高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第7课时 对数函数课件 理

第7课时 对 数 函 数 2018 考纲下载 1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性 请注意 关于对数的运算近两年新课标高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有选择题、填空题，又有解答题，且综合能力较高 课课前前自助自助餐餐 对数 (1)对数的定义 如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb (2)对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1，N0) logaabb(a0 且 a1，bR) (3)对数运算法则(a0 且 a1，M0，N0) loga(M N)logaMlogaN logaMNlogaMlogaN logaMnnlogaM (4)换底公式 logbNlogaNlogab(a0 且 a1，b0 且 b1，N0) 推论： logablogba1 logablogbclogac loganbnlogab. logambnnmlogab 对数函数 (1)对数函数的概念 函数 ylogax(a0 且 a1)叫做对数函数 (2)对数函数的图像 (3)对数函数的性质 定义域为(0，)，值域为 R 恒过定点(1，0) a1 时，ylogax 在(0，)上为增函数； 0a1，x1 时，logax0； 当 a1，0 x1 时，logax0； 当 0a1，0 x0； 当 0a1 时，logax0 且 a1，下列结论正确的是( ) 若 MN，则 logaMlogaN； 若 logaMlogaN，则 MN； 若 logaM2logaN2，则 MN； 若 MN，则 logaM2logaN2. A B C D 答案 C 解析 若 MN0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2无意义，若 logaM2logaN2，则 M2N2，即|M|N|，不正确，正确 3(1)已知 a2349(a0)，则 log23a_ 答案 3 解析 因为 a2349(a0)，所以 a(49)32(23)3， 故 log23alog23(23)33. (2)(2014 陕西)已知 4a2，lgxa，则 x_ 答案 10 解析 4a22a2，a12.lgx12，x 10. (3)若 2a5b10，则1a1b_ 答案 1 解析 2a5b10，alog210，blog510，1alg2，1blg5，1a1blg2lg51. (4)若 a1，b1，plogb（logba）logba，则 ap_ 答案 logba 4设 yloga(x2)(a0 且 a1)，当 a_时 y 为减函数；这时当 x_时，y0. 答案 (0，1) (1，) 5 (2015 北京)23， 312， log25 三个数中最大的数是_ 答案 log25 解析 因为 2312318，312 31.732，而 log242，所以三个数中最大的数是 log25. 6已知图中曲线 C1，C2，C3，C4是函数 ylogax 的图像，则曲线 C1，C2，C3，C4对应的 a 的值依次为( ) A3，2，13，12 B2，3，13，12 C2，3，12，13 D3，2，12，13 答案 B 解析 方法一：因为 C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于 1，又当 x1 时，图像越靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2对应的 a 值分别为 2，3.又因为 C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于 1，此时 x1 时，图像越靠近 x 轴，其底数越小，所以C3，C4对应的 a 分别13，12.综上可得 C1，C2，C3，C4的 a 值依次为 2，3，13，12. 方法二：可以画直线 y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大 授授 人人 以以 渔渔 题型一题型一 对数式的运算对数式的运算 计算下列各式： (1)lg25lg50lg2lg500(lg2)2； (2)log2482log53log95(3 3)237ln6ln2ln7 【解析】 (1)原式2lg5(lg51)lg2(2lg5)(lg2)2 13lg52lg2lg2(lg5lg2) 13lg53lg213(lg5lg2)4. (2)原式log2214log59log95(332)237log73 (14) log5( 533)141218. 【答案】 (1)3 (2)18 状元笔记 在对数运算中要注意的几个问题 (1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并 (2)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化 思考题 1 (1)若 logablog3a4，则 b_ (2)(log32log92) (log43log83)_ (3)5lg30(13)lg12_ (4)若 log147a，14b5，则用 a，b 表示 log3528_ 【解析】 (1)由 logablog3a4 得lgblgalgalg3log3b4，所以 b3481. (2) 原 式 (log32 12log32) (12log23 13log23) log32 2log2(312313)32lg2lg356lg3lg254. (3)设 x5lg30(13)lg125(1lg3)3lg2， 则 lgxlg5(1lg3)lg3lg2(1lg3) lg5lg2lg3 lg5lg3lg5lg2lg3lg5(lg5lg2) lg3lg5lg3lg15. x15. (4)14b5，log145b.又 log147a， log3528log1428log1435log141427log145log1472aab. 【答案】 (1)81 (2)54 (3)15 (4)2aab 【讲评】 遇到幂的乘积求值时， “取对数”也是一种有效的方法 题型二题型二 对数函数的图像对数函数的图像 (1)作出函数 ylog2|x1|的图像，由图像指出函数的单调区间， 并说明它的图像可由函数 ylog2x 的图像经过怎样的变换而得到 【解析】 作出函数 ylog2x 的图像，将其关于 y 轴对称得到函数 ylog2|x|的图像，再将图像向左平移 1 个单位长度就得到函数 ylog2|x1|的图像(如图所示) 由图知，函数 ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，) 【答案】 略 (2)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是( ) A(0，22) B(22，1) C(1， 2) D( 2，2) 【解析】 易知 0a2， 解得 a22，22a0 时，f(x)lg(x1)在(1，)上递增，排除 A，选 B. 【答案】 B (2)将例2(1)中“函数ylog2|x1|”改为“函数y|log2|x1|”，指出函数单调区间 【解析】 将 ylog2|x1|在 x 轴下方图像，作关于 x 轴对称，并去掉 x 轴下方的图像而得到 y|log2|x1|图像 单调增区间2，1)，0，)； 单调减区间(，2，(1，0 【答案】 单调增区间2，1)，0，)；单调减区间(，2，(1，0 (3)已知函数 f(x)log2x，x0，2x，x0，且关于 x 的方程 f(x)a0有两个实根，求实数 a 的取值范围 【答案】 0a1 题型三题型三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用(微专题微专题) 微专题 1： 比较大小 比较下列各组数的大小： (1)log23.4，log120.34； (2)log67，log76； (3)m0.95.1，n5.10.9，plog0.95.1； (4)若 0ab1,试确定 logab,logba，log1ba，log1ab 的大小关系. 【解析】 (1)log120.34log20.341log210034log23log661，log76log76. (3)由指数函数的性质： 00.90，00.95.11，即 0m1，而 0.90，5.10.91，即 n1. 由对数函数的性质：00.91，log0.95.10. 即 p0.综上，pmn. (4)0ab1，由对数函数的性质可知 0logablogbb1. log1ba1loga1b1logab，log1ba1. 又 log1ablogabloga1alogab，log1ab0，且|log1ab|logablog1ablog1ba. 【答案】 (1)log23.4log120.34 (2)log67log76 (3)pmlogablog1ablog1ba 状元笔记 (1)比较两个指数幂或对数值大小的方法： 分清是底数相同还是指数(真数)相同； 利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小； 当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过渡处理 (2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行 0，1分类，然后在每一类中比较大小 思考题 3 (1)若 loga( 3)logb( 3)a1 Babb1 Dba1 【解析】 031，loga(3)logb(3)a，选 A. 【答案】 A (2)(2018 成都外国语学校检测)设 alog3，b20.3，clog3sin6，则( ) Aabc Bcab Cbac Dbca 【解析】 0alog31， clog3sin6ac. 【答案】 C (3)设 a， b， c 均为正数， 且 2alog12a， (12)blog12b， (12)clog2c，则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 【解析】 a，b，c 均为正数，将 a，b，c 分别看成是函数图像的交点的横坐标 分别画 y2x，y(12)x，ylog2x，ylog12x 图像 如图 由图形可知：ab0，得 x3 或 xf(13)的解集 【解析】 y2x在(0，1)上为减函数， ylog31x1xlog31x1xlog3(12x1) 在(0，1)上也为减函数， f(x)2xlog31x1x在(0，1)上单调递减 x213.0 x33，解集为(0，33) 【答案】 (0，33) 状元笔记 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 思考题 4 (1)求 f(x)log12(32xx2)的单调区间 【解析】 函数 f(x)log12(32xx2)的定义域为x|3x1令 u32xx2，x(3，1)，则 ylog12u.因为 ylog12u 在定义域内是减函数，当 x(3，1时，u(x)(x1)24是增函数所以 f(x)在(3，1上是减函数同理，f(x)在(1，1)上是增函数 【答案】 增区间(1，1)，减区间(3，1 (2)是否存在实数 a，使得 f(x)loga(ax2x)在区间2，4上是增函数？若存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由 【解析】 设 tax2xa(x12a)214a. 若 f(x)在2，4上是增函数， 则0a0或a1，12a2，4a20，解得 a1. 存在实数 a(1，)使 f(x)在2，4上是递增函数 【答案】 存在 a(1，) (3)求函数 f(x)log2xlog 2(2x)最小值 【解析】 f(x)12log2x 2(log2x1)(log2x)2log2x(log2x12)214，当 log2x12，即 x22时，f(x)最小值为14. 【答案】 14 指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这部分基础知识相当重要 (1)搞清指数函数与对数函数的关系：即二者互为反函数，因此，图像关于直线 yx 对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的即 a1 时都为增函数，0a1 时都为减函数 (2)比较指数函数、 对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型具体做法是：底数相同指数不同时，要考虑指数函数的单调性；底、指数都不同时要借助于中间值(如 0 或 1)再不行可考虑商值(或差值)比较法；对数函数型数值间的大小关系，底相同者考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值(如 0 或 1)，或用换底公式化为同底最后可考虑比较法