第七节第二课时 空间向量的应用

空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 考点一考点一 向量法解决探索性问题向量法解决探索性问题 第二课时第二课时 空间向量的应用空间向量的应用 探索性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角探索性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度度，也是考生感觉较难也是考生感觉较难，失分较多的问题失分较多的问题 立体几何中常见的探索性问题有：立体几何中常见的探索性问题有： (1)探索性问题与平行相结合；探索性问题与平行相结合； (2)探索性问题与垂直相结合；探索性问题与垂直相结合； (3)探索性问题与空间角相结合探索性问题与空间角相结合 锁定考向锁定考向 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 题点全练题点全练 角度一：探索性问题与平行相结合角度一：探索性问题与平行相结合 1(2016 北京高考北京高考)如图如图，在四棱锥在四棱锥 P- ABCD 中中，平面平面PAD平面平面 ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5 (1)求证：求证：PD平面平面 PAB； (2)求直线求直线 PB 与平面与平面 PCD 所成角的正弦值；所成角的正弦值； (3)在棱在棱 PA 上是否存在点上是否存在点 M，使得使得 BM平面平面 PCD？若存在？若存在，求求AMAP的值；若不存在的值；若不存在，说明理由说明理由 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 (1)证明证明：因为平面：因为平面 PAD平面平面 ABCD，平面平面 PAD平面平面ABCDAD，ABAD，AB 平面平面 ABCD， 所以所以 AB平面平面 PAD 所以所以 ABPD 又因为又因为 PAPD，PAABA， 所以所以 PD平面平面 PAB (2016 北京高考北京高考)如图如图，在四棱锥在四棱锥 P- ABCD 中中，平面平面PAD平面平面 ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5 (1)求证：求证：PD平面平面 PAB； 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 因为因为 CO平面平面 ABCD，所以所以 POCO 因为因为 ACCD，所以所以 COAD 如图所示如图所示，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 O- xyz 由题意得由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2，0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1) 则则 PD(0，1，1)， PC(2,0，1)， PB(1,1，1)， 设平面设平面 PCD 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)， 解解：取取 AD 的中点的中点 O，连接连接 PO，CO因为因为 PAPD，所以所以POAD 又因为又因为 PO 平面平面 PAD， 平面平面 PAD平面平面 ABCD，所以所以 PO平面平面 ABCD (2)求直线求直线 PB 与平面与平面 PCD 所成角所成角正弦值；正弦值； 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 则则 n PD0，n PC0，即即 yz0，2xz0.令令 z2，则则 x1，y2 所以所以 n(1，2,2)又又 PB(1,1，1)， 所以所以 cosn， PBn PB|n| PB|33 所以直线所以直线 PB 与平面与平面 PCD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为33 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解解：设设 M 是棱是棱 PA 上一点上一点，则存在则存在 0,1，使得使得AM AP因此点因此点 M(0,1，)，BM(1，) 因为因为 BM 平面平面 PCD，所以要使所以要使 BM平面平面 PCD，当且仅当当且仅当BM n0，即即(1，) (1，2,2)0 解得解得 14所以在棱所以在棱 PA 上存在点上存在点 M 使得使得 BM平面平面 BCD，此时此时AMAP14 (3)在棱在棱 PA 上是否存在点上是否存在点 M，使得使得 BM平面平面 PCD？若存在？若存在，求求AMAP的值；若不存在的值；若不存在，说明理由说明理由 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 角度二：探索性问题与垂直相结合角度二：探索性问题与垂直相结合 2(2017 吉林实验中学模拟吉林实验中学模拟)如图如图所示所示，正正ABC 的边长为的边长为4， CD 是是 AB 边上的高边上的高， E， F 分别是分别是 AC 和和 BC 边的中点边的中点，现将现将ABC 沿沿 CD 翻折成翻折成直直二面角二面角 A- DC- B， 如图如图所示所示 (1)试判断直线试判断直线 AB 与平面与平面 DEF 的位置关系的位置关系，并说明理由；并说明理由； (2)求二面角求二面角 E- DF- C 的余弦值；的余弦值； (3)在线段在线段 BC 上是否存在一点上是否存在一点 P，使使 APDE？证明你的证明你的结论结论 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解：解：(1)直线直线 AB平面平面 DEF理由如下：理由如下： 在在ABC 中中，由由 E，F 分别是分别是 AC，BC 的中点的中点， 得得 EFAB 又又 AB 平面平面 DEF，EF平面平面 DEF， AB平面平面 DEF (2)由题意知由题意知，AD，BD，DC 三直线两两垂直三直线两两垂直，故以故以 D 为原为原点点，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系， 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 则则 A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2 3，0)，E(0， 3，1)，F(1， 3，0)， 易知平面易知平面 CDF 的法向量为的法向量为 DA(0,0,2)， 设平面设平面 EDF 的法向量为的法向量为 n(x，y，z)， 则则 DF n0， DE n0，即即 x 3y0，3yz0，取取 n(3， 3，3)， cos DA，nDA n| DA| |n|217， 二面角二面角 E- DF- C 的余弦值为的余弦值为217 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解解：存在点存在点 P，使使 APDE，证明如下：证明如下： 设设 P(x，y,0)，则则 AP(x，y，2)，若若 APDE，则则 AP DE 3y20，y2 33又又 BP(x2，y,0)， PC(x,2 3y,0)， BP PC，(x2)(2 3y)xy， 3xy2 3把把y 2 33代 入 上 式 得代 入 上 式 得 x 43， P 43，2 33，0 ， 又又 BP 23，2 33，0 ， BC(2,2 3，0) BP13BC，在线段在线段BC 上存在点上存在点 P 43，2 33，0 ，使使 APDE (3)在线段在线段 BC 上是否存在一点上是否存在一点 P，使使 APDE？证明你的证明你的结论结论 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 角度三：探索性问题与空间角相结合角度三：探索性问题与空间角相结合 3(2017 兰州诊断兰州诊断)如图如图，在四棱锥在四棱锥 P- ABCD中中，PA平面平面 ABCD，PAABAD2，四边形四边形 ABCD 满足满足 ABAD，BCAD 且且 BC4，点点 M 为为PC 的中点的中点，点点 E 为为 BC 边上的动点边上的动点，且且BEEC (1)求证：平面求证：平面 ADM平面平面 PBC； (2)是否存在实数是否存在实数 ， 使得二面角使得二面角 P- DE- B 的余弦值为的余弦值为22？若？若存在存在，试求出实数试求出实数 的值；若不存在的值；若不存在，说明理由说明理由 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解解：(1)证明：取证明：取 PB 的中点的中点 N，连接连接 MN，AN， M 是是 PC 的中点的中点， MNBC， MN12BC2， 又又 BCAD，MNAD，又又MNAD， 四边形四边形 ADMN 为平行四边形为平行四边形， APAD，ABAD，ABAPA， AD平面平面 PAB，ADAN，ANMN， APAB，ANPB，又又PBMNN， AN平面平面 PBC， AN平面平面 ADM，平面平面 ADMPBC 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 (2)存在符合条件的存在符合条件的 以以 A 为原点为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 A- xyz， 设设 BEt， 则则 E(2，t,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)， 从而从而 PD(0,2，2)， DE(2，t2,0)， 设平面设平面 PDE 的法向量为的法向量为 n1(x，y，z)， 则则 n1 PD0，n1 DE0，即即 2y2z0，2x t2 y0，令令 yz2，解得解得 x2t，n1(2t,2,2)， 又平面又平面 DEB 即为平面即为平面 xAy，故其一个法向量为故其一个法向量为 n2(0,0,1)， 则则|cosn1，n2|n1 n2|n1| |n2|2 2t 24422， 解得解得 t2，可知可知 1 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 通法在握通法在握 解立体几何中探索性问题的方法解立体几何中探索性问题的方法 (1)通常假设题中的数学对象存在通常假设题中的数学对象存在(或结论成立或结论成立)，然后在然后在这个前提下进行逻辑推理；这个前提下进行逻辑推理； (2)若能推导出与条件吻合的数据或事实若能推导出与条件吻合的数据或事实， 说明假设成立说明假设成立，即存在即存在，并可进一步证明；并可进一步证明； (3)若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假则说明假设不成立设不成立，即不存在即不存在 提醒提醒 探索线段上是否存在点时探索线段上是否存在点时， 注意三点共线条件的注意三点共线条件的应用应用 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 (1)证明：证明：BC平面平面 PBD (2)证明：证明：AM平面平面 PBC (3)线段线段 CD 上是否存在点上是否存在点 N， 使使 AM 与与 BN 所成角的余所成角的余弦值为弦值为34？若存在？若存在，找到所有符合要求的点找到所有符合要求的点 N，并求并求CN 的长；若不存在的长；若不存在，说明理由说明理由 演练冲关演练冲关 如图如图 1，四棱锥四棱锥 P- ABCD 中中，PD底面底面 ABCD，四边形四边形 ABCD是直角梯形是直角梯形，M 为侧棱为侧棱 PD 上一点上一点，该四棱锥的俯视图和侧视该四棱锥的俯视图和侧视图如图图如图 2 所示所示 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解：解：(1)证明：由俯视图可得证明：由俯视图可得，BD2BC2CD2， 所以所以 BCBD 又因为又因为 PD平面平面 ABCD， 所以所以 BCPD 因为因为 BDPDD， 所以所以 BC平面平面 PBD 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 所以所以 MQCD，MQ14CD 在在BCD 中中，易得易得CDB60 ，所以所以ADB30 又又 BD2，所以所以 AB1，AD 3 又因为又因为 ABCD，AB14CD，所以所以 ABMQ，ABMQ， 所以四边形所以四边形 ABQM 为平行四边形为平行四边形，所以所以 AMBQ 因为因为 AM 平面平面 PBC， BQ平面平面 PBC， 所以直线所以直线 AM平面平面 PBC (2)证明：取证明：取 PC 上一点上一点 Q，使使 PQPC14， 连接连接 MQ，BQ 由侧视图知由侧视图知 PMPD14， 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解解：线段线段 CD 上存在点上存在点 N，使使 AM 与与 BN 所成角的余所成角的余弦值为弦值为34理由如下：理由如下： 因为因为 PD平面平面 ABCD，DADC， 以以 DA， DC， DP所在直线为所在直线为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴轴，建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系 D- xyz 所以所以 D(0,0,0)，A( 3，0,0)，B( 3，1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3) (3)线段线段 CD 上是否存在点上是否存在点 N，使使 AM 与与 BN 所成角的余弦值为所成角的余弦值为34？若存在？若存在，找到所有符合要求的点找到所有符合要求的点 N，并求并求 CN 的长；若不的长；若不存在存在，说明理由说明理由 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 设设 N(0，t,0)，其中其中 0t4所以所以( 3，0,3)，( 3，t1,0)要使要使 AM 与与 BN 所成角的余弦值为所成角的余弦值为34， 则有则有|AM BN|AM| BN|34，所以所以32 3 3 t1 234， 解得解得 t0 或或 2，均适合均适合 0t4 故点故点 N 位于位于 D 点处点处，此时此时 CN4； 或点或点 N 位于位于 CD 中点处中点处，此时此时 CN2，有有 AM 与与 BN 所成角的所成角的余弦值为余弦值为34 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 典例引领典例引领 考点二考点二 空间向量的综合应用空间向量的综合应用 (2016 郑州市第二次质量检测郑州市第二次质量检测)如图如图，在梯形在梯形ABCD 中中，ABCD，ADDCCB1，BCD120 ，四边形四边形 BFED 为矩形为矩形，平面平面BFED平面平面 ABCD，BF1 (1)求证：求证：AD平面平面 BFED； (2)点点 P 在线段在线段 EF 上运动上运动， 设平面设平面 PAB 与平面与平面 ADE 所成锐二面所成锐二面角为角为 ，试求试求 的最小值的最小值 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 AB2AD2BD2， ADBD 平面平面 BFED平面平面 ABCD，平面平面 BFED平面平面 ABCDBD，DE平面平面 BFED，DEDB， DE平面平面 ABCD， DEAD，又又 DEBDD，AD平面平面BFED 解：解：(1)证明：在梯形证明：在梯形 ABCD 中中， ABCD，ADDCCB1，BCD120 ， AB2，BD2AB2AD22AB AD cos 60 3 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 (2)由由(1)可建立分别以直线可建立分别以直线 DA，DB，DE 为为 x 轴轴，y 轴轴，z 轴的空间轴的空间直角坐标系直角坐标系，如图所示如图所示，令令 EP(0 3)， 则则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0，1)， AB(1， 3，0)， BP(0， 3，1) 设设 n1(x，y，z)为平面为平面 PAB 的法向量的法向量， 由由 n1 AB0，n1 BP0，得得 x 3y0， 3 yz0， 取取 y1，则则 n1( 3，1， 3)， n2(0,1,0)是平面是平面 ADE 的一个法向量的一个法向量， cos |n1 n2|n1|n2|131 3 211 3 24 0 3， 当当 3时时， cos 有最大值有最大值12， 的最小值为的最小值为3 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 由题悟法由题悟法 处理立体几何的最值问题的处理立体几何的最值问题的 2 种方法种方法 (1)结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；结合条件与图形恰当分析取得最值的条件； (2)直接建系后直接建系后，表示出函数转化为函数最值问题表示出函数转化为函数最值问题 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 即时应用即时应用 (2017 贵州省适应性考试贵州省适应性考试)已知长方形已知长方形 ABCD 中中，AB1，AD2现将长方形沿对角线现将长方形沿对角线 BD 折起折起，使使 ACa，得到一个四面得到一个四面体体 A- BCD，如图所示如图所示 (1)试问：在折叠的过程中试问：在折叠的过程中，异面直线异面直线 AB 与与 CD，AD 与与BC 能否垂直？若能垂直能否垂直？若能垂直，求出相应的求出相应的 a 值；若不垂直值；若不垂直，请说明理由请说明理由 (2)当四面体当四面体 A- BCD 的体积最大时的体积最大时，求二面角求二面角 A- CD- B的余弦值的余弦值 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 解：解：(1)若若 ABCD，因为因为 ABAD，ADCDD， 所以所以 AB平面平面 ACD，所以所以 ABAC 即即 AB2a2BC2，即即 12a2( 2)2，所以所以 a1 若若 ADBC，因为因为 ADAB，ABBCB， 所以所以 AD平面平面 ABC，所以所以 ADAC 即即 AD2a2CD2，即即( 2)2a212，所以所以 a21，无解无解 故故 ADBC 不成立不成立 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 (2)要使四面体要使四面体 A- BCD 的体积最大的体积最大， 因为因为BCD 的面积为定值的面积为定值22， 所以只需三棱锥所以只需三棱锥 A- BCD 的高最大即可的高最大即可，此时平面此时平面 ABD平平面面 BCD，过点过点 A 作作 AOBD 于点于点 O，则则 AO平面平面 BCD， 以以 O 为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 O- xyz(如图如图)， 则易知则易知 A 0，0，63， C 63，33，0 ，D 0，2 33，0 ， 空间向量的应用空间向量的应用 结结 束束 课 堂课 堂 考 点 突 破考 点 突 破 课 后课 后 三 维 演 练三 维 演 练 显然显然，平面平面 BCD 的一个法向量为的一个法向量为 OA 0，0，63 设平面设平面 ACD 的法向量为的法向量为 n(x，y，z) 因为因为 CD 63，33，0 ， DA 0，2 33，63， 所以所以 6x 3y，2 3y 6z，令令 y 2，得得 n(1， 2，2) 故故 cos OA，n2 6363 72 77 所以二面角所以二面角 A- CD- B 的余弦值为的余弦值为2 77 板块命题点专练（十二）板块命题点专练（十二） 点击此处点击此处