)(a2) 1ln(a2) 因为 20，1ln(a2)1ln(2e)20， 所以 F(x)0，即 f(x)2x， 综上，当 2ae2 时，f(x)2x. 【答案】 增区间(，1)，减区间(1，)，极大值2e 略 题型三题型三 导数与方程导数与方程 (2018 德州一模)已知函数 f(x)lnx12ax22x. (1)若函数 f(x)在 x2 处取得极值，求实数 a 的值； (2)若函数 f(x)在定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围； (3)当 a12时，关于 x 的方程 f(x)12xb 在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围 【解析】 (1)f(x)ax22x1x(x0)， x2 时，f(x)取得极值， f(2)0，解得 a34，经检验知符合题意 (2)函数 f(x)的定义域为(0，)， 依题意 f(x)0 在 x0 时恒成立， 即 ax22x10 在 x0 恒成立， 则 a12xx2(1x1)21 在 x0 恒成立， 即 a(1x1)21min(x0)， 当 x1 时，(1x1)21 取最小值1， a 的取值范围是(，1 (3)a12，f(x)12xb，即14x232xlnxb0. 设 g(x)14x232xlnxb(x0)， 则 g(x)（x2）（x1）2x. 列表 x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4) g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 g(x)极小值g(2)ln2b2，g(x)极大值g(1)b54. 又 g(4)2ln2b2. 方程 g(x)0 在1，4上恰有两个不相等的实数根，则g（1）0，g（2）0，g（4）0，解得 ln22b54. 【答案】 (1)34 (2)(，1 (3)ln221e， 则方程 lnxax0 的实根的个数为( ) A0 个 B1 个 C2 个 D无穷多个 【解析】 由于方程 lnxax0 等价于lnxxa.设 f(x)lnxx.f(x)1x xlnxx21lnxx2，令 f(x)0，得 xe， f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减f(x)的最大值 f(e)1e，f(x)lnxx1e(仅当 xe 时，等号成立) a1e，原方程无实根 【答案】 A (2)已知函数g(x)14x232xlnxb在1，4上有两个不同的零点，求实数b的取值范围 【解析】 g(x)14x232xlnxb(x0)， 则 g(x)（x2）（x1）2x. 列表 x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4) g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 g(x)极小值g(2)ln2b2， g(x)极大值g(1)b54. 又 g(4)2ln2b2. 方程 g(x)0 在1，4上恰有两个不相等的实数根，则g（1）0，g（2）0，g（4）0，解得 ln22b54. 【答案】 ln220)现已知相距 36 km 的 A，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数 a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和. (1)设 A，C 两处的距离为 x，试将 y 表示为 x 的函数； (2)若 a1 时，y 在 x6 处取得最小值，试求 b 的值 【解析】 (1)设点 C 处受 A 污染源的污染指数为kax，受 B污染源的污染指数为kb36x(k0) 从而点 C 处污染指数 ykaxkb36x(0 x36) (2)因为 a1，所以 ykxkb36x. yk1x2b（36x）2， 令 y0，解得 x361 b， 当 x(0，361 b)时，函数 y 单调递减， 当 x(361 b，)时，函数 y 单调递增 所以当 x361 b时，函数取得最小值 又此时 x6，解得 b25，经验证符合题意 【答案】 (1)ykaxkb36x(0 x36) (2)b25 状元笔记 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案 思考题 4 (2017 江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m，长为 10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形 ABCD(如图所示，其中 O 为圆心， C， D 在半圆上)， 设BOC， 木梁的体积为 V(单位：m3)，表面积为 S(单位：m2) (1)求 V 关于 的函数表达式； (2)求 的值，使体积 V 最大； (3)问当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 是否也最大？请说明理由 【解析】 (1)梯形 ABCD 的面积 S梯形ABCD2cos22sinsincossin，(0，2) 体积 V()10(sincossin)，(0，2) (2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1) 令 V()0，得 cos12或 cos1(舍) (0，2)，3. 当 (0，3)时，12cos0，V()为增函数； 当 (3，2)时，0cos12，V()0，V()为减函数当 3时，体积 V 最大 (3)木梁的侧面积S侧(AB2BCCD) 1020(cos2sin21)，(0，2)S2S梯形ABCDS侧2(sincossin)20(cos2sin21)，(0，2) 设 g()cos2sin21，(0，2) g()2sin222sin22， 当 sin212，即 3时，g()最大 又由(2)知 3时，sincossin取得最大值， 3时，木梁的表面积 S 最大 综上，当木梁的体积 V 最大时，其表面积 S 也最大 【答案】 (1)V()10(sin cos sin )， (0，2) (2)3时，V 最大 (3)体积 V 最大时，表面积 S 也最大 课课 外外 阅阅 读读 高考中函数与导数类解答题的答题策略 (2017 北京)已知函数 f(x)excosxx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值 解题思路研读信息 快速破题 (1)对函数求导计算切线的斜率得出切线方程 (2)对函数求导判断单调性求出最值 规范解答阅卷标准 体会规范 (1)因为 f(x)excosxx， (2)设 h(x)ex(cosxsinx)1， 第(1)问踩点得分说明： 有正确的求导式子得 2 分； 得出 f(0)0 得 1 分； 写出切线方程 y1 得 1 分 第(2)问踩点得分说明： 对新函数 h(x)ex(cosxsinx)1 求导正确得 2 分； 得出 x(0，2)时，h(x)0 得 1 分，求导出错不得分； 正确判断出函数 h(x)的单调性得 1 分； 得出 f(x)0 得 1 分； 判断出函数 f(x)在区间0，2的单调性得 1 分； 求出最大值得 1 分； 求出最小值得 1 分 满分心得把握规则 争取满分 (1)牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导， 正确的求导是解题关键， 因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题就涉及对函数的求导 (2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上， 可以直接用， 有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解 (3)写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、极值、最值、题目的结论等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚，如本题中的得分点等