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松滋市网络直播课 松滋市九年级 数学 主播：松滋市八宝中学 李万敏 35.35. 解直角三角形解直角三角形 35.35. 解直角三角形解直角三角形 以点带面 1 典例精析 2 考点突破 3 4 1、根据条件解直角三角形： (1)在RTABC中，C=90，a=5，c= （2）在RTABC中，C=90，c= ，A=60. 2534解：（1） C A B c b a 22255casinAA=45，B=90-A=45 即A=B=45，b=a=5； （2）C=90，A=60，B=90-A=30, 62334sincacasinAA，3236-48a-cb22解直角三角形定义：由直角三角形的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。 解直角三角形 常用关系式 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理： 两锐角互余：A+B=90 锐角的三角函数 222cbaA.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 1.仰角、俯角的概念 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角. D milen 302160sinACDACADmilen 3302360cosACDACCDD 以参照物的位置为中心，以正南或正北方向为起始方向，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90的角，叫做方向角. 注意：1、用方向角表示位置时，南北向在前东西向在后 2、 四个特殊位置： 东北方向，东南方向 西南方向，西北方向 45 45 45 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 45 C B D A 方向角的概念 4.如图35-5,一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i1:2.5,斜坡CD的坡角为30,则坝底AD的长度为_m. 32056E F 5 . 21iAEBEAE=2.520=50m m320332030tanCFDFAD=AE+EF+DF l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1m的形式，如i=16. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水 平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，记作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 tanhil即坡度等于坡角的正切值. 例1、如图351,在RtABC中,C90, 点D是AC边上一点，tanDBC ，且BC6,AD4,求cosA的值. 346 4 解：在RTBDC中，C=90，BC=6， 34tanBCCDDBC CD=8 AC=AD+DC=4+8=12. 在RTABC中，由勾股定理得 566122222BCACAB5525612cosABACA分析：先求DC的长，然后根据AC=AD+DC即可求出AC，再根据勾股定理求AB,最后求cosA即可. 解直角三角形的应用中的模型：“双直角三角形”。所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形。其位置关系有两种，另一条直角边共线的两个直角三角形。其位置关系有两种： 叠合式叠合式 背靠式背靠式 解决这类问题时，抓住两三角形的公共边，并找到公共边与其它相关边的关系，直接计算或列方解决这类问题时，抓住两三角形的公共边，并找到公共边与其它相关边的关系，直接计算或列方程解决问题程解决问题. . 2、.如图35-8所示，小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45（B、F、D在同一直线上），已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度. ，结果保留整数），（参考数据414. 12732. 13解法：理解为“异地双仰” 设CG=x G x333xtan30CGAGx，CGEG你能寻找其中的等量关系列方程吗 AE=AG-EG 解：延长AE交CD于G，设CG=xm， 在RTCGE中，CGE=45，则EG=CG=xm mCGAGACGRTx333x30tan中，在 AE=AG-EG 98.40732. 2151315x30 x-x3）（，解得则CD=CG+GD=40.98+1.5=42.4842m 答：这栋建筑物CD的高度约为42m 【变式】小敏同学测量一建筑物CD的高度，大楼AB的高为27m，她在楼顶B处测得塔顶D的仰角为30，塔底C点的俯角为45，则建筑物CD的高度为多少米？（人的身高忽略不计） B D 解法：理解为“高地仰俯” E 求建筑物求建筑物CDCD高度，先找哪些是可解直角三角高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可表直角三角形？形？哪些是可表直角三角形？ 解：过B作BECD于E, AB=27m,CE=27m. 在RTBCE中，CBE=45，BE=CE=27m 在RTBDE中，DBE=30， m39332760tanBEDEmCEDECDCD)2739(的高度：建筑物【变式】小敏同学测量一建筑物CD的高度，大楼AB的高为m，她在楼顶A处测得塔顶D的仰角为，BC的长度为n，则建筑物CD的高度为多少？（人的身高忽略不计） n nm mx x EBCAD高地单仰 DE=nDE=n tantan CE=mCE=mx x=n=n tantan +m+m【变式】小敏同学测量山顶铁塔CD的高度，她站在A处测得D点的仰角的，C点的仰角为，已知AB=m，则铁塔CD的高度为多少？（人的身高忽略不计） m m X XDBACBD=mBD=m tantan BC=mBC=m tantan x x=m=m (tan(tan -tan-tan ) )同地双仰 模型一：高地单仰 n nm mx x EBCAD模型三：同地双仰 m m X XDBACDE=nDE=n tantan CE=mCE=mx x=n=n tantan +m+m模型二：高地仰俯 X Xm m ADCBE模型四：异地双仰 m mx x DCABCE=mCE=m tantan DE=mDE=m tantan x x=m=m (tan(tan +tan+tan ) )AC=AC=x xtantan ,BC=,BC=x xtantan ( (1 1tantan - -1 1tantan ) ) x x=m=mBD=mBD=m tantan BC=mBC=m tantan x x=m=m (tan(tan -tan-tan ) )仰角、俯角问题的基本模型仰角、俯角问题的基本模型多，并不复杂，如：求建筑物多，并不复杂，如：求建筑物CDCD高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可高度，先找哪些是可解直角三角形？哪些是可表直角三角形？（图中仅有表直角三角形？（图中仅有x x为未知边，其余均为已知量）为未知边，其余均为已知量） 例3、.如图35-9所示，A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东45方向，在B地正北方向，在C地北偏西60方向C地在A地北偏东75方向B、D两地相距2km问从A地到B地再到C地最后到D地的总路程大约是多少千米？（最后结果保留整数，参考数据： ） 4 . 267 . 134 . 12，解：过B作BEAD于点M，过B作BFDC于点N. 450 600 B C A D F E M N 由题意得AEBDCF， ADB=EAD=45，BDC=DCF=60 EAC+ABC=180，BCD=180-75-60=45 DAB=EAB-EAD=75-45=30 km2222sin45km2BDMBDBMMDBBDBDMRT，中，在km3232sin60BDBNkm1212cos，中，在BDNBDDNBDNRTkm22230BMABMABABMRT，中，在，中，在622345sinkm345BNBCBNCNBCNBCNRTkm813622CDACDCBA地的总路程：地最后到地再到地到解决一般三角形的问题，可以通过作高线，构造特殊直角三角形 （1）把实际问题转化为数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题转化为几何图形，画出正确的平面图或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系。 （2）把数学问题转化为解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形。 （1）.如图35-3,已知AD是等腰ABC底边BC上的高，sinB ，点E在AC上，且AE:EC2:3，则tanADE的值为（ ） A. B. C. D. 5431213252解：设AD=4x，则AB=5x，BD=3x DC=3x EFDC 52ACAEDCEFADAF52x3x4EFAFx58AFx56EFx512x58-x4AFADDF21x512x56tanDFEFADEF B 参数法解直角三角形 ACDAEF （2）.如图35-7,在RtABC中,C90,CAB、B、C的对边分别为a、b、c，且b ，AD平分CAB的平分线交CB于点D，AD ,则BC_, AB=_ 5815316231531658cosADACCADCAD=30 158516分析：先根据三角函数值可求出CAD的度数，再根据角平分线的定义可求出CAB的度数，再根据三角函数可求解，要熟练掌握边角之间的关系。 3060BCAB，158, 5162BCACAB（3）(2017 荆州中考)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方 米处的点C出发，沿斜面坡度i1 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米已知A，B，C，D，E在同一平面内，ABBC，ABDE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 .计算结果保留根号) 35354434 1.5 F G 解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则CFD90 303331itanDCFDCF，m32234cosm221m4DCFCDCFCDDFCD，m343232CFBCBF3232过点E作EGAB于点G，则GEBF m34GBEFEDDF1.523.5m m334334tanGEAG，37AEG又AEGm5 . 333（ =BG+AG=AB的高度为高AB旗杆）解直角三角形 定义：由直角三角形的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。 应用举例 常用关系式 222cbaA+B=90 边角之间的关系 仰角、俯角问题 方向角问题 坡度、坡角问题 作业： 1，整理笔记，纠正错题 2，提前做学在荆州81-82面
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