高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第7课时 对数函数课件 理

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第7课时 对 数 函 数 2018 考纲下载 1理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性 请注意 关于对数的运算近两年新课标高考卷没有单独命题考查,都是结合其他知识点进行有关指数函数、对数函数的试题每年必考,有选择题、填空题,又有解答题,且综合能力较高 课课前前自助自助餐餐 对数 (1)对数的定义 如果 a(a0,a1)的 b 次幂等于 N,即 abN,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaNb (2)对数恒等式 alogaNN(a0 且 a1,N0) logaabb(a0 且 a1,bR) (3)对数运算法则(a0 且 a1,M0,N0) loga(M N)logaMlogaN logaMNlogaMlogaN logaMnnlogaM (4)换底公式 logbNlogaNlogab(a0 且 a1,b0 且 b1,N0) 推论: logablogba1 logablogbclogac loganbnlogab. logambnnmlogab 对数函数 (1)对数函数的概念 函数 ylogax(a0 且 a1)叫做对数函数 (2)对数函数的图像 (3)对数函数的性质 定义域为(0,),值域为 R 恒过定点(1,0) a1 时,ylogax 在(0,)上为增函数; 0a1,x1 时,logax0; 当 a1,0 x1 时,logax0; 当 0a1,0 x0; 当 0a1 时,logax0 且 a1,下列结论正确的是( ) 若 MN,则 logaMlogaN; 若 logaMlogaN,则 MN; 若 logaM2logaN2,则 MN; 若 MN,则 logaM2logaN2. A B C D 答案 C 解析 若 MN0,则 logaM,logaN,logaM2,logaN2无意义,若 logaM2logaN2,则 M2N2,即|M|N|,不正确,正确 3(1)已知 a2349(a0),则 log23a_ 答案 3 解析 因为 a2349(a0),所以 a(49)32(23)3, 故 log23alog23(23)33. (2)(2014 陕西)已知 4a2,lgxa,则 x_ 答案 10 解析 4a22a2,a12.lgx12,x 10. (3)若 2a5b10,则1a1b_ 答案 1 解析 2a5b10,alog210,blog510,1alg2,1blg5,1a1blg2lg51. (4)若 a1,b1,plogb(logba)logba,则 ap_ 答案 logba 4设 yloga(x2)(a0 且 a1),当 a_时 y 为减函数;这时当 x_时,y0. 答案 (0,1) (1,) 5 (2015 北京)23, 312, log25 三个数中最大的数是_ 答案 log25 解析 因为 2312318,312 31.732,而 log242,所以三个数中最大的数是 log25. 6已知图中曲线 C1,C2,C3,C4是函数 ylogax 的图像,则曲线 C1,C2,C3,C4对应的 a 的值依次为( ) A3,2,13,12 B2,3,13,12 C2,3,12,13 D3,2,12,13 答案 B 解析 方法一:因为 C1,C2为增函数,可知它们的底数都大于 1,又当 x1 时,图像越靠近 x 轴,其底数越大,故 C1,C2对应的 a 值分别为 2,3.又因为 C3,C4为减函数,可知它们的底数都小于 1,此时 x1 时,图像越靠近 x 轴,其底数越小,所以C3,C4对应的 a 分别13,12.综上可得 C1,C2,C3,C4的 a 值依次为 2,3,13,12. 方法二:可以画直线 y1,看交点的位置自左向右,底数由小到大 授授 人人 以以 渔渔 题型一题型一 对数式的运算对数式的运算 计算下列各式: (1)lg25lg50lg2lg500(lg2)2; (2)log2482log53log95(3 3)237ln6ln2ln7 【解析】 (1)原式2lg5(lg51)lg2(2lg5)(lg2)2 13lg52lg2lg2(lg5lg2) 13lg53lg213(lg5lg2)4. (2)原式log2214log59log95(332)237log73 (14) log5( 533)141218. 【答案】 (1)3 (2)18 状元笔记 在对数运算中要注意的几个问题 (1)在化简与运算中,一般先用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并 (2)abNblogaN(a0,且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意互化 思考题 1 (1)若 logablog3a4,则 b_ (2)(log32log92) (log43log83)_ (3)5lg30(13)lg12_ (4)若 log147a,14b5,则用 a,b 表示 log3528_ 【解析】 (1)由 logablog3a4 得lgblgalgalg3log3b4,所以 b3481. (2) 原 式 (log32 12log32) (12log23 13log23) log32 2log2(312313)32lg2lg356lg3lg254. (3)设 x5lg30(13)lg125(1lg3)3lg2, 则 lgxlg5(1lg3)lg3lg2(1lg3) lg5lg2lg3 lg5lg3lg5lg2lg3lg5(lg5lg2) lg3lg5lg3lg15. x15. (4)14b5,log145b.又 log147a, log3528log1428log1435log141427log145log1472aab. 【答案】 (1)81 (2)54 (3)15 (4)2aab 【讲评】 遇到幂的乘积求值时, “取对数”也是一种有效的方法 题型二题型二 对数函数的图像对数函数的图像 (1)作出函数 ylog2|x1|的图像,由图像指出函数的单调区间, 并说明它的图像可由函数 ylog2x 的图像经过怎样的变换而得到 【解析】 作出函数 ylog2x 的图像,将其关于 y 轴对称得到函数 ylog2|x|的图像,再将图像向左平移 1 个单位长度就得到函数 ylog2|x1|的图像(如图所示) 由图知,函数 ylog2|x1|的递减区间为(,1),递增区间为(1,) 【答案】 略 (2)当 0 x12时,4xlogax,则 a 的取值范围是( ) A(0,22) B(22,1) C(1, 2) D( 2,2) 【解析】 易知 0a2, 解得 a22,22a0 时,f(x)lg(x1)在(1,)上递增,排除 A,选 B. 【答案】 B (2)将例2(1)中“函数ylog2|x1|”改为“函数y|log2|x1|”,指出函数单调区间 【解析】 将 ylog2|x1|在 x 轴下方图像,作关于 x 轴对称,并去掉 x 轴下方的图像而得到 y|log2|x1|图像 单调增区间2,1),0,); 单调减区间(,2,(1,0 【答案】 单调增区间2,1),0,);单调减区间(,2,(1,0 (3)已知函数 f(x)log2x,x0,2x,x0,且关于 x 的方程 f(x)a0有两个实根,求实数 a 的取值范围 【答案】 0a1 题型三题型三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用(微专题微专题) 微专题 1: 比较大小 比较下列各组数的大小: (1)log23.4,log120.34; (2)log67,log76; (3)m0.95.1,n5.10.9,plog0.95.1; (4)若 0ab1,试确定 logab,logba,log1ba,log1ab 的大小关系. 【解析】 (1)log120.34log20.341log210034log23log661,log76log76. (3)由指数函数的性质: 00.90,00.95.11,即 0m1,而 0.90,5.10.91,即 n1. 由对数函数的性质:00.91,log0.95.10. 即 p0.综上,pmn. (4)0ab1,由对数函数的性质可知 0logablogbb1. log1ba1loga1b1logab,log1ba1. 又 log1ablogabloga1alogab,log1ab0,且|log1ab|logablog1ablog1ba. 【答案】 (1)log23.4log120.34 (2)log67log76 (3)pmlogablog1ablog1ba 状元笔记 (1)比较两个指数幂或对数值大小的方法: 分清是底数相同还是指数(真数)相同; 利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小; 当底数、指数(真数)均不相同时,可通过中间量过渡处理 (2)多个指数幂或对数值比较大小时,可对它们先进行 0,1分类,然后在每一类中比较大小 思考题 3 (1)若 loga( 3)logb( 3)a1 Babb1 Dba1 【解析】 031,loga(3)logb(3)a,选 A. 【答案】 A (2)(2018 成都外国语学校检测)设 alog3,b20.3,clog3sin6,则( ) Aabc Bcab Cbac Dbca 【解析】 0alog31, clog3sin6ac. 【答案】 C (3)设 a, b, c 均为正数, 且 2alog12a, (12)blog12b, (12)clog2c,则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 【解析】 a,b,c 均为正数,将 a,b,c 分别看成是函数图像的交点的横坐标 分别画 y2x,y(12)x,ylog2x,ylog12x 图像 如图 由图形可知:ab0,得 x3 或 xf(13)的解集 【解析】 y2x在(0,1)上为减函数, ylog31x1xlog31x1xlog3(12x1) 在(0,1)上也为减函数, f(x)2xlog31x1x在(0,1)上单调递减 x213.0 x33,解集为(0,33) 【答案】 (0,33) 状元笔记 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与 1 的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的 思考题 4 (1)求 f(x)log12(32xx2)的单调区间 【解析】 函数 f(x)log12(32xx2)的定义域为x|3x1令 u32xx2,x(3,1),则 ylog12u.因为 ylog12u 在定义域内是减函数,当 x(3,1时,u(x)(x1)24是增函数所以 f(x)在(3,1上是减函数同理,f(x)在(1,1)上是增函数 【答案】 增区间(1,1),减区间(3,1 (2)是否存在实数 a,使得 f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是增函数?若存在,求出 a 的范围;若不存在,说明理由 【解析】 设 tax2xa(x12a)214a. 若 f(x)在2,4上是增函数, 则0a0或a1,12a2,4a20,解得 a1. 存在实数 a(1,)使 f(x)在2,4上是递增函数 【答案】 存在 a(1,) (3)求函数 f(x)log2xlog 2(2x)最小值 【解析】 f(x)12log2x 2(log2x1)(log2x)2log2x(log2x12)214,当 log2x12,即 x22时,f(x)最小值为14. 【答案】 14 指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置,搞清这部分基础知识相当重要 (1)搞清指数函数与对数函数的关系:即二者互为反函数,因此,图像关于直线 yx 对称,它们在各自的定义域内增减性是一致的即 a1 时都为增函数,0a1 时都为减函数 (2)比较指数函数、 对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型具体做法是:底数相同指数不同时,要考虑指数函数的单调性;底、指数都不同时要借助于中间值(如 0 或 1)再不行可考虑商值(或差值)比较法;对数函数型数值间的大小关系,底相同者考虑对数函数的单调性,底不同时可考虑中间值(如 0 或 1),或用换底公式化为同底最后可考虑比较法
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