（全国通用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第2节 两直线的位置关系课件 文 新人教A

第第2节节 两直线的位置关系两直线的位置关系 最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2 .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2 . (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2 ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 知知 识识 梳梳 理理 k1k2 平行 k1 k21 垂直 2.两直线相交 直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应. 相交方程组有 ，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组 ； 重合方程组有 . 唯一解 无解 无数个解 3.距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2| . 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP| . (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d . (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d . （x2x1）2（y2y1）2 x2y2 |Ax0By0C|A2B2 |C1C2|A2B2 常用结论与微点提醒 1.直线系方程 (1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC). (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR). 2.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑. 3.在运用两平行直线间的距离公式 d|C1C2|A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y的系数分别化为相同的形式. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l1，l2有可能重合. (2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在. 答案 (1) (2) (3) (4) 诊诊 断断 自自 测测 答案 C 解析 圆(x1)2y22 的圆心坐标为(1，0)，由 yx3 得 xy30，则圆心到直线的距离 d|103|12（1）2 2. 2.圆(x1)2y22 的圆心到直线 yx3 的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 3.(2018 高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 答案 A 解析 因为抛物线 y22x 的焦点坐标为12，0 ，直线 3x2y50 的斜率为32，所以所求直线 l 的方程为 y32x12，化为一般式，得 6x4y30. 4.直线2x2y10，xy20之间的距离是_. 答案 3 24 解析 先将2x2y10化为xy120， 则两平行线间的距离为d21223 24. 5.(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_. 答案 1 解析 由题意知 m42m1，所以 m42m，所以 m1. 考点一考点一 两直线的平行与垂直两直线的平行与垂直 【例1】 (一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. (1)当l1l2时，求a的值； (2)当l1l2时，求a的值. 解 (1)法一 当a1时，l1：x2y60， l2：x0，l1不平行于l2； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2； 当a1且a0时， 综上可知，a1. 两直线方程可化为 l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由 l1l2可得a211a，3（a1），解得 a1. (2)法一 当a1时，l1：x2y60， l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不符合； 法二 l1l2，A1A2B1B20, 即a（a1）120，a（a21）160a2a20，a（a21）6a1. 当 a1 时，l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)， 由 l1l2，得a211a1a23. 即 a2(a1)0，得 a23. 法二 由 l1l2知A1B2A2B10，A1C2A2C10， 规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【训练1】 (1)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则直线l的方程是( ) A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30 (2)设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10.则“m2”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)圆x2(y3)24的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30. (2)当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立. 但当m1时，两直线重合，不符合要求， 故必要性成立，故选C. 答案 (1)D (2)C 当 l1l2时，显然 m0，从而有2mm1，解得 m2 或 m1， 考点二考点二 两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题 【例 2】 (1)(一题多解)已知直线 ykx2k1 与直线 y12x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_. (2)(一题多解)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等，则直线 l 的方程为_. (若 2k10，即 k12，则两直线平行) 交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限， 24k2k10，6k12k10，解得16k12. 解析 (1)法一 联立方程ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1. 而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)， 表示这是一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线. 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， 动直线的斜率k需满足kPAkkPB. kPA16，kPB12.16k12. 法二 如图，已知直线 y12x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4，0)，B(0，2). (2)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意. 由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即|3k1|3k3|，k13. 直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50. 即x3y50. 当l过AB中点时，AB的中点为(1，4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1. 答案 (1)16，12 (2)x3y50 或 x1 法二 当 ABl 时，有 kkAB13，直线 l 的方程为 y213(x1)， 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. 2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等. 【训练2】 (2018 合肥调研)设l1为曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)的切线，直线l2的方程为2xy30，且l1l2，则直线l1与l2的距离为_. 答案 2 55 解析 由 f(x)exx， 得 f(x)ex1， 设 l1与曲线 f(x)exx 相切的切点为(x1， y1)，直线 l2的方程为 2xy30，且 l1l2，ex112，解得 x10，y11，则直线l1与 l2的距离即为切点到 l2的距离，即|2013|22（1）22 55. 考点三考点三 对称问题对称问题 【例3】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求： (1)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程； (3)(一题多解)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程. 解 (1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x123y2210， 解得x3313，y413，A3313，413. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m上. 设对称点为M(a，b)， 又m经过点N(4，3)， 由两点式得直线方程为9x46y1020. 设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4，3). 则2a223b0210，b0a2231，解得 M613，3013. (3)法一 在l：2x3y10上任取两点， 如M(1，1)，N(4，3)， 则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上. 易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90. 法二 设P(x，y)为l上任意一点， 则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， P在直线l上，2(2x)3(4y)10， 即2x3y90. 规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直. 2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题. 3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上. 【训练3】 (一题多解)光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程. 反射点M的坐标为(1，2). 又取直线x2y50上一点P(5，0)， 设P关于直线l的对称点P(x0，y0)， 由 PPl 可知，kPP23y0 x05. 而 PP的中点 Q 的坐标为x052，y02，又 Q 点在 l 上， 解 法一 由x2y50，3x2y70，得x1，y2. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330. 法二 设直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)， 则y0yx0 x23，又 PP的中点 Qxx02，yy02在 l 上， 3xx022yy0270， 由y0 x0523，32（x05）y070.得x01713，y03213. 3x0522y0270. 代入方程x2y50中，化简得29x2y330， 所求反射光线所在的直线方程为29x2y330. 可得 P 点的横、纵坐标分别为 x05x12y4213，y012x5y2813， 由y0yx0 x23，3xx02（yy0）70.