高考数学一轮复习 第7章 不等式及推理与证明 第2课时 一元二次不等式的解法课件 理

第2课时 一元二次不等式的解法 2018 考纲下载 1通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 2会解一元二次不等式，以及简单的分式、高次不等式 请注意 1若二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式 2当 0(a0)的解集为 R 还是. 课课前前自助自助餐餐 二次函数的图像、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 0 0 0)的图像 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根 有 两 相 异 实 根x1，x2(x10(a0)的解集 (，x1)(x2，) x|xb2a R ax2bxc0)的解集 x|x1xx2 1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)若不等式 ax2bxc0. (2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2. (3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R. (4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 的解集是( ) A(，12) B(0，12) C(，0)(12，) D(12，) 答案 B 3(2016 课标全国)设集合 Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则 ST( ) A2，3 B(，23，) C3，) D(0，23，) 答案 D 解析 集合 Sx|x2 或 x3 则 STx|01x的解集为_ 答案 (1，0)(1，) 解析 当 x0 时，原不等式等价于 x21，解得 x1；当 x0 时，原不等式等价于 x21，解得1x1x的解集为(1，0)(1，) 5(2017 辽阳统考)不等式x2x10 的解集是( ) A(，1)(1，2) B1，2 C(，1)2，) D(1，2 答案 D 解析 x2x10(x1)(x2)0，且 x1，即 x(1，2，故选 D. 6 (2018 河南信阳调研)若集合 Ax|ax2ax10，a24a0，得 00； (2)12x2axa2(aR) 【解析】 (1)原不等式可化为 2x24x30. 又判别式 424230(4xa)(3xa)0(xa4)(xa3)0， 当 a0 时，a4a3，解集为x|xa3； 当 a0 时，x20，解集为x|xR 且 x0； 当 aa3，解集为x|xa4 【答案】 (1) (2)略 状元笔记 一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤： 对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2bxc0(a0)，ax2bxc0)； 计算相应的判别式； 当 0 时，求出相应的一元二次方程的根； 根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集 (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即 的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类 思考题 1 解关于 x 的不等式： (1)(x3)(2x)4； (2)(x2x1)(x2x1)0； (3)ax2(a1)x10，(x2x1)(x2x1)0. 即解不等式 x2x10. 由求根公式知 x11 52，x21 52. x2x10 的解集为x|x1 52 原不等式的解集为x|x1 52 (3)若 a0，原不等式等价于x11. 若 a0，解得 x1. 若 a0，原不等式等价于(x1a)(x1)0. 当 a1 时，1a1，(x1a)(x1)1 时，1a1，解(x1a)(x1)0 得1ax1； 当 0a1，解(x1a)(x1)0 得 1x1a. 综上所述：当 a0 时，解集为x|x1； 当 a0 时，解集为x|x1； 当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax1 【答案】 (1)x|x2 或 x1 (2)x|x1 52 (3)略 题型二题型二 分式、高次不等式分式、高次不等式 (1)不等式x12x10 的解集为_ (2)(2017 广东深圳二调)不等式 x12x的解集为_ 【解析】 (1)x12x10（x1）（2x1）0，2x10， 解得12x1. 故不等式x12x10 的解集为(12，1 (2) 原 不 等 式 可 化 为 x 1 2x 0 x2x2x 0 （x2）（x1）x0 x（x2）（x1）0，x0. 如图所示， 原不等式的解集为x|2x0 或 x1 【答案】 (1)(12，1 (2)x|2x0 的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 求根：求(xx1)(xx2)(xxn)0 的根，并在数轴上表示出来(按从小到大的顺序标出)； 穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧返回这一侧，经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧； 得解集：若不等式(未知数的系数均为正)是“0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式(未知数的系数均为正)是“0”，则找“线”在数轴下方的区间 思考题 2 (1)不等式 32xx 的解集是_ 【解析】 由不等式 32x0，等价于 x(x23x2)0， 即 x(x1)(x2)0， 由数轴标根法得x|0 x2 【答案】 x|0 x2 (2)(2018 安徽淮北一模)不等式x22x5x11 的解集为( ) Ax|2x3 Bx|3x2 Cx|x3 或1x2 Dx|x2 【解析】 不等式x2x6x10(x2x6)(x1)0， (x2)(x1)(x3)0.易知相应方程的根为3，1，2，由穿针引线法可得原不等式的解集为x|3x2故选 B. 【答案】 B 题型三题型三 函数与解不等式函数与解不等式 (1)(2017 课标全国)设函数f(x)x1，x0，2x，x0，则满足f(x)f(x12)1的x的取值范围是_ 【解析】 当x0时，f(x)2x1恒成立， 当x120，即x12时，f(x12)2x121，当x120， 即012， 则不等式 f(x)f(x12)1 恒成立 当 x0 时，f(x)f(x12)x1x122x321， 所以14x0. 综上所述，x 的取值范围是(14，) 【答案】 (14，) (2)(2017山 西 大 同 一 中 模 拟 ) 已 知 函 数f(x) x22x，x0，x22x，x0，若 f(3a2)f(2a)，则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 作出函数 f(x)的图像，如图由图可知，函数 f(x)为单调递减函数， f(3a2)2a，解得3a2，x2x4，x2，则不等式 f(x)2 的解集是_ 【解析】 依题意，得 1x22，x2，或x2x42，x2， 解得 x(，21，252，) 【答案】 (，21，252，) (2)(2018 江西八校联考)已知 f(x)1，x2，1，x2，则不等式x2f(x)x20 的解集是_ 【解析】 当 x2 时，原不等式可化为 x2x20，解得2x1，此时 x 不存在； 当 x2 时，原不等式可化为x2x20， 解得 xR， 此时 x2，综上可得原不等式的解集为x|x2 【答案】 x|x2 题型四题型四 三个二次的关系三个二次的关系 (1)已知关于x的不等式ax2bxc0的解集是x|x12，求不等式 ax2bxc0 的解集 【思路】 由题意可知，2，12是方程 ax2bxc0 的两根， 由韦达定理得ba52，ca1，注意观察要求不等式与已知条件之间的联系 【解析】 由条件，知2，12是方程 ax2bxc0 的两根，且 a0 变为 a(x252x1)0.a0，原不等式等价于 2x25x20，即(x2)(2x1)0，解得12x2. 不等式的解集为x|12x2 【答案】 x|12x0(a0(a0)的解集为(，x1)(x2，)， 所以 x1x2a ，x1x26a2 ， 的平方减去 4 倍的可得(x2x1)225a2， 又 x2x15 2，所以 25a250，解得 a 2， 因为 a0(a0，因为 a3a， 所以解不等式得 x2a 或 x0 的解集为x|3x0 的解集为( ) Ax|12x13或 x12 Cx|3x2 Dx|x2 【解析】 由题意得5a32，ba3（2），解得 a1，b6，所以不等式 bx25xa0 为6x25x10，即(3x1)(2x1)0，所以解集为x|12x0 的解集为(，2)(4，)，则对于函数 f(x)ax2bxc，有( ) Af(5)f(2)f(1) Bf(2)f(5)f(1) Cf(1)f(2)f(5) Df(2)f(1)0 的解集为(，2)(4，)，所以 a0，且2，4 的方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得24ba，（2）4ca，所以b2a，c8a，所以函数 f(x)ax2bxcax22ax8aa(x22x8)，其图像的对称轴为 x1，开口向上，所以 f(2)f(1)f(5) 【答案】 D 题型五题型五 不等式恒成立问题不等式恒成立问题 函数 f(x)x2ax3. (1)当 xR 时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的范围； (2)当 x2，2时，f(x)a 恒成立，求实数 a 的范围； (3)当 a4，6时，f(x)0 恒成立，求实数 x 的范围 【解析】 (1)xR 时，有 x2ax3a0 恒成立，须 a24(3a)0，即 a24a120，所以6a2. (2)方法一：当 x2，2时，设 g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)： 如图(1)，当 g(x)的图像恒在 x 轴上方时，满足条件，有 a24(3a)0，即6a2. 如图(2)，g(x)的图像与 x 轴有交点， 但在 x2，)时，g(x)0，即0，xa22，g（2）0， 即a24（3a）0，a24，a73， 解之得 a 无解， 如图(3)，g(x)的图像与 x 轴有交点， 但在 x(，2时，g(x)0， 即0，xa22，g（2）0，即a24（3a）0，a22，7a0a2或a6，a4，a7. 7a6.综合，得7a2. 方法二(分离参数)： x23a(1x)对 1x 进行分类讨论；当 x2，1)时，ax231x，去求x231x的最小值；设 1xt，x23t22t4，即为 at4t2(0m(x21) (1)是否存在实数 m，使不等式对任意 xR 恒成立？并说明理由； (2)若对于 m2， 2不等式恒成立， 求实数 x 的取值范围； (3)若对于 x(1，)不等式恒成立，求 m 的范围 【解析】 (1)原不等式等价于 mx22x(1m)0， 若 m0 时，2x10 不恒成立， 若 m0 时，若对于任意实数 x 恒成立， 当且仅当 m0 且 44m(1m)0， 不等式解集为， 所以不存在实数 m，使不等式恒成立 (2)设 f(m)(x21)m(2x1)， 当 m2，2时，f(m)0 恒成立 而 f(m)在 m2，2时表示线段，当且仅当f（2）0，f（2）02x22x10， 2x22x30. 由，得1 32x1 32. 由，得 x1 72. 取交集，得1 72x1 32. 所以 x 的取值范围是x|1 72x1，m1)，x21t22t34， m0，m0. 【答案】 (1)不存在 (2)(1 72，1 32) (3)(，0 1一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者密切相关，因而在一元二次不等式求解时要注意利用相应二次函数的图像及相应二次方程的根迅速求出解集，掌握“数形结合”思想 2在解形如 ax2bxc0 的不等式时，若没有说明二次项系数取值时，别忘了对系数为零的讨论 3分式不等式要注意分母不为零 4掌握分类讨论思想在解不等式中的运用，尤其注意分类的标准是不重不漏