基于GED分布下汇率风险的VaR估计方法研究

第四组：金融、银行基于GED分布下汇率风险的VaR估计方法研究作者简介：焦继文，男，1961年10生，博士，山东大学管理学院教授，主要从事统计学应用等研究。焦继文1 李长文2（1.山东大学管理学院，山东 济南，250100；2.青岛海军潜艇学院，山东青岛 266071）摘要：VaR在风险测度和管理中已成为一种标准工具。通常在确定VaR的参数法中，由于大多金融变量的厚尾性和方差时变性等特征，采用的方法多是对误差项作GARCH类计量模型分析。本文直接假定外汇汇率变量服从尾部较厚的GED分布的情况下，推导出了期初持有的一定外汇头寸在连续n个时期内，由于汇率的波动所产生的风险损失函数，并给出了作为随机变量的损失函数递推形式的密度函数和分布函数，以及计算VaR所需要的分位点的确定方法。最后，构造出了基于GED分布条件下的连续n个时期的外汇汇率波动风险的VaR测度模型，以期能够提供一种新的解决思路。关键词：外汇头寸；汇率风险；风险损失；GED分布；VaR中图分类号：F812.5 文献标识码：A A Study of VaR Estimation Method of Foreign Exchange Rate Risks Based on GED-DistributionJIAO Ji-wen1 LI Chang-wen2（1. School of Management, Shandong University, Jinan 250100, P.R. China; 2.Naval Submarine Academy, Qingdao 266071, P.R. China）Abstract: Value-at-Risk（VaR）has become a standard tool in financial risk measurement and management. Usually because of the characteristics of the heavy-tailed and variance time-varying and so on in the parametric method for determining VaR, the econometric model analysis are made to the errors using ARCH or GARCH, etc. This article, directly assuming foreign exchange rate variables to obey GED distribution with heavy-tails, deduces the risk loss function of certain foreign exchange position at the beginning of the period caused by the volatility of foreign exchange rates, and gives the density and distribution functions in recursion forms as the loss function of a random variable and the method of deciding quantile for calculating VaR. Finally, the VaR measurement model of foreign exchange rates fluctuation during continuous n periods will be constructed on basis of GED distribution in order to provide a new way for measuring foreign exchange rate risks.Key words: foreign exchange position; foreign exchange rate risks; loss function; GED-distribution; VaR1.引言VaR是度量在正常的市场条件和一个给定的置信水平条件下，一定时期某一金融资产或证券投资组合预期的最大损失。其概念非常简单，但在具体计算VaR时，通常需要解决三个问题：一是期限的长短；二是置信水平的大小；三是金融时序变量的波动性。对于前两个参数的确定问题，要从风险管理的全局目标出发，来适当加以确定。目标期限对于活跃的交易台可能只需几个小时，而对于养老基金就可能需要一年。置信水平（或分位数）也是要依赖于不同的风险管理目标来确定。比如，如果主要目标是为满足外部监管的需要，像银行资本需求的管理，置信水平就可能确定的非常小（比如1%）。然而，对于一个公司用于控制其风险暴露的一个内部风险管理模型来讲，该值可能就要大一些（比如5%左右）（Simon Benninga 和 Zvi Wiene，1998）。至于第三个问题的解决，通常是把VaR的计算与反映金融时序异方差性的ARCH或GARCH模型结合起来，利用后者来估计金融时序的波动率大小，然后再根据VaR的计算公式计算出具体的数值。在计算参数VaR时，对资产收益率或市场因素的收益率通常假定服从正态分布，而不是其它形式的分布，这主要是由于正态分布具有良好的统计特征，可以避免很多复杂的运算。如果不对收益率进行正态分布假设，就会使得很多问题难以求解（当然，非参数方法就不存在这个问题，因为它不必假设市场或资产变动服从正态分布）。然而，由于很多金融时序具有“尖峰厚尾”性和方差时变性等显著特征，因此，通常假定随机误差项服从正态分布可能与事实不太相符，并由此带来较大误差。有关这一点，已经有大量的实证分析文章（比如，Fama，1963；Bouchaud et al，1997；Eberlein et al，1998；Heyde，1999；Irina Khindanova，2000；Hosking et al，2000；Nam Doowoo, 2001，等等）。另外，詹姆斯 D. 汉密尔顿（1999）在其相关著作中也指出，金融数据不仅条件分布是一个厚尾分布，而且无条件分布也是厚尾分布。如果忽视尖峰厚尾的特性，计算的VaR就会忽视VaR水平之外的任何损失，这就是所谓的“尾部风险”问题。Yasuhiro Yamai和Toshinao Yoshiba（2005）描述了VaR的尾部风险在一定场合会产生严重的问题，并建议使用损失风险预期值（Expected Shortfall（ES）来代替VaR会更适宜。国内外很多学者花费了大量时间和精力寻找在不同分布下的VaR计算问题，比如，使用广义误差分布（GED）、Levy分布、威布尔分布、混合正态分布或t-分布等尾部相对较厚的ARCH和GARCH模型来拟合金融数据的波动率，以力图能够对金融时间序列变动风险得以准确测量。但实证结果表明比较复杂的尾部建模方法常常以VaR自身估计更加不确定性为代价（Dennis Bams et al，2005）。有人甚至还设想把一个机构的所有风险都应该纳入到一个风险测度公式中（Glyn A. Holton，1997）。但应该注意到，VaR仅仅是一个工具，而所有的工具都有其局限性。就像锤子可以钉钉子，而对螺丝钉就无能为力。这时，如果我们说锤子有缺陷，倒不如说锤子有局限性。因此，很难甚至不可能获取一个放之四海而皆准的“万能”的VaR度量公式。笔者曾在文献13、14中，就金融变量服从正态分布和t-分布的情形下，推导出了n期债务利率风险的VaR测度公式。但是，如前所述，鉴于大多金融时间序列都具有“尖峰厚尾”特性，而通常建立在GARCH模型族基础上的VaR的计算，也是假定模型的误差项具有ARCH效应，并建立均值方程和关于误差项的方差变动模型。毫无疑问，这是处理条件异方差问题的最有效的工具。但是，本文变换了一下思路，直接假定金融变量服从尾部比较厚的广义误差分布（GED）的条件下，推导出了期初持有的一定外汇头寸在连续n个时期内，由于汇率的波动所产生的风险损失函数，并给出了作为随机变量的损失函数递推形式的密度和分布函数，以及计算VaR所需要的分位点的确定方法。最后，构造出了基于广义误差分布条件下的连续n个时期的外汇汇率波动风险的VaR测度模型。应该说是对以往研究此类问题的一种方法上的改进，为准确计量国际金融市场上的汇率波动风险提供了新的研究思路。2准备工作2.1 一些记号为构建外汇资产汇率风险的VaR测度模型，引入如下记号：（1）一国或一个公司期初所持有的外汇总额；（2）外汇持有期限（单位：天、月或年）； （3）外汇持有期初的汇率，这里使用汇率的直接标价法； （4）外汇持有期内第期的国际金融市场上的汇率（标价方法同上），假定它是服从均值为的广义误差分布（GED）的随机变量，其密度函数为 f(x) =， v，l 0 （1）其中，均值为e，方差为；（5）令，易知仍服从均值为零的GED分布，记为X GED(v, l)（只需在上面（1）式中将e令为零即可）。并假定，是相互独立的随机变量。并记 ，；（6）贴现率；（7）连续期内由于汇率的波动而产生的风险损失函数。2.2 引理为了推导出国际汇率变动风险的VaR计算公式，我们先给出如下引理。引理 设X 服从GED(v, l)分布，则Y = (|X| + X)/2的分布密度函数为f (y) = 且 EY =，DY =，其中：，为伽马函数。 证明 因为Y的分布函数为FY(y) = P(Y y ) =所以Y的分布密度函数为fY(y) = FY (y) =又 EY = E(|X| + X)/2 = E|X| /2 =EY2 = E(|X|2 + 2|X|X + X2)/4 = E(X2 + |X|X )/2 = EX2 /2 =故 DY = EY2 (EY)2 = 【证毕】推论 设X1,Xn是n个独立的随机变量，且X k GED(vk，lk)，Yk = (|Xk| + Xk)/2，k = 1, n，a1,an为实数Z = a1Y1 + anYn则EZ = （2）DZ = （3）akYk 的密度函数为因为=所以Zn，n = 1, 的密度函数可以用如下关系给出= 而Zn，n = 1,的分布函数可以用如下关系给出 , （4）， n = 1,那么，满足 （5）的左临界值就可以使用 = a （6）来确定。3.VaR测度模型的建立当一国或一公司期初持有一个单位的外汇，在个时期内由于汇率波动所产生的损失并贴现到期初的结果为 （7） 其中假定个时期内的贴现率均为。当然，若假设每个时期的贴现率不同，比如说设为，这时只需将（7）式中的改为即可。为此，根据上述推论，只需在（3）和（4）式中注意到，可得作为风险损失函数的随机变量（7）式的方差为 （8）通过（6）可以计算出满足等式（其中水平通常可以取为0.05，0.025，0.01等）的左临界值Y*(a)。因此，可以得到在独立同分布于GED的情况下，一国或一个公司期初持有单位的外汇头寸，在未来连续个时期内且在置信水平下因汇率波动的VaR度量公式为（绝对水平） （9）当然，当各个时期的贴现率不同时，只需将上式中的改为即可。4. 结束语本文在建立汇率波动的VaR度量公式时，我们首先是将汇率的波动进行了有效的分离，对两种不同方向上的波动作了不同处理。从完全损失的角度给出了一国或一个公司期初所持有的一定外汇头寸因未来各个时期的汇率波动所产生的风险损失函数，而该风险损失函数仍然是一个随机变量。作为随机变量，就有它自己的分布，通过推导我们给出了该风险损失函数的递推形式的概率密度函数和分布函数，这样就可以通过确定VaR模型中所需要的各种技术参数，最终给出精确的VaR测度公式。本文中，我们只是稍微改变了处理金融时序变量（特别是具有厚尾和异方差的金融变量）的一般处理方式，即建立均值方程和处理异方差的ARCH或GARCH模型的思路，而直接通过损失函数构造VaR，应该说是对以往研究此类问题的一种方法上的改进，并给出了解决此类问题的一个通用公式。为准确计量国际金融市场上的汇率波动风险提供了新的思路。当然，本文给出的度量公式中的各种参数还需要通过有效的途径进行估计（比如极大似然估计法），对于不易求损失函数的密度函数的情形，当然还可以采用非参数估计方法（如核密度函数估计法），这也是作者需要进一步研究的问题。参考文献1Simon Benninga and Zvi Wiener，1998，“Value-at-Risk”，Mathematica in Education and Research，7（4），18。2 Glyn A. Holton, 1998, The Newsletter of the Investment Section of the Society of Actuaries, Risks and Rewards 31, 1417.3Bouchaud, J.P., Sornette, D., and Potters, M. 1997, Option pricing in the presence of extreme fluctuations in mathematics of derivative securities M. London :Cambridge University Press, 68。4Eberlein, E., Keller, U., and Prause, K. 1998, “New insights into smile, mispricing, and value-at-risk: the hyperbolic model” J. Journal of Business, 71, 371406。5Heyde, C. C., 1999, “A risky asset model with strong dependence through fractal activity time”J. Journal of Applied Probability, 36: 12341239。6Irina Khindanova, 2000, “Stable Modeling in Risk Management”, Bell & Howell Information and Learning Company, USA。7Hosking, J. R. M. , Bonti , G. , and Siegel ,D. 2000, Beyond the lognormal” J. Risk, 13(5): 5962。8Nam Doowoo, 2001, “Value at Risk: A Quantile-Based Distribution Approach for Incorporation Skewness and Fat-Tailedness”, Bell & Howell Information and Learning Company, USA。9Yasuhiro Yamai & Toshinao Yoshiba, 2005, “Value-at-risk versus expected shortfall: A practical perspective”,Journal of Banking & Finance, 29(4), 997-1015。10Dennis Bams, et al., 2005, “An evaluation framework for alternative VaR-models”,Journal of International Money and Finance, 24(6), 944958。11 Fama, E. (1963) “Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis”, Journal of Business, 36, 420-429。12詹姆斯 D. 汉密尔顿 著，刘志明 译，时间序列分析，中国社会科学出版社, 1999年12月第1版。13焦继文，王福重. 一种基于VaR视角下的国际利率风险的测度公式J. 统计研究，2006年第8期。14王福重，焦继文. 基于t-分布下外债利率风险的VaR度量模型J. 金融研究，2006年第12期。作者通信地址：山东济南市山大南路27号（管理学院），邮编250100电话： 0531-86333812（宅），13953181720邮箱： jiaojiwen作者简介：焦继文（1961-）：男，统计学博士，山东大学管理学院教授。7