数学校本课程——

数学校本课程思考的乐趣课时：第一课你的钱多少年可以翻一番第二课是命运还是概率第三课做一次生活科学家第四课翘课的代价第五课你敢承担风险吗？第六课均衡第七课有好规矩才不悲剧第八课思维到底什么样第一课：你的钱多少年可以翻一番e的故事这里的是一个数的代表符号，而我们要说的，便是的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是打开我们的记忆搜索器，大部分人能想到的重要数字，除了0和1外，大概就只有和圆有关的了，我们都知道，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记作，了不起的话，再加上虚数单位的。可是如果我问你，代表了什么，你能回答吗？在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的概念。教科书里的对数中，有以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数=2.71828为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更自然吗？更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢？不妨先来看看维基百科是怎么说的：“是自然对数的底数。”但是，你去看“ 自然对数 ”这个条目，得到的解释却是： “自然对数是以为底的对数函数，是一个无理数，约等于2.718281828。”这构成了循环定义，完全没有说是什么。在这种情况下，数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很自然，这难道不是一件很奇怪的事情吗？e是增长极限到底什么是？简单说来，就是 增长的极限 。下面这个例子就是对直观含义的极好诠释：某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：，表示天数这个式子可以改写成如下的样子：，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为： 即最后细胞数扩大为2.37倍。实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 。这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以为底的对数，就叫做自然对数。你不会自成“大款”到e为止我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？如果我们按照刚才的思路，计息周期无限制地缩短。按照我们刚才细胞分裂的例子，答案是： 但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢： 我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接近： 为了便于计算，取n等于50： 当利息率是5%时，存款增长率就相当于的20分之一次方： 1/20正好等于5%，所以我们可以把上式改写成： r表示利率。再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为： 这说明可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程： 计算结果得13.86年： 可以看到：用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。“72法则”其实所谓的“72法则”就是以1%的复利来计息,经过72年以后,本金会变成原来的一倍。这个公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8%年报酬率的投资工具,经过9年(72/8)本金就变成一倍;利用12%的投资工具,则要6年左右(72/12),就能让1元钱变成2元钱。假设最初投资金额为100元，复息年利率9%，利用72法则，将72除以9，得8，即需约8年时间，投资金额滚存至200元，而准确需时为8.0432年。虽然利用72法则不像查表计算那么精确，但也已经十分接近了，因此当你手中少了一份复利表时，记住简单的72法则，或许能够帮你不少的忙。72法则同样还可以用来算贬值速度，例如通货膨胀率是3%，那么723=24，24年后你现在的一元钱就只能买五毛钱的东西了。例1：某企业平均年收益增长率为20%，那么需要多少年企业才会实现年收益翻一倍的目标？答：7220=3.6年例2：某企业在9年中平均年收益翻了3番，那么9年内的年平均收益增长率为多少？答：9年财务收益翻了三番，说明企业平均3年翻一番，那么年平均收益增长率为：723=24，即财务年平均收益增长率为24%运用“72法则”也能计算要为养老准备多少钱。假如，你现在30岁，每月的生活费是1万元。假设今后每年有6%的物价上涨率，那么12年（726=12年）之后，你42岁时，要保持同样品质的生活，每月就得2万元。你54岁时，就得4万元；66岁时，每月就得8万元。如果你给自己确定的财富目标是到60岁时有1000万元的财富，那么你现在需要投资多少钱购买股票型基金呢？假定今后股票型基金年平均收益率为12%，那么每6年（7212=6年）你的投资本金就可翻番。所以你54岁时需要本钱500万元；48岁时需要本钱250万元；42岁时需要本钱125万元；36岁时需要本钱75万元；30岁需要本钱37.5万元。假设你是一位新闻记者，接到一个统计，你所在城市登记在册的狗的数量逐年增长10%。 你会给你的文章取个什么样的标题呢？肯定不是“养狗许可证数量每年上升10%”，这没人会理会，而是：“养狗成灾：仅仅7年，狗屎翻倍！”练习：试比较目前通过正常投资途径实现翻番目标所需要的时间。1、储蓄。当前一年期的定期存款利率为2.25%，税后为1.8%，假设利率保持不变，则本金翻一番所需时间多久？2、国债。因为国债很少有一年期的，所以我们以加息后的三年期凭证式国债计算，利率为3.37%，本金翻一番所需的时间是多久？3、开放式基金。当前开放式基金的业绩虽然参差不齐，但也有诸多业绩优秀的基金，如果选择一只好的基金，其回报率为8%，如果选择了大部分的基金，其回报率为2.5%。4、货币基金。货币基金的年平均收益率一般为2.8%左右。6、人民币理财。除了股份制银行外，目前各国有专业银行也推出了人民币理财产品，若其1年期产品的年收益为3.03%。后续：从以上数据可以看出，银行储蓄翻番的时间最长，需要40年。因此，要想实现家财的增值，就要转变传统的“有钱存银行”的老观念，根据自己的风险承受能力，尽量选择收益高的理财产品。以人民币理财为例，很多人认为它和定期储蓄的收益差不了一两个百分点，但你别忘了，收益高一个百分点，本金翻番的时间就能缩短 15年。所以，在打理家财上应当锱铢必较，分厘不让。第二课：是命运？还是概率？（适合文科生）回归均值有位男士经常背痛，疼痛时强时弱。有时他觉得自己充满活力，有时他几乎动弹不得。 每次碰上这种情况幸好很少他妻子就会开车送他去找心理治疗师。每次这样做的第 二天，他就明显好多了。于是他逢人就推荐他的心理治疗师。另一个年轻人，篮球打得非常好，他逢人便夸他的教练。如果某天他的球打得糟糕，他就去这位老师那儿学上1小时，下回他就又打得很好了。我们也有些生活经验，比如，当你状态比较差的时候你的朋友都这样劝你，手里的工作先放一放，走出去放松一下吧。事实证明，大多数情况，放松后状态明显好多了。将以上三个事联系在一起的其实就是回归均值。极端成绩与不太极端的成绩总是来回交替。已经连续3年表现优异的股票几乎不可能在接下来的3年继续走强。因此许多运动员在比赛取得好成绩，并因此登上报刊头版后心中往往会产生恐慌的情绪：潜意识中他们预感到，下回比赛时他们可能再也不会取得这一最高成绩了这当然与头版毫无关系，而是与他们成绩的自然波动有关。忽视回归均值，可能会造成严重后果：比如老师(或经理)会得出结论，处罚比夸奖更有 效。因为通常考试成绩最优秀的学生会受到夸奖，最差的则会遭到处罚。而在下次考试中 纯随机地可能就会是另一些学生处于成绩最高和最低的位置。老师因此得出结论：处罚有效，夸奖有害。这当然是一个谬论。赌徒谬误：为什么没有一种平衡命运的力量超生游击队员李四已经连生4个闺女了，但他实在太想要一个男娃，虽然家产都快被村里计生委的人给罚光，就差没上房揭瓦了，但还是要生，他想，都连生4个了，下个肯定是个男孩。老赌棍张三没事总喜欢上一个黑赌场里下两注，但今天他赌红眼了，因为庄家已经连开10把大了，他也连输了10把，他不相信第11把还开大，还想一把就把之前输的全赢回来，于是把唯一的存折都给压上了，买小。以上两件事的结果会如何呢？他们不一定会赢，但也不会像一些人猜测的一样（虽然很多小说的情节是这样的），一定会输。他们输赢的概率都是1/2。很明显，结果绝对不会像他们想的那样赢定了，孤注一掷也是非常不明智的选择。很多人都无法避免一个事实：一枚硬币被连抛3次，每次都是图像朝上。假如有人强迫你，让你自己掏出100元为下一抛下注。你会押图像还是数字呢？如果你像大多数人那样思考，你会押数字，虽然人头同样是有可能的这就是著名的赌徒谬误。独立事件：我和你没有半毛钱关系我们得知道什么叫做独立事件，事件A的结果并不影响事件B，那A和B就是独立事件。国足输球跟万里之外太阳黑子活跃很明显就是独立事件，虽然他们可能会声称太阳黑子改变地球重力场导致他们发挥失常。那么生孩子是不是独立事件呢，当然是的。这不过是精子卵子结合的生理过程，这一次和上一次能有什么关系（也许偶然生孩子会改变人的生理结构于是影响概率，但这牵涉到科学问题就另说了）？掷骰子也是一样，就算是连开100把大，下一把开大的概率还是1/2。事实上很多人都没有意识到独立事件的概率是毫无关系的，即使它们发生的时间如此接近。比如说买彩票，很多人喜欢研究走势，他们认为上次开出的数字这次很可能不出现，事实似乎也证明了他们的想法，于是他们更加相信每次开奖间存在某种规律，只要抓住这个规律就能发大财。可惜的是，每一期彩票间当然也是独立事件。是命运吗？将一枚硬币连抛50次，50次都是图像朝上。又有人强迫你为下一抛押100元。你会押 图像还是数字呢？你淡定地微微一笑，因为你已经读了刚才的内容，知道之前的结果无关紧要。但如果你足够理智，你肯定会押图像，因为你必然会想到，这枚硬币应该是有问题的。我们刚才探讨过回归均值。比如：假如你经历了破纪录的严寒，那么接下来的几天气温就有可能会上升。如果我们只看概率，气温将有50%的概率下降，有50%的概率上升。但事实上，极端的气温不会持续太久，总会回到均值。不过，在某些情形下，极端的趋势会持续，例如富人倾向于越来越富。一只暴涨的股票，在到达一定点位后可能依然会受到热捧，就是因为它如此出色这是一种反向的平衡效应。结论：请你仔细观看，看你面对的是否是独立的事件不过这主要存在于赌场、彩票 和理论书籍里。现实生活中这些事件大多有着相互联系已经发生的事情，会影响未来将要发生的事情。因此请你忘记命运的平衡力量(除了回归均值的情形）。NBA比赛里，经常有球员连续命中，这时候篮球解说一般就会认为这球员手热得发烫，然后认为以后的进攻机会最好都要给这个球员。常看CCTV5的都知道，我们的张指导就是这样。现在，你知道他有多外行了吧第三课：做一次生活科学家相关性 因果性如今越来越多的复杂统计数据像潮水般向我们涌来，一批又一批的调查结果，都显得那么铿锵有力，似乎那就是客观事实。统计数据显示，在铀矿工作的工人居然与其他人的寿命相当，有时甚至更长！难道统计结果表明在铀矿工作对身体无害么？当然不是！其实，统计数据本身并没有说谎，铀矿工人的寿命真的不比普通人低，难就难在我们如何拨开数据的外表，从中挖掘出正确的信息。事实上，只有那些身强体壮的人才会去铀矿工作，他们的寿命本来就长一些，正是因为去了铀矿工作，才把他们的寿命拉低到了平均水平，造成了数据的“伪独立性”。这种现象常常被称为“健康工人效应”。有虚假的独立性数据，就有虚假的相关性数据。统计数据显示，去救火的消防员越多，火灾损失越大。初次听到这样的结论，想必大家的反应都一样：这怎么可能呢？仔细想想你就明白了：正因为火灾损失大，才会有很多人去救火。因果关系弄颠倒了。数据只能显示两件事情有相关性，但并不能告诉你它们内部的逻辑关系。事实上，两个在统计数据上呈现相关性的事件，有可能根本就没有因果关系。统计数据表明，冰淇淋销量增加，鲨鱼食人事件也会同时增加。但这并不意味着，把冰淇淋销售点全部取缔了，就能减小人被鲨鱼吃掉的概率。真实的情况则是，这两个变量同时增加只不过是因为夏天来了。统计数据显示，足球队的获胜率，竟然与队员的球袜长度成正比。难道把队员的球袜都换长一些，就能增加进球数了吗？显然不是。数据背后真正的因果关系是，球队的获胜率和队员的球袜长度都与队员的身高呈正相关，这导致了获胜率与球袜长度之间表现出虚假的相关性。类似的例子还有很多。统计数据表明，手指越黄的人，得肺癌的概率越大。但事实上，手指的颜色和得肺癌的概率之间显然没有直接的因果联系。那么为什么统计数据会显示出相关性呢？这是因为手指黄和肺癌都是由吸烟造成的，于是又营造出一种虚假的相关性。抽样调查，想说无偏不容易调查问卷你肯定知道，多半还做过。在统计上，问卷调查属于抽样调查。再大规模的抽样调查，都可能存在着意想不到的陷阱。不妨让我们穿越到 1936 年的美国，看一个被许多书本都引用过的实例吧。1936 年美国总统大选在即，当时一本著名杂志文学文摘就在读者中做了一次问卷调查，断言共和党的兰登即将以 57% 对 43% 的绝对优势大胜民主党的罗斯福这可是根据 240 万份调查问卷得到的结果。这么大规模的调查，如同宣告了兰登的胜利，可是，最后的结果却让人大跌眼镜：罗斯福以 62% 的支持率成功连任美国总统。出现了这个戏剧性的丑闻后，文学文摘业绩直接掉落为零，最后竟然倒闭了。对于文学文摘来说，他们的问题出在哪里呢？现在看来，文学文摘的调查问卷虽然数量庞大，但是样本构成大有问题。首先，最可能看到这个调查的是这个杂志的常客，而他们参加调查的动机各有不同。另外，这个话题更能引发人的兴趣，有些则只是很少的人关心。这都会导致最终参加调查的人是一个有偏的样本。结论可能代表了这些人群，却不能推广到全体。其次，问卷的回收率只有 24% ，忽略那些没有被回收的问卷就等于是忽略了剩余 760 万人的意见。文学文摘杂志社还通过电话调查的方式对自己的读者进行了抽样，但在 1936 年，并不是每一个家庭都能装得起电话那些订阅杂志、用电话的人家往往都是有钱的人，他们并不能代表全美国的选民意见。最终，这些看起来不算起眼的问题对他们的预测结果产生了巨大影响，事情的发展也走向了完全相反的方向。如果我们现在做一个调查，看一看在最初恢复高考的三年中进入几所名牌大学就读的学生如今的年收入，你一定会得到一个高得吓人的数字。我敢如此肯定并不是我熟悉他们的社会成就，而是因为我了解调查的缺陷。可以想见，当年的那些大学生虽然有案可查，但能够准确联系调查的却只有一部分较为成功的人了。其中有一些人虽然联系上了，却不一定愿意接受调查。最后，还不能排除一些人受赞许倾向的影响，有意无意地提高报告自己的收入水平。最终，调查员只回收了那些成功人士的数据，而沉默的大多数却被“统计式”地忽视了。辛普森悖论现实中的统计数据往往会表现出一些更加诡异复杂的反常现象，带来更多意想不到的麻烦。辛普森（Simpson）悖论是统计学中最有名的悖论：各个局部表现都很好，合起来一看反而更差。统计学在药物实验中的应用相当广泛，每次推出一种新药，我们都需要非常谨慎地进行临床测试。但有时候，药物实验的结果会匪夷所思。假设现在我们有一种可以代替安慰剂的新药。统计数据表明，这种新药的效果并不比安慰剂好：有效无效总人数新药80120200安慰剂100100200简单算算就能看出，新药只对40%的人有效，而安慰剂则对50%的人有效。新药按理说应该更好啊，那问题出在哪里呢？是否因为这种新药对某一类人有副作用？于是研究人员把性别因素考虑进来，将男女分开来统计：男性有效男性无效女性有效女性无效新药351545105安慰剂90601040大家不妨实际计算一下：对于男性来说，新药对高达70%的人都有效，而安慰剂则只对60%的人有效；对于女性来说，新药对30%的人都有效，而安慰剂则只对20%的人有效。滑稽的一幕出现了：我们惊奇地发现，新药对男性更加有效，对女性也更加有效，但对整个人类则无效！上面的例子再次告诉我们，统计实验的“随机干预”有多么重要。从上面的数据里我们直接看到，这个实验的操作本身就有问题：新药几乎全是女性在用，男性则大都在用安慰剂。被试者的分组根本没有实现完全的随机化，这才导致了如此混乱的统计结果。不难设想，如果每种药物的使用者都是男女各占一半，上述的悖论也就不会产生了。当然，研究人员也并不笨，这么重大的失误一般还是不会发生的。问题很可能出在一些没人注意到的小细节上。比如说，实验的时候用粉色的瓶子装新药，用蓝色的瓶子装安慰剂，然后让被试人从中随机选一个来用。结果呢，女孩子们喜欢粉色，选的都是新药；男的呢则大多选择了蓝瓶子，用的都是安慰剂。最后，200份新药和200份安慰剂正好都发完，因此不到结果出来时，就没有人会注意到这个微小的性别差异所带来的统计失误。你被平均了吗？还不得不考虑，平均数也有一个小小的麻烦，它特别容易受极端数据的影响。回忆一下小学时老师对一个差生拉下全班平均分的愤懑表情。以及，一个月收入五万的老板和五名月收入两千元的员工享受着一万元的月平均工资，而这个平均数居然是一个员工月收入的五倍之多。这些离奇的统计学现象有时会让人感到恐慌：连统计数字也不可靠了，还有什么能真实地反映这个世界运转的规律呢？科学方法，现代公民的必修课上述例子用我们日常学习的统计学知识都可以一一解决。科学的抽样方法、使用数字正确的方式合理估计样本，分清楚相关关系与因果（函数）关系，用科学的方法让自己当一个明白人。相关阅读：统计陷阱达莱尔哈夫著该书自1954年出版至今，多次重印并被译成多国文字，是一本影响深远的经典性著作。统计陷阱一书之所以能够历久弥新，是因为其实用性。20世纪50年代，美国的各大媒体和宣传机构越来越重视利用统计“这个神秘的语言”说话，然而大量的统计数据、统计资料由于主、客观的原因被滥用，很难起到描述事实、传递信息的作用。相反，还往往对读者形成误导。达莱尔哈夫(Darrell Huff)，一位具有深厚统计背景的新闻记者发现了这一现象。第四课：翘课的代价经济学之所以成为一门独立的学科，并且在相当大程度上改变了世界的面貌，是因为经济学家看世界的方式和常人不同，也与其他社会科学，比如社会学和政治学、法学不同，经济学家有一套自己的看问题、看世界的方法。这些方法，帮助人们更科学地认识了外部世界和人类自身，提高了人类解决自身问题的能力。这里，我们就先说说几个经济学家的特殊思维方式吧，它们有助于矫正甚至可以颠覆你长久以来的思维定势。吃掉？还是倒掉？假如小明在买了一份午餐花掉10元，只吃了一口，发现难以下咽，是继续吃掉还是倒掉？类似的例子还有：比如今天晚上要举行建业的比赛，可是临近比赛的当口，突然下起了瓢泼大雨。有两种情况：一是，你已经买了票，票价还不便宜，100块钱一张，是你近半个月的零花钱，而且不能退票。另一种情况是，别人送了你一张票，可是票不能转手，也不能退。在这两种情况下，你去还是不去看比赛，有没有什么不同呢？纠缠于沉没成本：你为什么应该忽视过去说一个狗血的剧情，一位朋友被一段问题恋情折磨多年。那女人一次次欺骗他。每当他逮住她时，她都后悔不迭地回来，恳求他的原谅。虽然再跟这个女人维持关系早就没有意义了，他还是一次次接受了她。当我与他谈论此事时，他向我解释道：“我在这段恋情中投入了那么多感情，现在离她而去是错误的。”这是典型的纠缠于沉没成本。我们刚才谈的都是沉没成本。每个决定，不管是私人的还是业务上的，始终是在不确定的情况下作出的。我们的设 想，有可能兑现，也有可能落空。任何时候我们都可能离开选取的小道，并承担后果，比如 中断项目。这种不确定情形下的权衡是理性行为。然而，在我们已经投入特别多的时间、金 钱、能量、爱等因素之后，沉没成本令人难以放手、难以释怀。于是已经投资的钱就成了继 续做下去的理由，即使客观来看坚持下去毫无意义。投资越多，沉没成本就越大，将项目继 续做下去的理由就越充分。股市投资人经常成为沉没成本的受害者。他们在决定是否出售股票时常以买入价作为参照。当股价高于买入价时，就卖掉股票；如果股价低于买入价，就抱住不卖。这是不理智的，绝不可以让买入价处处扮演角色。唯一有效的是股市未来的前景(和可选投资未来的行情）。每个人都会出错，特别是在股市里。纠缠于沉没成本的不幸，其关键就是：你投资一只股票亏的钱越多，你越是抱紧它不放。为什么会有这种荒谬行为呢？因为人类想努力表现得坚韧，坚韧是我们发出的可信信 号。我们害怕矛盾。如果我们决定中断一个项目，我们就在制造矛盾：承认从前的想法与今 天不同。继续执行一个无意义的项目是在推迟这一疼痛认识。那样我们就显得更坚韧。放弃就等于投降。 “我们已经行驶了这么远” “我已经读了这本书的这么多页”从这种句子可以看出，你是如此与沉没成本难舍难分。有许多好理由支持你继续投资下去，但如果你只是因为舍不得已经作出的投资而决定继续做某件事，这就不是一个好理由了。理性的决定意味着忽视已经投入的成本。你已经投资了什么并不重要，唯一重要的是现在的形势及你对未来的评估。或者说经济学中的成本应该是关心未来的。你晚上是不是去看比赛，仅仅取决于从现在开始将要发生的情况，所以看新增加的成本和增加的收益的比较。在这两种情况下，增加的收益都是看比赛带来的愉悦感，新增加的成本都是淋雨带来的不舒服。如果你觉得淋雨不算什么，只要能看到比赛就高兴，则不管你是自己买票还是别人送的票，都会去看；反之，则不会去。这里的核心问题是，不要再考虑买票的钱，那些事情已经过去了。天下没有免费的午餐有一句话，叫“天下没有免费的午餐。”你可真的明了此话的真义？如果有人请你吃午餐，他出钱，而且不附带任何条件。这是免费的么？你会说当然免费了，他买单嘛。可是你是有代价的。因为你吃这顿饭的时间，可以用于做其他事情，这些事情，对你是有意义、有价值的。你把时间用于白吃这顿饭，就失去了这些本来能有的价值。这就是机会考虑。它提示我们，做事的真正成本，不是为做一件事已经付出的多少，而是为做它所必须放弃的那些东西。当你面临两难选择的时候，你应该想想哪种选择所放弃的更多，两难也就不难了。机会成本经济学的独特思维方式是机会成本考虑。成本是每个人做事时都会考虑的因素，收入减去成本才是利润。可是，经济学家所说的成本，与一般人说的成本差别甚大。一般人头脑里的成本概念是会计成本，也就是做账用的。会计成本有几个特点：第一，会计成本是直接的成本，即实际发生的成本，跟生产和消费直接相关；第二，会计成本是已经发生的成本。但是经济学家说的成本却很不一样。经济学意义上的成本只有一个，那就是“机会成本”，在所有经济学的书里，成本的概念一律是指机会成本。任何一种资源都有多种用途，可以配置到不同的用途上去，投到一个用途，就意味着放弃另外的用途。一件事情的机会成本，就是由于做这件事情而放弃的其他用途中价值最大的那一个的价值。一件事情的机会成本，是放弃的最大的价值。也就是根本没有发生过，也跟该事情没有直接关系，这跟会计成本完全不同。相应地，经济学的利润跟会计利润也就有很大区别。会计利润是全部收入减去会计成本。经济利润是全部收入减去经济成本，也就是减去机会成本。举例说明，假如你原来在一个政府部门上班，每年有10万收入。现在，你决定下海经营一家餐馆，每年的全部收入是11万，会计成本是10万，包括买菜、买肉、员工工资、税收和各种其他费用。你的会计利润就是：11万10万1万。但是，经济学家认为你没有赚钱，反而赔了钱，至少赔了9万。因为你想，如果你的时间不是用于开餐馆，而是继续在政府部门上班，你就会有10万元，现在你只有1万元，所以，你至少赔了9万元。问题出在你少算了成本，不能只算买菜、买肉等的成本，为了开餐馆，你放弃的收入也是成本，而你没有算上。这里的非同凡响之处在于，在一般人看来，干什么都可以挣钱，都可能有利润；而在经济学家看来，在一定的时期内，只有做一件事情才有利润，做其他任何事情都亏损。读大学成本计算公式 算算虚度一日亏多少钱现在有许多高校学生晒自己一天的成本多少。校园记者走访了西安的几所高校，调查显示一名普通本科大学生，4年学费(按每年4500元算)：18000元，4年住宿费(按每年1000元算)：4000元，伙食费(按每月800元算，去除寒暑假共计36个月)：28800元，购买基本生活用品：3000元，上网费：800元，手机话费：2000元，购买衣服及学习辅导资料：4000元，交通费：3200元，其它费用：3000元，大学生平均每天纯花费：66800元1080天=61.9元/天。这意味着，除去寒暑假3个月的时间，读一年大学最基本的花费大约需要16700元，每个月的花费逾1800元，也就是说在学校一天的花费为60元。而由麦可思研究院发布的2012年中国大学生就业报告显示，对2011届大学生毕业半年后的调查显示，全国本科学生平均月工资为3051元。按这个数据计算，4年求学期间将损失至少146448元。取平均数12万元，意味着求学的每一天，就损失工资收入约180元。加上上学花费每天60元，坐在课堂里每一天的成本为240元。网友“欣湘冰奕”：大学每一天课的平均价值是300元。所以，翘1天等于一周的饭钱，翘10天等于一个苹果iTouch，翘20天等于一个iPad，翘30天等于一部iPhone亲，你还打算翘课吗？第五课：你敢承担风险吗？导数到底是什么？学生学完导数，也不知道导数到底有什么用，除了求导求切线求极值。经济学一个独特思维就是边际考虑。边际原本是个数学概念，其含义是导数，是一个变量的变化对另一个变量变化的影响程度，也就是两个变量改变量的比。在经济学上，边际的意思是“最后的”，或者“新增加的”。边际考虑就是只考虑最后的一个或者新增加的一个所引起的变化，从而判断事情的整体本质。最后的一个和新增加的一个，都是边际的一个。比如现在一共有99个东西，第99个是最后一个，它是边际的一个，而第100个，是新增加的，或者将要增加的，也就是边际。边际意味着微小的变化，所以，最后的一个，与新增加的一个，相差非常小。它们引起的变化的差异也非常小。在数学上，这叫“连续”。理论上讲边际成本表示当产量增加1个单位时，总成本的增加量（这个总成本包括不变和可变成本）。随着产量的增加，边际成本会先减少，后增加。举个例子：比如，仅生产一辆汽车的成本是极其巨大的，而生产第101辆汽车的成本就低得多，而生产第10000汽车的成本就更低了（这是因为规模经济）。但是，考虑到机会成本，随着生产量的增加，边际成本可能会增加。当产量很小时，可以理解为企业的设备没有得到充分利用，因而产量很小，随着企业雇佣更多的员工进行生产，生产设备的利用率也开始变大，假设增加的第一个工人对产量的贡献是10，那么增加的第二个工人对产量的贡献可能是15甚至更高，第三个会是30。随着员工增加到一定程度时，企业变得拥挤，这时候每增加的一个员工依然会提高生产设备的利用率，但是这个利用率的提高会慢慢减慢下来。当员工增加到某一程度，再增加一个员工时，这个员工对产量的贡献将会是0，即边际产量为0，在这一阶段时，产量的增加速率从最大值逐渐减小到零，而成本的增加速率（每个员工的费用，加上每单位产品的成本）大于产量的增加速率，从而边际成本增大。边际成本和单位平均成本不一样，单位平均成本考虑了全部的产品，而边际成本忽略了最后一个产品之前的成本。例如，每辆汽车的平均成本包括生产第一辆车的很大的固定成本（在每辆车上进行分配）。而边际成本根本不考虑固定成本。再举一个例子。假定一个农民某年生产了五袋粮食，他要安排这五袋粮食的用途。他一定是按照重要性从大到小的顺序安排。第一袋，用于吃，这个对他最要紧。第二袋，用于增强体力和精力。第三袋，用于酿酒，因为他要喝酒。第四袋，用于养家禽，因为他要吃肉，但是吃肉没有喝酒重要。第五袋，用于养鹦鹉。因为他觉得他能想象的用途，都已经有了安排，实在找不到什么别的可以安排的了，想了很久，才想起这种用途。我们买东西，不是为了获得商品本身，而是因为商品对我们有用，这种有用是主观上的有用。经济学把商品能够满足人的主观愿望的东西，叫效用。我们消费就是为了获得效用，而且是最大的效用。与边际产量递减类似，效用也是递减的。以上边的例子来说，第二袋粮食的效用比第一袋小，第三袋比第二袋小，依此类推。第五袋粮食的效用是最小的。这叫“边际效用递减”。边际效用递减也是个公理，不能证明，但可以说明。如果边际效用不递减，那就是边际效用不变或者递增。还是看上面的例子。第一袋粮食对农民的效用最大，如果让他卖，他要收取最高的价格，比如100元；第二袋对他的效用要小一些，他能接受的价格也低一些，比如80元，依此类推，第三袋是60元，第四袋是40元，第五袋对他的效用是最小的，如果让农民出手，只要20元就可以。如果他要出手全部五袋粮食，每一袋的价格应该是一样的，那这个价格是多少呢？是100元，还是80、60、40、20元？是20元！为什么？假设这个农民很不幸，丢了一袋粮食，请问，他要放弃哪种效用？是不吃饭，还是不喝酒，抑或是其他效用？对了，是放弃养鹦鹉。也就是说，丢失的那一袋粮食对他的影响，或者他所失去的效用，就是养鹦鹉给他带来的快乐。所以，这袋粮食只值20元。问题在于，养鹦鹉的这一袋粮食，不是五袋中特定的一袋，而是其中的任何一袋。所以，当他有五袋粮食的时候，每一袋都仅仅值20元。如果他又丢了一袋，他失去的就不是养鹦鹉的效用，而是吃肉的效用了。所以，当他有四袋粮食时，每袋粮食就值40元了。依此类推。当有三袋粮食的时候，每袋的价值就是60元；当有两袋时，就值80元；当只有一袋粮食的时候，这个价格就是100元了。所以，当有五袋粮食的时候，每袋粮食的价格由第五袋的效用决定；有四袋的时候，由第四袋决定，等等。无论什么时候，都是由最后的一袋决定每袋的价格，也就是边际决定，而不是平均决定。这个道理和所有农民的工资由最后一个农民的产量也就是边际产量决定是一样的。边际效应我特别喜欢看陈佩斯演的小品吃面条。假如边际效用不变，也就是后面一碗面条，永远跟前面一个一样好吃，那会发生什么？我们将永远吃下去，永远吃不饱！更通俗的解释是：我们向往某事物时，情绪投入越多，第一次接触到此事物时情感体验也越为强烈，但是，第二次接触时，会淡一些，第三次，会更淡以此发展，我们接触该事物的次数越多，我们的情感体验也越为淡漠，一步步趋向乏味。这效应，在经济学和社会学中同样有效，在经济学中叫“边际效益递减率”，在社会学中叫“剥夺与满足命题”，是由霍曼斯提出来的，用标准的学术语言说就是：“某人在近期内重复获得相同报酬的次数越多，那么，这一报酬的追加部分对他的价值就越小。”如何当一个老板例如：你是公司管理层，要给员工涨工资，给3000月薪的人增加1000带来的效应一般来说是比6000月薪增加1000大的，甚至比给6000月薪的人增加2000的还大，所以似乎给低收入的人增加月薪更对公司有利；对同一个人更是明显，例如他拿3000时候增加1000所带来的激励效果，一般情况下远远比他拿6000月薪时候增加2000所产生的激励效果大。另外，经常靠增加薪水来维持员工的工作热情是不行的，第一次涨薪 1000后，员工非常激动，大大增加了工作热情；第二次涨薪 1000，很激动，增加了一些工作热情；第三次涨薪 2000 ，有点激动，可能增加工作热情；第四次 . . ，直至涨薪已经带来不了任何效果，当薪水达到一定的水平的时候，这时候他关注的重点已经发生了转移，所以激励方式方法都应该随之变化。如果想避免这种情况，在每次涨薪都想达到和第一次涨薪1000相同的效果，则第二次涨薪可能需要2000，第三次需要3000 . . ，或者在薪水涨到一定程度后，采用红包的形式更加富有激励和引导效果。当然，使用其它激励措施，例如第二次可以安排其参加职业发展培训，第三次可以对其在职位上进行提升，虽然花费可能相当，但由于手段不同，达到了更好的效果。为什么人们往往不愿承担风险？假设你有两份工作供你选择：工作一，有1/2的概率获得1000块钱，有1/2的概率获得2000块钱；工作二，百分之百地能稳拿1500块钱。虽然看上去两种选择的平均收入都一样，但是人们往往更愿意选择后一份工作，尽可能避免前一种工作所带来的风险。为什么面对期望收入相同的事件，人们往往愿意选择风险更小的那一个呢？这里，我们有一个重要的假设：收入的边际效用是递减的。换句话说，增加同样多的收入，低收入者主观上会感觉自己收益了很多，本来就是高收入的人则觉得这点儿收入算不了什么。人们往往会觉得，收入从1000块钱增加到2000块钱所带来的幸福感，要远远大于收入从8000块增加到9000块所带来的幸福感。因此，如果把个人收入和它给人带来的效益画成一条曲线的话，大致就如图中的那条曲线。假如你获得了1000元钱，你主观上获得的收益就用A点来表示；假如你获得了2000元，你主观上的收益就在B点。因此，工作一带给你的平均效用就用A和B的中点C来表示。但是，如果我直接就给你1500块钱，你将会得到一个大于C的效用D。这表明，直接选择工作二所带来的效用要高于工作一带给你的平均效用，自然人们都会选择工作二了。对于期望收入相同的两件事来说，他愿意去做风险更小的那一件。第六课：成本、边际、均衡价格与价值高中经济学中对价格与价值的描述深入人心：价格以价值为基础，受供求关系影响围绕价值而上下波动。简单的说就是均衡。均衡考虑均衡本来是物理学上的一个概念，指一个物体在大小相等方向相反的两个力的作用下，而暂时保持一种静止不动的状态。经济学把这个概念借用过来，作为自己分析问题的基本方法之一。一件事情，如果有好处，好处大于坏处，人们就会着手去做。可是再好的事情做下去也会变成不好的事，这叫物极必反。还是吃饭的例子，看到饭菜好吃，就大口大口地吃起来，可是你不会一直吃下去，因为吃到一定时候就会觉得，这一口不如上一口好吃了，我们已经说过，这叫边际效用递减，也就是新增加的一口，没有上一口好吃，而且这个递减会一直持续下去。肯定有那么一口，是你的最后一口。这一口在理论上说，你吃不吃都是一样的，这一口的效用是零。但下一口你不会再吃了，因为下一口，你吃了还不如不吃，它比上一口的效用要低，是负数，也就是你只觉得撑得慌、难受。其实，在你吃第一口的时候，你的胃就已经开始难受了，只不过你还不觉得，吃到最后一口的时候，这种感觉才开始强烈起来。胃难受是吃饭的坏处。你吃的最后一口，就是由于吃了它，你觉得增加的好处，也就是边际好处，和增加的坏处，也就是边际坏处，相等的那一口。跟物体的均衡是一个道理。所以，做事做到什么程度，就要看边际好处和边际坏处在哪里相等。在此前，应该继续做，因为做的话，你的净好处，即好处减去坏处，就增加了；在此后则应该减少做，减少才会使你的净好处增加。这样你的利益才会达到最大化，相等于吃饱了又不难受。虽然你想都吃下去，但是，你不应该如此，因为全吃下去，会把你撑死。现实中，确实有撑死的人。这些人只看到吃饭的好处，忘记了坏处。均衡对我们的启发是，为了达到有意义的结局，必须调整自己的行为，同时不能顾此失彼。关联阅读：人人都爱经济学王福重。作者简介：王福重，1965年生，经济学家，1998年获中央财经大学经济学博士学位，19992001年，在北京大学理论经济学博士后流动站进行研究工作。现北京高校任教，主要研究领域为经济学基础理论、国际经济学和公共财政。发表学术论文数十篇，译著十余部。书斋笔耕之余，特别关注经济社会现象，担任上海证券报、国企等多家媒体的专栏主笔，香港凤凰卫视特约评论嘉宾，其评论风格清新，引起社会广泛关注。是中国世界经济学学会理事，中国经济规律研究会理事。第七课：有好规矩，才不悲剧一定要有个“好”班主任总觉得班主任管得太多，从纪律到卫生，从早起到睡觉，从吃饭到上操。所以每个学生都幻想有个“好”班主任，少管点，或者不管，至少别管自己，别说自己。作为普通人，也许因为厌烦了社会中的条条框框，人类总幻想存在一个乌托邦，那里的人民路不拾遗、夜不闭户，人人自觉做贡献，任何法规限令都是不必要的。公地悲剧有一个理论叫做“公地悲剧”（嗯不是那个工地上出现的事故悲剧），其核心意思是，如果公共资源被人们无限制地使用，后果就是华丽丽的杯具想想你3号楼6层的厕所总是被扔满垃圾。各人自扫门前雪当然是没有问题，可公共领域该怎么办？每次的学生艺术晚会，观众中有人为了看得更清楚而站起来，必定会挡住身后观众的视线，结果许多人都站了起来，次序乱糟糟的。为了看得更清楚，所有的人都站起身，结果没人比大家都坐着时看得更清楚。为了用数字来说明这一情况，我们首先做一些假设。我们假定牧场只放奶牛，收益也全部来自于牛奶供应。显然，牧场的总收益与放牧数量之间的关系是一个单峰函数牧场上没有牛时总收益为 0 ，牛的数量超过牧场的最大容量后总收益也为 0 ，在这之间一定存在一个平衡点使得总收益达到最大。为此，我们无妨假设总收益 y 与放牛数量 x 满足 y = x(100-x) 的关系，即当牧场上的牛数为 0 或者为 100 时整个牧场都不会有任何收益，而 x = 50 时牧场的总收益将会达到最大。我们再假设，购买一头牛的成本为 c ，拥有奶牛之后放牧的成本则忽略不计。接下来，我们将求出该牧地在公有和私有两种情况下最终达到的放牧数量，大家将会看到开放牧地后确实将导致放牧数量远远超过最佳水平。 如果这是一块私有牧地，牧场主会选择放多少头牛呢？很多人可能会脱口而出，当然是 50 头牛，因为 x=50 时收益达到最大值。但请注意，牧场主想要最大化的并不是他的收入，而是减去成本后所得的利润 x(100-x) cx 。对这个式子求导，我们就能得到利润最大化的条件： 100-2x-c = 0 。解出这个式子中的 x ，我们就得出了牧场中的最佳牛数 x = (100-c)/2 。 从另一个角度来看，上述结论也是很显然的： 100-2x 恰好就是 x(100-x) 的导数，是增加第 x 头牛给人带来的收入增加量。如果这个增加量比 c 大，那么买入一头新的牛显然划算；什么时候这个增加量比 c 小了，再买牛来放就要亏本了。因此，临界点 100-2x = c 正好就是牛的数量达到最优的时候。但是，一旦整个牧场变为公有，上述推理就不对了，因为单个放牧人并不关心整个牧场的利润，只在乎自己的盈亏。为了简便起见，我们假设牧场上有 x 个放牧人，每个人都只放一头牛。那么，牧场的总收入将为 x(100-x) ，每个人得到的收入为 x(100-x)/x = 100-x 。因此，当牧场上有 x-1 头牛时，对这块蛋糕垂涎已久的人会发现，他作为第 x 个放牧人进入牧场后，能够分得的收入为 100-x ，只要这个值比 c 大，这样做就是值得的。随着进入牧场的人数增多，新加入的放牧人会发现他所能赚到的越来越少。最终当 100-x = c 时，便不会再有人想要进入该牧场了。此时的总体情况惨不忍睹每个放牧人所得的收入都是 c ，可以说是一分钱也赚不到，形成“公地悲剧”。大多数医生都明白，倘若抗生素过量使用，细菌很快就会出现抗药性。例如， 1947 年，青霉素刚大量投入使用的第 4 个年头，人们就发现了一种能抵抗青霉素的葡萄球菌变体（金黄色葡萄球菌）。大多数医生也知道，带抗药性的细菌变体，能导致更产重的问题。金黄色萄萄球菌出现以后，医生们只好用另一种杭生素甲氧苯青霉素来治疗它。但这也只是个应急办法。 1961 年，英国发现了杭甲氧苯青霉素的细菌 MRSA 超级病菌，如今世界各地的医院里都能找到它的身影。 1991 年，英国因致血症而去世的病患， 4 是 MRSA 感染所致；到了 1999 年，这一比例已经上升至 37 。跟过度放牧一样，抗生素的过度使用，也是一起公地悲剧。个别过度放牧，本身并不足以对牧场造成重大影响；同理，个别医生所开的抗生素，也不足以促成致命抗药细菌的产生。然而，每当医生开出抗生素，引起患者感染的细菌很可能会有一些得以幸存。该群体中的个体细菌跟从前全然不同，而更不幸的是，在抗生素治疗过程中存活几率最大的，并不是原始细菌群中的随机样本。相反，它们的基因结构对药物的抵抗性最大。倘若加大用药剂量，这部分幸存细菌仍可能被杀死。但随着时间的推移，变异也逐渐积累，最终，幸存细菌中的抗药性越来越强。医生面临的困境在于，患者相信，服用抗生素能加速自己的痊愈。一些医生拒绝用这种方式治疗不太严重的感染，但另一些医生屈服于患者的压力之下，因为他们知道，如果拿不到药，患者可能会另请高明。美国疾病控制中心估计，在每年开出的 1.5 亿份抗生素处方中，有 1 / 3 都是不必要的。医生同意病人的要求，可能是因为他们知道，单独的一张处方，并不会导致抗药细菌的出现。不幸的是，这种决定的累积效应，最终肯定会催生出更多带抗药性的有毒变异细菌。谁是雾霾的凶手？公地悲剧可以作为当前环境问题的一个小规模简化模型，地球的环境问题是由数十亿的污染者造成，其中每一个人都对大气中的PM2.5含量的增加负一部分责，虽然具体数字无法计算。不幸的是，在这样一个模型中，涉及的人数越多，悲剧就愈加不可避免，因为参与的人越多，每个参与者对其他参与者的关心和信任也越少。此外，越是在一个大的群体中，就越难查出哪些人是“搭便车者”；人都有搭便车的倾向，喜欢从别人的牺牲中获益，却不愿牺牲自己。还有一点，单个参与者造成的损害很可能变得难以察觉，这会阻碍羞耻心的心理机制发挥作用，从而降低个人的内疚感。所以，雾霾的治理，显得那么的缓慢。鉴于种种心理障碍使人无法主动应对气候变化，要做出有效的改变，就需要通过立法强制执行。与好决策背道而驰禁售政策正在加速大象灭绝在中国走私象牙是违法的，但是某些国家没有这样的限制。很明显，并不是收入增长推动了象牙消费，而是禁售法规限制了未来象牙供应，令其有望成为绝版珍品，满足了作为收藏品所需条件，因而受到收藏者和投资者的热烈追捧，在此过程中需求曲线已虽商品性质的改变而大幅移动；而同时，禁售法规又无法控制住偷猎和走私，结果导致了一种末日来临之前的哄然抢购局面。用禁售法保护野生动物，是非常荒谬的做法，就好比用禁止农产品交易来保护耕地；要知道，需要保护的野生动物种群，而不是动物个体，更不是动物器官，象牙作为大象种群所生产的产品，其市场价值恰好可以为保护这些种群提供激励，同理，只有粮食卖的出好价钱，农民才会保护耕地。热爱野生动物的人们，本应为象牙的高价格而庆幸，这是说服当地农民为大象保留栖息地的最好理由，不幸的是，借助“没有买卖便没有杀戮”这句煽情口号，他们将这一市场价值变成了盗猎者与保护者之间的残酷杀戮，以及当地农民的冷漠旁观，或许还略带庆幸，因为大象与农耕社区之间历来存在不小的冲突。公地悲剧还会涉及很多非自然资源的公用品。例如，每个人都知道公交车挤着不舒服，但为什么最终车上还是这么挤呢？这就是因为，对于每个车下面的人来说，只要能上车，他就已经得到了好处，完全无视这一举措会使车上的每个人都受到一点损失。每个车下的人都这样想，悲剧也就发生了。公地悲剧的理论还有很多更奇怪的应用。很多时候，交通堵塞的原因是前方路段发生车祸，但事实上前方发生的仅仅是某辆车撞上了护栏，车祸根本没有挡住道路。为什么最终还是堵车了呢？原来，每辆开到车祸现场的车，都会减慢速度看看热闹，甚至停下来掏出手机照下这一“杰作”。这样做虽然满足了自己的好奇心，却让后面的每一辆车都多堵上好几秒。因此大家往往会发现这样一个有趣的现象：车祸越是离奇，交通堵塞越厉害。另一个经典而有趣的应用是，为什么在餐桌上，实行 AA 制的总消费要比某一个人请客的消费高出许多。原因就在于，在实行 AA 制后，每个点菜的人都会想，原来需要 100 块钱才能吃到的美味，这次只需要 100/n 块钱便能享受到了。这样，虽然自己得到了满足，却让每个人都为你多付出了一些。但回到现实，情况是，只要没有规则限制，那些投机取巧的家伙就会想方设法占便宜，并由此搅乱整个社会秩序，结果大家都玩不下去。所以，只要是有人的地方，不管发达城市还是原始部落，都一样没有规矩不成方圆。第八课：四维到底什么样？我们都清楚，数轴代表一维空间，平面直角坐标系代表二维空间，空间直角坐标系代表三维空间，那么四维空间有没有？有的话，什么样？四维空间是一个时空的概念。简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。不过，日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中提及的“四维时空”概念。根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又多了两条时间轴，而这条时间的轴是一条实数值的轴。确定任何事物都需要四个坐标（空间的三个坐标和时间的一个坐标）的空间。四维空间是三维空间和时间组成的整体。三维空间其中任意一点的位置，由三个坐标便可确定，其中事物其实是相对静止的，而能够容纳生命的空间，至少是四维的。可以说，生命便是，能够感知、记录时间坐标的空间物质。这个概念