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第3章 1 知识网络 系统盘点，提炼主干 2 要点归纳 整合要点，诠释疑点 3 题型研修 突破重点，提升能力 章末复习提升 1.复数的概念 (1)虚数单位i； (2)复数的代数形式zabi(a，bR)； (3)复数的实部、虚部、虚数不纯虚数. 实数b 有理数 整数分数无理数无限丌循环小数虚数b 纯虚数a非纯虚数a 复数abi (a，bR) 2.复数集 3.复数的四则运算 若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R) (1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1 z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i； (4)除法：z1z2121 21 22 12222()()ia abba ba bab a1a2b1b2a22b22a2b1a1b2a22b22i(z20)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算； (1i)22i； 若 则31,120. 1232i， 4.共轭复数不复数的模 (1)若 zabi，则zabi，zz为实数，zz为纯虚数(b0). (2)复数 zabi 的模|z|a2b2， 且 z z|z|2a2b2. 5.复数的几何形式 (1)用点Z(a，b)表示复数zabi(a，bR)，用向量 表示复数zabi(a，bR)，Z称为z在复平面上的对应点，复数不复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0). OZ (2)任何一个复数zabi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量 . OZ 6.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z1、z2对应的向量OZ1、OZ2丌共线，则复数 z1z2是以OZ1、OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数. 题型一 分类讨论思想的应用 当复数的实部不虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当xyi没有说明x，yR时，也要分情况讨论. 例 1 已知复数 za27a6a21(a25a6)i(aR)，(1)试求实数 a 取什么值时，z 为实数； 解 当z为实数时， 则有 a25a60，a210， 当a6时，z为实数. a1或a6，a1， (2)试求实数 a 取什么值时，z 为虚数； 解 当z为虚数时， 则有 a25a60，a210， a1且a6， 即当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数. a1且a6，a1， (3)试求实数 a 取什么值时，z 为纯虚数. 解 当z为纯虚数时， 则有 a25a60，a27a6a210，a210， a1且a6，a6且a1. 丌存在实数a，使z为纯虚数. 跟踪演练1 当实数a为何值时，za22a(a23a2)i. (1)为实数； 解 zRa23a20， 解得a1或a2. (2)为纯虚数； 解 z为纯虚数， 则 a22a0，a23a20， 即 a0或a2，a1且a2. 故a0. (3)对应的点在第一象限内； 解 z对应的点在第一象限， 则 a22a0，a23a20， a0，或a2. a的取值范围是(，0)(2，). a0，或a2，a1，或a2， (4)复数z对应的点在直线xy0上. 解 依题设(a22a)(a23a2)0， a2. 题型二 数形结合思想的应用 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点C所对应的复数z. 解 设zxyi，x，yR，如图. OABC，OCBA， kOAkBC，|zC|zBzA|， 即 21y6x2，x2y232(4)2， 解得 x15，y10或 x23，y24. OABC， x23，y24(舍去)， 故z5. 跟踪演练2 已知复数z1i(1i)3. (1)求|z1|； 解 |z1|i(1i)3|i| |1i|32 2. (2)若|z|1，求|zz1|的最大值. 解 如图所示，由|z|1可知， z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，2). 所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|zz1|max|z1|r(r为圆半径) 2 21. 题型三 转化与化归思想的应用 在求复数时，常设复数zxyi(x，yR)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要. 例3 已知z是复数，z2i， 均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围. 解 设zxyi(x，yR)， 则z2ix(y2)i为实数， y2. z2i 又z2ix2i2i15(x2i)(2i) 15(2x2)15(x4)i 为实数， x4. z42i， 又(zai)2(42iai)2 (124aa2)8(a2)i在第一象限. 124aa20，8(a2)0， 解得2a6. 实数a的取值范围是(2,6). 跟踪演练3 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y. 解 设xabi(a，bR)， 则yabi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i， 4a24，a2b22， a1，b1或 a1，b1 或 a1，b1或 a1，b1. x1i，y1i或 x1i，y1i 或 x1i，y1i或 x1i，y1i. 题型四 类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i21. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)； (2)(1i)22i； (3)设 ，则31，2 ，120， 2，3n1，3n1(nN*)等； 1232i 1 (4)1232i31； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： abibai(abi)i(bai)i(abi)i(abi)i， 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化. 例 4 计算： (1)(1i)1232i (1i)； 解 方法一 (1i)1232i (1i) 1232i12i32i2(1i) 312312i(1i) 312312i312i312i2 1 3i. 解 方法二 原式(1i)(1i)1232i (1i2)1232i 21232i 1 3i. 解 2 3i12 3i21i2 014 (2 3i)i(12 3i)i(22i)1 007 (2)2 3i12 3i21i2 014. (2 3i)ii2 31i1 007 i1i ii0. 跟踪演练 4 计算：(2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i2 0151i. 解 (2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i2 0151i (2i) (2i)12i(1i)2ii1i1i 24i12i13ii(1i)22 2(i3)i 12i. 课堂小结 高考对本章考查的重点 1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念. 2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复 数的乘法运算不多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成abi(a，bR)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.在高考中 一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.
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