高等数学-第9章 - (偏导数 全微分)

高等数学 课程相关 教材及相关辅导用书 高等数学第一版，肖筱南主编,林建华等编著, 北京大学出版社2010.8. 高等数学精品课程下册第一版，林建华等编著,厦门大学出版社,2006.7.高等数学第七版,同济大学数学教研室主编，高等教育出版社,2014.7.高等数学学习辅导与习题选解（同济第七版上下合订本）同济大学应用数学系编 高等教育出版社,2014.8.第九章 多元函数微分学 9.1 多元函数的基本概念 9.2 偏导数偏导数 9.3 全微分全微分 9.4 多元复合函数的求导法则 9.5 隐函数的求导公式 9.6 多元函数微分学的几何应用 9.7 方向导数与梯度 9.8 多元函数的极值 9.9 综合例题9.2偏导数偏导数 1.偏导数的概念及计算方法 2.高阶偏导数9.3全微分全微分 1.全微分的概念及计算方法 2.全微分在近似计算中的应用 一元函数的导数表示函数的变化率，对于多元函数同样需要讨论函数的变化率，我们常常需要研究某个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下，只随一种因素变化的变化率问题。 反映在数学上就是所谓的偏导数问题，现以二元函数为例，引入偏导数的概念。一、偏导数的定义与计算方法1. 偏导数的概念偏导数的概念(1) f (x,y)在点在点P0(x0,y0)处的偏导数处的偏导数),(yxfz ),(00yxx则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. 例如，极限(1)可以表示为 x,yxfyxxfyxfxx )(),(lim),(0000000 y,yxfyyxfyxfyy)(),(lim),(0000000即（2）偏导函数）偏导函数(3) 偏导数概念可推广到二元以上的函数处处在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf 解2偏导数的计算偏导数的计算 仍然是一元函数的求导公式和求导法则，对某一个自变量求偏导时，其余的自变量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz证明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立(2)(2)求求fx (x0，y0)时，可先将时，可先将y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再将最后再将x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),(),(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例4解).1 , 2(),1 ,(xxfxf求求.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解,)0 , 0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx (3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy3 . 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例6具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题： 混合偏导数都相等吗？,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy . 02222 yuxu解221ln(),2xy例8 证明函数ru1 0222222 zuyuxu,其中 222zyxr 满足方程证明 ,)(212222221 zyxzyxuxzyxxu2)(2123222 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 由于函数关于自变量的对称性，所以.31 ,315232252322rzrzuryryu 因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033523 rrr因此函数ru1 满足方程0222222 zuyuxu9.39.3全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义二、可微的必要和充分条件二、可微的必要和充分条件三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用四、小结四、小结xyxy如图，如图， 一边长分别为一边长分别为x、y的长方形金属薄片，的长方形金属薄片， 受热后受热后在长和宽两个方向上都发生在长和宽两个方向上都发生变化，分别为变化，分别为x、y，那么，那么该金属薄片的面积该金属薄片的面积A改变了多少？改变了多少？xy)yy)(xx(AyxyxxyA称为面积函数称为面积函数A=xy的全增量，的全增量，由两部分组成：由两部分组成：yxxyx，y的线性部分的线性部分yx当当( (xx, ,yy) ) (0,0)时，是一个比时，是一个比22)y()x(高阶无穷小高阶无穷小。 定义定义 设函数设函数 在点在点(x，y)的某个邻域内的某个邻域内有定义，点（有定义，点（x+x，y+y）在该邻域内，）在该邻域内， 如果函如果函数数 在点（在点（x，y）的全增量）的全增量 )y, x( fz )y, x( fz )y,x(f)yy,xx(fz可以表示为可以表示为)(yBxAz其中其中A，B与与x,y无关，无关，)(是当是当22)y()x(0时比时比高阶的无穷小。高阶的无穷小。则称函数则称函数 在点在点)y, x(fz （x，y）处）处可微可微，yBxA 称函数在点称函数在点(x,y)处的处的全微分全微分，记作，记作dz或或df(x,y)，即，即yBxAdz显然，显然，dzz一、全微分一、全微分二二 可微的必要和充分条件可微的必要和充分条件定理（可微的必要条件）定理（可微的必要条件） 如果函数如果函数 在点（在点（x，y）处可微，则它在）处可微，则它在该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且该点处必连续，且它的两个偏导数都存在，并且)y, x(fz yyzxxzdz证明：证明：)y, x(fz 由函数由函数 在点（在点（x，y）处可微有）处可微有)(yBxAz所以所以0)y,x(f)yy,xx(flimzlim0y0 x0y0 x即即)y,x(f)yy,xx(flim0y0 x因此，函数因此，函数 在点（在点（x，y）连续。）连续。)y, x(fz 又因为又因为 中的中的A，B与与)(yBxAzx，y无关，也就是该式对任意的无关，也就是该式对任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，则有，则有|)x(|xAz上式两边同除以上式两边同除以x，再令，再令x0， 则有则有Ax|)x(|limAx)y, x(f)y, xx(flim0 x0 x即说明即说明 存在，且存在，且xzAxz同理可证同理可证 存在，且存在，且yzByz故有故有yyzxxzdz 注意：注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能保证函数也不能保证函数 在点（在点（x，y）可微。）可微。)y, x(fz 讨论函数：讨论函数：0yx00yxyxxy222222由以前的讨论可知，在点（由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。微。定理（可微的充分条件）定理（可微的充分条件） 如果函数 的两个偏导数 在点（x，y）都存在且连续，则该函数在该点可微。)y , x( fzyz,xz 以上有关概念和定理均以上有关概念和定理均可以推广到可以推广到三元及三元三元及三元以上的函数中去。以上的函数中去。 由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元由于自变量的微分等于自变量的微分，故二元函数函数 的全微分习惯上可写为的全微分习惯上可写为)y, x( fz dyyzdxxzdz类似地，三元函数类似地，三元函数 的全微分为的全微分为)z , y, x(uu dzzudyyudxxudu例例1 求函数求函数 的全微分。的全微分。62354yxxyz解：先求函数的两个偏导数：解：先求函数的两个偏导数：522633012104yxxyyzxyyxz所以所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263例例2 求函数求函数 在点（在点（2，-1）处的全微分。）处的全微分。32),(yxyxf解：因为解：因为12)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以所以dydxdz124|)1,2( 例例3 设函数设函数 在点（在点（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0 xyx2yx20y0 x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0 xyx2yx20y0 x所以所以8 . 13 . 042 . 03yyzxxzdz此题可理解为：此题可理解为：在点（在点（0，0）处）处x，y分别有增量分别有增量x=0.2，y=0.3时，函数也产生增量时，函数也产生增量z，并且，并且zdz=1.8。取取02. 0y,01. 0 x, 2y, 1x00则则3321)2 ,1(f2)2 , 1(f, 5 . 0)2 , 1(fyx所以所以965. 2)02. 0(201. 05 . 0398. 101. 133例例5 计算计算 的近似值。的近似值。解：解：构造函数构造函数 ，则，则33yx)y,x(f332xyx2x3)y,x(f332yyx2y3)y,x(f 设设一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的一金属圆柱受压变形后，底面半径由原来的20厘米变到厘米变到20.1厘米，高由原来的厘米，高由原来的40厘米减少到厘米减少到39.5厘米，求该金属体体积厘米，求该金属体体积变化的近似值。变化的近似值。解解：20cm40cm20.1cm39.5cm 设圆柱体的底面半设圆柱体的底面半径为径为r，高为，高为h，体积为，体积为V，则有，则有hrV2=此时此时hrrrh2hhVrrVdV2+=+=其中其中r=20，h=40，r=0.1，h=-0.5故有故有)cm(6 .125)5 . 0(2014. 31 . 0402014. 32dVV32=+即金属体受压后体积减少了即金属体受压后体积减少了125.6cm3。作业 习题9.2（P52） 1 (3) 、 1 (6) 、5(3) 习题9.3（P56） 1 (1) 、 1 (4) 、3、5