（全国通用）高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第3节 数学归纳法及其应用课件 理 新人教B

第第3节节 数学归纳法及其应用数学归纳法及其应用 最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN+)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 知知 识识 梳梳 理理 第一个值n0(n0N+) nk1 2.数学归纳法的框图表示 常用结论与微点提醒 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法. 3.解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.( ) 诊诊 断断 自自 测测 解析 对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n2) 180，第一步要验证n3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项. 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3. 答案 C 2.(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为12n(n3)条时， 第一步检验 n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时，应得到( ) A.12222k22k12k11 B.12222k2k12k12k1 C.12222k12k12k11 D.12222k12k2k11 解析 观察可知等式的左边共n项，故nk1时，应得到12222k12k2k11. 答案 D 解析 由nk到nk1时，左边增加(k1)2k2. 答案 B 4.用数学归纳法证明 1222(n1)2n2(n1)22212n（2n21）3时，由 nk 的假设到证明 nk1 时，等式左边应添加的式子是( ) A.(k1)22k2 B.(k1)2k2 C.(k1)2 D.13(k1)2(k1)21 5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN+)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真. 解析 由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1. 答案 2k1 考点一考点一 利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明等式等式 【例 1】 用数学归纳法证明： 12414616812n（2n2）n4（n1）(nN+). 证明 (1)当 n1 时， 等式左边121（212）18， 等式右边14（11）18， 等式左边等式右边，所以等式成立. (2)假设 nk(kN+且 k1)时等式成立，即有 12414616812k（2k2）k4（k1）， 则当nk1时，12414616812k（2k2）12（k1）2（k1）2 k4（k1）14（k1）（k2） k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k2）k14（k1）1. 所以当 nk1 时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切 nN+，等式都成立. 规律方法 用数学归纳法证明等式应注意的两个问题 (1)要弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值. (2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明. 【训练 1】 设 f(n)112131n(nN+).求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 证明 (1)当 n2 时，左边f(1)1， 右边21121 1，左边右边，等式成立. (2)假设 nk(k2，kN+)时，结论成立， 即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当 nk1 时， f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k) (k1)f(k)k(k1)f（k1）1k1k (k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1， 当 nk1 时结论仍然成立. 由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN+). 考点二考点二 利用数学归纳法证明不等式利用数学归纳法证明不等式(典例迁移典例迁移) 【例 2】 (经典母题)已知数列an， an0， a10， a2n1an11a2n， 求证： 当 nN+时，anan1. 证明 (1)当 n1 时， 因为 a2是方程 a22a210 的正根， 所以 a2512， 即 a1a2成立. (2)假设当 nk(kN+，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以 ak2ak110，所以 ak1ak2，即当 nk1 时，anan1也成立.综上，可知 anan1对任何 nN+都成立. 【迁移探究1】 在例2中把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN+时，an1an. 证明 (1)当 n1 时，因为 a2是方程 a22a210 的根，又a21，所以 a21 52，即 a2a1成立. (2)假设当 nk(kN+，k1)时，ak1ak0，又ak21，ak11， 所以 ak2ak110，所以 ak2ak10，即 ak2ak1，即当 nk1 时，anan1也成立. 综上可知 an2，对一切 nN+，an0，an1a2n2（an1），试证明 an2. 证明 (1)当 n1 时，a1a2，即 an2 成立. (2)假设 nk 时， ak2 成立， 那么 ak1a2k2（ak1）12a2kak112（ak1）1ak11，因为 ak2，所以 ak11，又因为函数 yx1x在(1，)上单调递增， 所以12（ak1）1ak1112(11)12， 即 ak12，所以当 nk1 时，an2 成立，综上可知，an2 对任何 nN+都成立. 规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法. 【训练 2】 用数学归纳法证明：11221321n221n(nN+，n2). 证明 (1)当 n2 时，11225421232，命题成立. (2)假设 nk(k2，且 kN+)时命题成立，即 11221321k221k. 当 nk1 时，11221321k21（k1）221k1（k1）20，nN+. (1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式； (2)证明(1)中的猜想. (1)解 当 n1 时，由已知得 a1a121a11， 即 a212a120.a1 31(a10). 当 n2 时，由已知得 a1a2a221a21， 将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20). 同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN+). (2)证明 由(1)知，当 n1，2，3 时，通项公式成立. 假设当 nk(k3，kN+)时，通项公式成立， 即 ak 2k1 2k1.由于 ak1Sk1Skak121ak1ak21ak， 将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120，ak1 2k3 2k1， 即 nk1 时通项公式成立. 根据可知，对所有 nN+，an 2n1 2n1成立. 规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题. 【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN+，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围. 解 由题设得，g(x)x1x(x0). (1)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1x1xx12x，g3(x)x13x，可猜想 gn(x)x1nx. 下面用数学归纳法证明. 当 n1 时，g1(x)x1x，结论成立. 假设 nk 时结论成立，即 gk(x)x1kx. 那么，当 nk1 时，gk1(x)g(gk(x) gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（k1）x，即结论成立. 根据可知，结论对 nN+成立. (2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln(1x)ax1x恒成立. 设 (x)ln(1x)ax1x(x0)，则 (x)11xa（1x）2x1a（1x）2， 当 a1 时，(x)0(仅当 x0，a1 时等号成立)， (x)在0，)上单调递增.又 (0)0， (x)0 在0，)上恒成立， a1 时，ln(1x)ax1x恒成立(仅当 x0 时等号成立). 当 a1 时，对 x(0，a1有 (x)0， (x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在 x0，使 (x)0，ln(1x)ax1x不恒成立， 综上可知，实数 a 的取值范围是(，1.