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2 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 21 导数的概念导数的概念 22 导数的几何意义导数的几何意义 第三章第三章 变化率与导数变化率与导数 学习导航学习导航 第三章第三章 变化率与导数变化率与导数 学习学习目标目标 1.了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景 2理解导数的概念及其几何意义理解导数的概念及其几何意义(重点重点) 3掌握利用定义求导数，会求曲线的切线方程掌握利用定义求导数，会求曲线的切线方程 (难点难点) 学法学法指导指导 1.通过实例，从瞬时变化率角度理解导数的定义和通过实例，从瞬时变化率角度理解导数的定义和实际意义实际意义 2从曲线割线斜率的变化体会导数的几何意义从曲线割线斜率的变化体会导数的几何意义 3体会极限逼近的思想体会极限逼近的思想. 1.导数的概念导数的概念 设函数设函数 yf(x)，当自变量，当自变量 x 从从 x0变到变到 x1时，函数值从时，函数值从 f(x0)变到变到 f(x1)，函数值，函数值 y 关于关于 x 的平均变化率为的平均变化率为yx f（x1）f（x0）x1x0f（x0 x）f（x0）x. 当当 x1趋于趋于 x0，即，即 x 趋于趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数值，那么这个值就是函数 yf(x)在在 x0点的点的_.在在数学中，称瞬时变化率为函数数学中，称瞬时变化率为函数 yf(x)在在 x0点的点的_,通常用通常用符号符号_表示，记作表示，记作 f(x0) limx1x0 f（x1）f（x0）x1x0_. 瞬时变化率瞬时变化率 导数导数 f(x0) limx0f（x0 x）f（x0）x 0 2.函数函数 yf(x)“在点在点 x0处的导数处的导数”“导函数导函数”“导数导数”之间的之间的区别与联系：区别与联系： (1)“函数函数 f(x)在点在点 x0处的导数处的导数”， 是一个数值， 不是变数， 是一个数值， 不是变数，它是针对一个点它是针对一个点 x0而言的， 与给定的函数及而言的， 与给定的函数及 x0的位置的位置 有有关，关， 而而 与与 x 无关无关 (2)“导函数导函数”也简称也简称“导数导数”，是一个确定的函数，它是相，是一个确定的函数，它是相对对 于一个区间而言的，依赖于函数本身，而与于一个区间而言的，依赖于函数本身，而与 x，x 无无关关 (3)函数函数yf(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)就是导函数就是导函数f(x)在点在点xx0处的函数值，即处的函数值，即 f(x0)f(x)|xx . 3导数的几何意导数的几何意义义 (1)曲线的割线曲线的割线 函数函数 yf(x)在在x0，x0 x的平均变化率为的平均变化率为yx，如图，如图，它它是过是过 A(x0，f(x0)和和 B(x0 x，f(x0 x)两点的直线的两点的直线的_这条直线称为曲线这条直线称为曲线 yf(x)在点在点 A 处的一条处的一条割线割线 斜率斜率 (2)曲线的切线曲线的切线 如图，设函数如图，设函数 yf(x)的图像是一条光滑的图像是一条光滑 的曲线，从图像上可以看出：当的曲线，从图像上可以看出：当 x 取不取不 同的值时，可以得到不同的割线；当同的值时，可以得到不同的割线；当 x 趋于零时，点趋于零时，点 B 将沿着曲线将沿着曲线 yf(x)趋于趋于点点 A，割线，割线 AB 将绕将绕点点 A 转动最后趋于直线转动最后趋于直线 l.直线直线 l 和曲线和曲线 yf(x)在点在点 A 处处“相相切切”， 称直线， 称直线 l 为曲线为曲线 yf(x)在点在点 A 处的处的_ 该切线 该切线的斜率就是函数的斜率就是函数 yf(x)在在 x0处的导数处的导数 f(x0) 切线切线 (3)导数的几何意义导数的几何意义 函数函数yf(x)在在x0处的导数，是曲线处的导数，是曲线yf(x)在点在点(x0，f(x0)处处 的的_函数函数yf(x)在在x0处切线的斜处切线的斜 率反率反 映映 了导了导数的几何意义数的几何意义 4(1)函数函数yf(x)在点在点x0处的导数的几何意义是曲线处的导数的几何意义是曲线yf(x)在在点点P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x) 在在 点点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0) 切线的斜率切线的斜率 (2)函数函数yf(x)在点在点P处的切线的斜率，即函数处的切线的斜率，即函数yf(x)在点在点P处处的导数，反映了曲线在点的导数，反映了曲线在点P处的变化率一般地，切处的变化率一般地，切 线线 的的 斜斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯 曲曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线 的的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由 曲曲线在点线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在点附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在点P处的处的 切切线的斜率的大小线的斜率的大小 1判断正误判断正误(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) (1)函数在某一点的导数与函数在某一点的导数与 x 值的正、负值的正、负无关无关( ) (2)函数函数 yf(x)在在 xx0处的导数值是处的导数值是 x0 时的平均变化率时的平均变化率( ) (3)若函数若函数 yf(x)在在 xx0处有导数，则函数处有导数，则函数 yf(x)在在 xx0处处有唯一的一条切线有唯一的一条切线( ) (4)若函数若函数 yf(x)在在 xx0处导数不存在，则函数处导数不存在，则函数 yf(x)在在 xx0处的切线不存在处的切线不存在( ) (5)函数函数 yf(x)在在xx0处的切线与函数处的切线与函数 yf(x)的公共点不一定的公共点不一定是一个是一个( ) 2设函数设函数 f(x)定义域为定义域为 R，limx0 f（1 x）f（1） x为为常数常数，则它等于则它等于( ) Af(1) Bf(0) Cf( x) D. y x 解析：由定义知它是解析：由定义知它是f(x)在在x1处的导数处的导数 A 3设设f(x0)0，则曲线则曲线yf(x)在点在点(x0，f(x0)处的切线处的切线( ) A不存在不存在 B与与x轴重合或平行轴重合或平行 C与与x轴垂直轴垂直 D与与x轴斜交轴斜交 解析：解析：f(x0)0，即即yf(x)在在x0处的切线的斜率为处的切线的斜率为0.当当f(x0)0时时，切线与切线与x轴重合；当轴重合；当f(x0)0时时，切线与切线与x轴平行轴平行 B 4(2014 南京市高二期末南京市高二期末)已知函数已知函数 f(x)x1x，则则 f(1)的值为的值为_ 解析：解析：f(x)11x(x0)，f(1)limx0 f（1 x）f（1） xlimx0 11 x1. 1 定义法求导与导数的实际意义定义法求导与导数的实际意义 建造一栋面积为建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本平方米的房屋需要成本 y 万元万元，y是是 x 的函数的函数，yf(x)x10 x100.3，求求 f(100)，并解释它并解释它的实际意义的实际意义 解解 根据导数的定义根据导数的定义，得得 f(100)limx0 y xlimx0 f（100 x）f（100） x limx0 100 x100 x3（100 1003）10 x limx0 (110100 x1010 x) limx0110110（100 x10） 0.105. f(100)0.105 表示当建筑面积为表示当建筑面积为 100 平方米时平方米时，成本增加成本增加的速度为的速度为 1 050 元元/平方米平方米， 也就是说当建筑面积也就是说当建筑面积为为 100 平方米平方米时时，每增加每增加 1 平方米的建筑面积平方米的建筑面积，成本就要增加成本就要增加 1 050 元元 方法归纳方法归纳 (1)求导方法简记为：一差求导方法简记为：一差、二比二比、三趋近三趋近 (2)求函数在某一点的导数的方法有两种：一种是直接求函数求函数在某一点的导数的方法有两种：一种是直接求函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导函数在该点的在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导函数在该点的函数值，此方法是常用方法函数值，此方法是常用方法 解：因为解：因为ytf（2t）f（2）t3（2t）3 2t3， 所以所以 f(2)limt0 yt3. f(2)3 的意义是的意义是:水流在水流在 2 s 时的瞬时流量为时的瞬时流量为 3 m3/s， 即如果， 即如果保持这一速度保持这一速度,每经过每经过 1 s,水管中流过的水量为水管中流过的水量为 3 m3. 1.一条水管中流过的水量一条水管中流过的水量y(单位：单位：m3)是时间是时间t(单位：单位：s)的函数的函数, yf(t)3t.求函数求函数yf(t)在在t2处的导数处的导数f(2)，并解释，并解释 它它 的的 实实际意义际意义 求函数或曲线在某点处的切线方程求函数或曲线在某点处的切线方程 已知曲线已知曲线 C：yx3. (1)求曲线求曲线 C 上横坐标为上横坐标为 1 的点处的切线的方程；的点处的切线的方程； (2)第第(1)小题中的切线与曲线小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？是否还有其他的公共点？ (链接教材第三章链接教材第三章 2.2 例例 4、例、例 5) 解解 (1)将将 x1 代入曲线代入曲线 C 的方程，得的方程，得 y1，即切点为，即切点为P(1，1) ylimx0 yx limx0 （xx）3x3x limx0 3x2x3x（x）2（x）3x limx03x23xx(x)23x2. f(1)3， 过点过点 P 的切线方程为的切线方程为 y13(x1)， 即即 3xy20. (2)由由 y3x2，yx3可得：可得：(x1)(x2x2)0， 解得解得 x1 或或 x2. 从而求得公共点为从而求得公共点为(1，1)和和(2，8)因此，切线与曲因此，切线与曲线线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点除了切点外，还有另外的点的点 方法归纳方法归纳 (1)求曲线求曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处的切线方程，即处的切线方程，即 点点P 既既 满满足曲线方程，又满足切线方程足曲线方程，又满足切线方程,若点若点P处的切线斜率为处的切线斜率为f(x0), 则则点点P处的切线方程为处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；如果曲线；如果曲线y f(x)在点在点P处的切线平行于处的切线平行于y轴轴(此时导数不存在此时导数不存在)，可由切线，可由切线 定定 义义确定切线方程为确定切线方程为xx0. (2)若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义 列列出关于切点横坐标的方程出关于切点横坐标的方程,最后求出切点坐标或切线的方程最后求出切点坐标或切线的方程,此此时求出的切线方程往往不止一条时求出的切线方程往往不止一条 2.(2014 许昌市五校联考许昌市五校联考)曲线曲线 f(x)12x2在点在点 1，12处的切处的切线方程为线方程为( ) A2x2y10 B2x2y10 C2x2y10 D2x2y30 解析：选解析：选 C.yxf（1x）f（1）x 12（1x）21212xx12（x）2x112x， f(1)limx0 yxlimx0 (112x)1. (1，12)处的切线方程为处的切线方程为 y12x1，即，即 2x2y10. 已知已知 f(x)在在 xx0处的导数为处的导数为 4，则，则 limx0 f（x02x）f（x0）x_ 易错警示易错警示 因对导数的概念理解不透彻致误因对导数的概念理解不透彻致误 解解 limx0 f（x02x）f（x0）x limx0f（x02x）f（x0）2x2 2limx0 f（x02x）f（x0）2x 2f(x0)248. 错因与防范错因与防范 本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错 注意本题分子中错 注意本题分子中 x 的增量是的增量是 2x， 即， 即(x02x)x02x，解决此类问题关键是变形分母中解决此类问题关键是变形分母中 x 的增量，使与分子中的增的增量，使与分子中的增量一致量一致(包括符号包括符号)，归结为，归结为 climx0 f（x0kx）f（x0）kx(c，k 为常数且为常数且 kc0)的形式的形式. 3已知已知 f(1)2，则，则limx0 f（12x）f（1）x_ 解：解：limx0 f（12x）f（1）x (2)limx0 f（12x）f（1）2x (2)(2)4. 解解 yx33ax. ylimx0 （xx）33a（xx）x33axx limx0 3x2x3x（x）2（x）33axx limx03x23xx(x)23a 3x23a. 技法导学技法导学 利用导数的几何意义求参数的取值利用导数的几何意义求参数的取值 若曲线若曲线yx33ax在某点处的切线方程为在某点处的切线方程为y3x1.求求a的值的值 设曲线与直线相切的切点为设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)， 结合已知条件，得结合已知条件，得 3x203a3，x303ax0y03x01，解得解得 a1322，x0342. a1322. 感悟提高感悟提高 充分利用导数的几何意义，明确切点是曲充分利用导数的几何意义，明确切点是曲线与切线的一个公共点线与切线的一个公共点 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
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