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卷3数学（必做题）一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共70分把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1若全集，集合，则 2若双曲线的一条渐近线方程是，则等于 3函数的单调递减区间为 4运行下面的一个流程图，则输出的值是 5. 若从集合中随机取出一个数，放回后再随机取出一个数，则使方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率为 6. 函数的零点个数是 . 7若直径为2的半圆上有一点，则点到直径两端点距离之和的最大值为 8样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图所示，则这组数据的方差等于 9已知是等差数列的前项和，若4，16，则的最大值是 .10. 已知函数，若存在常数，对唯一的，使得，则称常数是函数在上的 “翔宇一品数”。若已知函数，则在上的“翔宇一品数”是 11如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则温度变化曲线的函数解析式为 . 12已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，若，则两圆圆心的距离 13如图，是直线上三点，是直线外一点，若，记，则 .（仅用表示）14已知函数，则当 时，取得最小值二、解答题（本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）已知复数，（i为虚数单位，），且（1）若且，求的值；（2）设，已知当时，试求的值16（本小题满分14分）如图a，在直角梯形中，为的中点，在上，且。已知，沿线段把四边形折起如图b，使平面平面。（1）求证：平面；（2）求三棱锥体积17（本小题满分14分）已知点，点是：上任意两个不同的点，且满足，设为弦的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）试探究在轨迹上是否存在这样的点：它到直线的距离恰好等于到点的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由18（本小题满分16分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：（注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品）已知每生产一件合格的仪器可以盈利元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？19（本小题满分16分）已知分别以和为公差的等差数列和满足, ，（1）若, 2917，且，求的取值范围；（2）若，且数列的前项和满足，求数列和的通项公式；令，, 0且，探究不等式是否对一切正整数恒成立？20（本小题满分16分）已知函数，并设，（1）若图像在处的切线方程为，求、的值；（2）若函数是上单调递减，则 当时，试判断与的大小关系，并证明之； 对满足题设条件的任意、，不等式恒成立，求的取值范围数学（附加题）21【选做题】在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分A选修41：几何证明选讲如图，已知、是圆的两条弦，且是线段的垂直平分线，已知，求线段的长度B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A C选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程D选修45：不等式选讲已知关于的不等式（）.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围22必做题（本小题满分10分）在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起（假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同）（1）小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？（2）小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望23必做题（本小题满分10分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，参考答案必做题部分一、填空题（本大题14小题,每小题5分）1.；2.3； 3； 4.35； 5.；6. 2；7. ；8. 7.2；9.9； 10. ； 11. ； 12. 3；13. ； 14. .二、解答题（本大题6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（1）因为，所以，所以，2分若，则，得. 4分因为，所以，所以或，所以或. 6分（2）因为， 8分因为当时，所以，10分所以 12分14分16（1）证明：在图a中，2分在图b中,又平面平面，且平面平面，平面，平面， 5分又，平面；7分（2）平面平面，且平面平面，平面，平面，10分为三棱锥的高，且，又，14分17（1）法一：连结，由，知|，由垂径定理知即，4分设点，则有，化简，得到；8分法二：设，根据题意，知， 故 4分又，有，即，代入式，得到，化简，得到； 8分（2）根据抛物线的定义，到直线的距离等于到点的距离的点都在抛物线上，其中，故抛物线方程为，10分由方程组得，解得， 12分由于，故，此时，故满足条件的点存在，其坐标为和 14分18（1）当时，所以每天的盈利额 2分当时，所以每天生产的合格仪器有件，次品有件，故每天的盈利额，4分综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为： 6分（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0；当时，因为， 8分令，得或,因为96，故时，为增函数.令，得，故时，为减函数. 10分所以，当时，（等号当且仅当时成立）， 12分 当时， （等号当且仅当时取得）， 14分综上，若，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润16分19（1）因为等差数列中，所以，因为等差数列中，所以，2分又因为，所以，故有，因为，所以； 4分（2）因为，所以，即，亦即，所以有，解得，6分由知， 8分所以； 10分因为，所以，又等价于，且0且，当时，若时， 若时，所以成立， 若时，所以成立，所以当时，对任意，所以成立 14分同理可证，当时，对任意，所以成立即当0且时，对任意，所以成立16分20（1）因为，所以， 2分又因为图像在处的切线方程为，所以 ，即，解得 ， 4分（2）因为是上的单调递减函数，所以恒成立，即对任意的恒成立， 6分所以，所以，即且，令，由，知是减函数，故在内取得最小值，又，所以时，即 10分 由知，当时，或，因为，即，解得，或，所以，而，所以或，不等式等价于，变为或恒成立， 12分当时，即，所以不等式恒成立等价于恒成立，等价于， 14分而，因为，所以，所以，所以，所以，所以 16分附加题部分21【选做题】A（选修4-l：几何证明选讲）连接BC设相交于点，AB是线段CD的垂直平分线，AB是圆的直径，ACB902分则，由射影定理得，即有，解得（舍）或 8分 ，即10分B（选修42：矩阵与变换）设矩阵，这里，因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 4分又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 6分根据，则有 8分从而因此， 10分C（选修4-4：坐标系与参数方程）由得，两式平方后相加得，4分曲线是以为圆心，半径等于的圆令，代入并整理得即曲线的极坐标方程是 10分D（选修45：不等式选讲）（1）当时,得, 即, 解得, 不等式的解集为 5分（2） 原不等式解集为R等价于 ， 实数的取值范围为 10分22必做题（1）若8种口味均不一样，有种；若其中两瓶口味一样，有种；若三瓶口味一样，有8种。所以小明共有种选择。 4分（2）的取值为0，1，2，3.；所以的分布列为 8分0123其数学期望10分23必做题 (1)取，则；取，则，； 4分(2)要证，只需证， 当时，；假设当时，结论成立，即，两边同乘以3 得：而，即时结论也成立，当时，成立.综上原不等式获证. 10分- 14 -用心 爱心 专心
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