初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视

第二十七讲 动态几何问题透视 春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来 动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1动中觅静 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性 2动静互化 “静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系 3以动制动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维” 【例题求解】【例1】 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是 思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割RtABC的两次转动，顶点A所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120和90，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和【例2】如图，在O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AAAB，BBAB，且AA=AP，BB=BP，连结AB，当点P从点A移到点B时，AB的中点的位置( ) A在平分AB的某直线上移动 B在垂直AB的某直线上移动 C在AmB上移动 D保持固定不移动 1 / 9思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律【例3】 如图，菱形OABC的长为4厘米，AOC60，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿OAB路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿OAB路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题： (1)当=3时，的值是多少? (2)就下列各种情形： 02；24；46；68求与之间的函数关系式 (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系 思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值 【例4】 如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m秒的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒) (1)当为何值时，线段EF与BC平行? (2)设12，当为何值时，EF与半圆相切? (3)当10时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围 6已知：如图，O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CDAB于D设CB的长为，CD的长为 (1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值； (2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与O有几种位置关系，并求出不同位置时 的取值范围； (3)在点B运动的过程中，如果过B作BEAC于E，那么以BE为直径的圆与O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长 7如图，已知A为POQ的边OQ上一点，以A为顶点的MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且MAN=POQ=(为锐角)当MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动设OM=，ON= (0)，AOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根 (1)当MAN旋转30(即OAM=30)时，求点N移动的距离； (2)求证：AN2=ONMN； (3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (4)试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围 8已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD (1)求BC、AD的长度； (2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cms的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 9已知：如图，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BFnAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动 设AE=，四边形EFGH的面积为S (1)当n=l、2时，如图、，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使? (2)当n=3时，如图，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使； (3)当n=k (k1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由 10如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作O1 (1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与O1的位置关系，并证明你的结论； (2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与O1相切? (3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA轴于A点，连结AF交O1于点P，试问PAFA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围 参考答案 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！