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本节课学习目标：本节课学习目标： 1、理解圆周角的概念、理解圆周角的概念 2、理解并掌握圆周角的性质、理解并掌握圆周角的性质 概念概念: 顶点在圆上顶点在圆上, ,并且角两边都并且角两边都 与圆相交的角与圆相交的角, ,叫做叫做圆周角圆周角. . 如图：如图：AOCAOC为为OO的一个圆心角的一个圆心角 特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交. 那那ABCABC是什么角呢？是什么角呢？ 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角判别下列各图形中的角是不是圆周角. 不是不是 不是不是 是是 不是不是 不是不是 图图 图图 图图 图图 图图 圆周角：圆周角：_，并且的角，并且的角_。 顶点在圆上顶点在圆上 两边都和圆相交两边都和圆相交 判一判判一判 BCBC所对的圆心角有几个？所对的圆心角有几个？ BCBC所对的圆周角有几个？所对的圆周角有几个？ 思考：思考： O C B 温馨提示：温馨提示：圆心与圆周角的位置分类圆心与圆周角的位置分类 A B C O A B C C O O A B . . . 圆心在圆周角一边上圆心在圆周角一边上 圆心在圆周角内圆心在圆周角内 圆心在圆周角外圆心在圆周角外 猜想：猜想：A BOC 21 即：即：BOC2A 命题：命题：一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角 等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. 同弧所对的圆心角同弧所对的圆心角 BOC 与圆周角与圆周角A的度数有何关系？的度数有何关系？ 猜一猜猜一猜 在这三个图中，哪个图形最特殊？在这三个图中，哪个图形最特殊？ A B C O A B C C O O A B . . . 图图1 图图2 图图3 A B O C 证明：（证明：（1）当圆心）当圆心O在圆周角在圆周角BAC的一边的一边AB上时上时 OA=OC BAC=C BOC是是OAC的外角的外角 BOC=C+BAC =2BAC BAC= BOC 21特殊：圆心特殊：圆心O落在圆周角的边上！落在圆周角的边上！ 求证：求证：BAC= BOC 21图图1 已知：已知：如图，如图， BOC 与与A分别分别是弧是弧BC所对的圆心角和圆周角所对的圆心角和圆周角 B A C D O (2)当圆心当圆心O在圆周角在圆周角BAC的内部时的内部时,过点过点A作直径作直径AD 由由(1)得得BAD= BOD DAC= DOC BAD+ DAC= (BOD + DOC) 即即: BAC= BOC 21212121求证求证：BAC= BOC 21当圆心当圆心O在圆周角在圆周角BAC的内部时的内部时 图图2 A B O C 图图1 B A C D O (3)当圆心当圆心O在在BAC的外部时的外部时,过点过点A作直径作直径AD,则由则由(1)得得 DAC= DOC DAB= DOB DAC-DAB= (DOC - DOB) 即即:BAC= BOC 21212121求证求证：BAC= BOC 21当圆心当圆心O在在BAC的外部时的外部时 图图3 O B A C O B A C O B A C 圆周角定理：圆周角定理： 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的的一半一半。 1、100 的弧所对的圆心角等于的弧所对的圆心角等于_， 所对的圆周角等于所对的圆周角等于_。 2、如图，在、如图，在O中，中，BAC=35 ，则，则 OBC=_。 100100 5050 5555 巩固达标巩固达标 A O C B 原理：原理：1、弧的度数即为弧所对圆心角的度数、弧的度数即为弧所对圆心角的度数 2、圆周角定理、圆周角定理(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。) 原理：原理：1、圆周角定理、圆周角定理 2、等腰三角形性质、等腰三角形性质 3、如图，在、如图，在O中，中， AC为直径，为直径，B为圆周上一点，为圆周上一点， ACB=50. BAC的度数为的度数为 。 A B C O 那那ABC的度数呢？的度数呢？ 原理：原理：1、圆周角定理、圆周角定理 2、等腰三角形性质、等腰三角形性质 40 问题问题2 2： 如图，如图，BCBC是是OO的直径，的直径，A A是是OO上任一点，上任一点，你能确定你能确定BACBAC的度数吗的度数吗? ? B A O C BAC=90BAC=90 问题问题3 3： 如图，圆周角如图，圆周角BAC=90BAC=90，弦，弦BCBC经过圆心经过圆心O O吗？吗？为什么？为什么？ O B C A 半圆或直径半圆或直径所对的圆周角是所对的圆周角是直角直角 90的圆周角的圆周角的所对的弦是的所对的弦是直径直径 半圆或直径半圆或直径所对的圆周角是所对的圆周角是直角直角, 90的圆周角的圆周角的所对的弦是的所对的弦是直径。直径。 推论：推论： A B O C 几何语言：几何语言： AB是是O直径直径 C=90 几何语言：几何语言： C=90 AB是是O直径直径 只给你一把没有刻度的三角尺，你能只给你一把没有刻度的三角尺，你能找出一个圆（如图）的圆心吗？找出一个圆（如图）的圆心吗？ 试一试试一试 原理：原理： 1、90的圆周角的所对的弦是直径的圆周角的所对的弦是直径 2、两条直径的交点即为圆心、两条直径的交点即为圆心 n问题问题1 1： 弧所对的圆心角是弧所对的圆心角是 度，度， 所对的圆周角是所对的圆周角是 度。度。 一条一条弧的度数弧的度数一条弧所对的一条弧所对的圆心角的度数圆心角的度数 一条弧所对的一条弧所对的圆周角的度数圆周角的度数x2 用一用用一用 n12n例例1 1：已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD的四个顶点在的四个顶点在OO上，求证：上，求证：B+D=180B+D=1800 0 性质：性质： 圆的内接四边形对角互补。圆的内接四边形对角互补。 例题赏析例题赏析 E E 延长延长BC至至E点：点： 问问DCE和和A之间的关系？之间的关系？ 巩固达标巩固达标 如图，四边形如图，四边形ABCD内接于半圆内接于半圆O（点（点A,B,C,D在半圆在半圆O上）。上）。AB为为O上的直径，上的直径，且且ADC=120 ,求求BAC的度数？的度数？ 原理：原理： 1、圆的内接四边形对角互补、圆的内接四边形对角互补 2、直径所对的圆周角为直角、直径所对的圆周角为直角 清点收获清点收获 合作学习 通过本节课的学习，你掌握了圆的什通过本节课的学习，你掌握了圆的什么性质？你有没有发现解题规律或数学思么性质？你有没有发现解题规律或数学思想方法？想方法？ 本节课涉及：本节课涉及： （1）研究方法：特殊）研究方法：特殊 一般一般 特殊特殊 （2）数学思想：转化、分类讨论。）数学思想：转化、分类讨论。 猜想猜想 归纳归纳 应用应用 理一理理一理 想一想想一想 1、如图：如图： O的一条弦的一条弦AB分圆周长为分圆周长为 37 两部分。试求弦两部分。试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数？所对的圆心角和圆周角的度数？ B A O 2、如图，在如图，在O中，中，BC= 2DE，BOC=84， 求求 A的度数的度数. EDOBAC
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