资源描述
专题一选择、填空题对点练集合与常用逻辑用语 记概念公式1集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念2集合的基本运算(1)交集：ABx|xA，且xB(2)并集：ABx|xA，或xB(3)补集：UAx|xU，且xA3运算性质及重要结论(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.4全称命题与特称命题(1)全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，綈p(x0)(2)特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM，綈p(x)5四种命题用p，q表示一个命题的条件和结论，綈p和綈q分别表示条件和结论的否定，那么原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.览规律技巧1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2解决集合的运算时，一般先运算括号内的部分当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解3判断命题真假的方法(1)等价转化法：当一个命题的真假不好判断时，可转化为判断它的逆否命题的真假(2)特值法：当判定一个全称命题为假或一个特称(存在性)命题为真时，可代入特值进行验证注意：判断有关不等式的充分条件和必要条件问题时，记住“小范围”“大范围”练经典考题一、选择题1设全集为R，集合AxR|x24，Bx|1x4，则A(RB)()A(1,2) B(2，1)C(2，1 D(2,2)解析：选C由x24，得2x2，所以Ax|2x2RBx|x1或x4，所以A(RB)x|2x12设全集U1,2,3,4,5，集合A2,3，集合B1,3，则(UA)(UB)的子集有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：选DUA1,4,5，UB2,4,5，则(UA)(UB)4,5，所以其子集有4个3已知集合Ax|log2x1，Bx|0xc，若ABB，则c的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,2 D2，)解析：选DAx|log2x1x|0x0C对任意的xR，x3x10D对任意的xR，x3x10解析：选C“存在x0R，xx010”的否定是“对任意的xR，x3x10”6设集合Ax|x，kN，Bx|x5，xQ，则AB()A1,2,5 B1,2,4,5C1,4,5 D1,2,4解析：选B当k0时，x1；当k1时，x2；当k5时，x4；当k8时，x5.所以AB1,2,4,57已知集合M，Ny|y3x21，xR，则MN()A Bx|x1Cx|x1 Dx|x1或x1或x0，Mx|x1或x0，又Ny|y1，MNx|x18命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是()A若a，b都是偶数，则ab不是偶数B若a，b不都是偶数，则ab不是偶数C若a，b都不是偶数，则ab不是偶数D若a，b不都是偶数，则ab是偶数解析：选B因为“都是”的否定是“不都是”，所以“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的否命题是“若a，b不都是偶数，则ab不是偶数”9已知命题p：函数ye|x1|的图象关于直线x1对称，命题q：函数ycos的图象关于点对称，则下列命题中的真命题为()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)解析：选A易知函数ye|x1|的图象关于直线x1对称是真命题；将x代入ycos中，得y0，故函数ycos的图象关于点对称是真命题p和q都为真，所以pq为真命题10已知命题p：当a1时，函数ylog(x22xa)的定义域为R；命题q：“a3”是“直线ax2y0与直线2x3y3垂直”的充要条件，则以下结论正确的是()Ap或q为真命题Bp且q为假命题Cp且綈q为真命题D綈p或q为假命题解析：选A当a1时，一元二次方程x22xa0的判别式44a0对任意xR恒成立，故函数ylog(x22xa)的定义域为R.故命题p是真命题；直线ax2y0与直线2x3y3垂直等价于a22(3)0，解得a3，故“a3”是“直线ax2y0与直线2x3y3垂直”的充要条件，故命题q是真命题所以p或q为真命题，p且q为真命题，p且綈q为假命题，綈p或q为真命题11设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(1，)解析：选BAx|x22x30x|x1或x0，f(0)10，即所以即a.12下列命题中正确的是()A命题“xR，x2x0”的否定是“x0R，xx00”B命题“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则x0”CmR，使f(x)(m1)xm24m3是幂函数，且在(0，)上单调递减D命题“若cos xcos y，则xy”的逆否命题为真命题解析：选CA中命题的否定是“x0R，xx00”，所以A错误；B中“若xy0，则x0”的否命题为“若xy0，则x0”，所以B错误；C中m2时成立；D中“若cos xcos y，则xy2k或xy2k，kZ”，所以D错误二、填空题13已知集合Ax|y，By|y3x1，则AB_.解析：A(，03，)，B(1，)，所以AB3，)答案：3，)14已知命题p：x1,2，x2a0，命题q：x0R，x2ax02a0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：由x2a0，得ax2，x1,2，所以a1.要使q成立，则有4a24(2a)0，即a2a20，解得a1或a2.因为命题“p且q”是真命题，则p，q同时为真，即即a2或a1.答案：(，2115当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两个集合构成“偏食”对于集合A，Bx|ax21，a0，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为_解析：因为Bx|ax21，a0，所以若a0，则B为空集，满足BA，此时A与B构成“全食”若a0，则Bx|ax21，a0，由题意知1或，解得a1或a4.此时A与B构成“偏食”故a的取值集合为0,1,4答案：0,1,416若f(x)是R上的增函数，且f(1)4，f(2)2，设Px|f(xt)13，Qx|f(x)4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是_解析：Px|f(xt)13x|f(xt)2x|f(xt)f(2)，Qx|f(x)4x|f(x)f(1)，因为函数f(x)是R上的增函数，所以Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则有2t3.答案：(3，)函数的图象、性质及应用 记概念公式1指数与对数式的运算公式amanamn；(am)namn；loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaN(a0且a1，b0且b1，M0，N0)2函数的零点与方程根的关系3零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0时，f(x)ln x，则f(e)()Ae BeC1 D1解析：选D由于函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，故f(e)f(e)ln e1.5已知函数f(x)4x2，yg(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，g(x)log2x，则函数f(x)g(x)的大致图象为()解析：选D因为函数f(x)4x2为偶函数，yg(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B.当x2时，g(x)log2x0，f(x)4x20，所以此时f(x)g(x)0，排除C.6已知函数f(x)ln x，则函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)解析：选B因为f(x)，所以g(x)f(x)f(x)ln x.因为g(1)ln 1110，所以函数g(x)的零点所在的区间为(1,2)7函数f(x)(x1)ln x1的零点有()A0个 B1个 C2个 D3个8若当xR时，函数f(x)a|x|始终满足0|f(x)|1，则函数yloga的图象大致为()解析：选B因为当xR时，函数f(x)a|x|始终满足0f|x|1，所以0a0时，函数ylogalogax，显然此时函数单调递增9已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xR都有f(x4)f(x)f(2)，则f(2 014)()A0 B3 C4 D6解析：选A依题意得f(24)f(2)f(2)f(2)，即2f(2)f(2)，f(2)0，f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，2 01445032，因此f(2 014)f(2)0.10奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)3x，则f(log354)()A2 B C. D2解析：选Af(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数又f(log354)ffff，易知0log31，f3log32，f(log354)2.11.设平行于y轴的直线分别与函数y1log2x及y2log2x2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2的图象上若ABC为正三角形，则m2n()A8 B12C12 D15解析：选B由题意可得BC2，则正三角形的边长为2，设直线BC：xt，则tm，log2tlog2m1，t2m，则tm2m，解得m.又nlog2m2,2n2m,2n4m，所以m2n4m24()212.12函数f(x)cos x与函数g(x)|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为()A2 B4 C6 D8解析：选B将两个函数的图象同时向左平移1个单位，得到函数yf(x1)cos (x1)cos(x)cos x，yg(x1)|log2|x|的图象，则此时两个新函数均为偶函数在同一坐标系下分别作出函数yf(x1)cos x 和yg(x1)|log2|x|的图象如图，可知有四个交点，两两关于y轴对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，所以函数f(x)cos x与函数g(x)|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为4. 二、填空题13已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2x1)f(|2x1|)，所以f(2x1)ff(|2x1|)，解得x，所以x的取值范围为.答案：14已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_.解析：由于函数f(x)ln x3x8，故函数f(x)在(0，)上是增函数，又a，bN*，f(2)ln 268ln 220，且ba1，x02,3，即a2，b3，ab5.答案：515已知函数f(x)ln(1x)ln(1x)，有如下结论：x(1,1)，f(x)f(x)；x(1,1)，f(x)f(x)；x(1,1)，f(x)为增函数；若 f(a)ln 2，则a.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：f(x)ln(1x)ln(1x)ln，f(x)f(x)lnlnln 10，f(x)f(x)，错误，正确；f(x)lnln1，利用复合函数的单调性可知f(x)为增函数，正确；f(a)lnln 2，2，a，正确答案：16已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x0时，有f(x1)f(x)，且当x0,1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2 013)f(2 014)的值为0；函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；直线yx与函数f(x)的图象有1个交点；函数f(x)的值域为(1,1)其中正确的命题序号有_解析：结合函数图象逐个判断当x1,2)时，x10,1)，f(x)f(x1)log2x，且x0时，f(x)f(x2)，又f(x)是R上的偶函数，作出函数f(x)的部分图象如图，由图可知，错误，都正确；f(2 013)f(1)f(0)0，f(2 014)f(0)0，所以f(2 013)f(2 014)0，正确，故正确的命题序号是.答案：导数的运算及简单应用记概念公式1求导公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ln x)；(logax)；(4)(ex)ex；(ax)axln a.2导数的四则运算法则(1)u(x)v(x)u(x)v(x)(2)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(3)(v(x)0)3导数与极值函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值览规律技巧“切点”的应用规律(1)若题目中没有给出“切点”，就必须先设出切点(2)切点的三种情况：切点在切线上；切点在曲线上；切点处的导数值等于切线的斜率练经典考题一、选择题1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于()A2 B2 C. D解析：选Df(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)，所以f(2)223f(2)，解得f(2).2已知函数f(x)22ln x，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()A2xy20 B2xy20Cxy20 Dy0解析：选B函数f(x)22ln x，f(1)0，f(x)2.曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)2.从而曲线yf(x)在点(1，f(1) 处的切线方程为y02(x1)，即2xy20.3若曲线f(x)x3x2mx的所有切线中，只有一条与直线xy30垂直，则实数m的值等于()A0 B2 C0或2 D3解析：选Bf(x)x22xm，直线xy30的斜率为1，由题意知关于x的方程x22xm1，即(x1)22m有且仅有一解，所以m2.4.dx()A2ln 34 B2ln 3 C4 Dln 3解析：选Adx2ln(x1)x22ln 34.5已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x) 的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，f(x)0，函数f(x)单调递减，排除A，B.当0x0，函数f(x)单调递增，因此，当x0时，f(x)取得极小值，排除C.6函数f(x)(a0)的单调递增区间是()A(，1) B(1,1)C(1，) D(，1)(1，)解析：选B函数f(x)的定义域为R，f(x).由于a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1,1)7函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排列正确的是()A0f(1)f(2)f(2)f(1)B0f(2)f(2)f(1)f(1)C0f(2)f(1)f(2)f(1)D0f(2)f(1)f(1)f(2)0.8已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Cf(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立，即解得a.9定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意xR都有f(x)的解集为()A(1,2) B(0,1) C(1,1) D(1，)解析：选C令g(x)f(x)(x1)，g(x)f(x)0，则xf(x2)0g(x2)0x211x0，得到a3.11已知函数f(x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则()A当a0时，x1x20B当a0，x1x20时，x1x20D当a0时，x1x20，x1x20解析：选B由于函数有且仅有两个不同的零点，因此必有一个零点是重零点，则令f(x)a(xx1)(xx2)2ax3a(x12x2)x2ax2(2x1x2)xax1x，则ax1x2，ax2(2x1x2)0，当a0时，由式得，x10，x1x22x0时，由式得，x10且x20，由式得，2x1x20，x22x1.因此，x1x2x10，x1x22x0)的导数：先两边同取自然对数ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导得到yg(x)ln f(x)g(x)f(x)，于是得到yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x)f(x)，运用此方法求得函数yx(x0)的一个单调递增区间是()A(e,4) B(3,6) C(0，e) D(2,3)解析：选C由题意知f(x)x，g(x)，则f(x)1，g(x)，所以yxx，由yx0得1ln x0，解得0x0)与抛物线yx2所围成的封闭图形的面积为，则a_.解析：根据定积分的应用可知所求面积为20(ax2)dx20，即，解得a2.答案：215已知向量a，b(1，t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上存在单调递增区间，则实数t的取值范围为_解析：f(x)extx，x(1,1)，f(x)exxt，函数f(x)ab在区间(1,1)上存在单调递增区间，f(x)exxt0在区间(1,1)上有解，即texx在区间(1,1)上有解，而在区间(1,1)上exxe1，te1.答案：(，e1)16已知函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 015)，则函数f(x)的各极大值之和为_解析：函数f(x)ex(sin xcos x)，f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2exsin x令f(x)0，解得xk(kZ)，当2kx0，原函数单调递增，当2kx2k2(kZ)时，f(x)0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)2整体法：求yAsin(x)(0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将x看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决3换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决4公式法：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，yAtan(x)的最小正周期为.练经典考题一、选择题1已知函数f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线y所得的线段长为，则f的值是()A0 B1 C1 D.解析：选A由题意知T，由T，得4，f(x)tan 4x，ftan 0.2已知cossin ，则sin的值是()A. B C. D解析：选Acossin cos cossin sinsin sin cos sin，所以sin.3sin 25、cos 24、tan 61的大小关系正确的是()Acos 24sin 25tan 61Bcos 24tan 61sin 25Ctan 61cos 24sin 25Dsin 25cos 24tan 61解析：选D因为sin 25sin 66cos 241tan 61，所以sin 25cos 24tan 61.4若将函数f(x)sin xcos x的图象向右平移m(0m)个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m()A. B. C. D.解析：选A因为f(x)sin xcos xsinx，所以将其图象向右平移m(0m)个单位长度，得到g(x)sin的图象又因为函数g(x)的图象关于原点对称，所以函数g(x)为奇函数，所以mk(kZ)，即mk(kZ)，又因为0m0,0一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A，0，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则()A2， B2，C， D，解析：选A由题知，T4，所以2.因为A在曲线上，所以sin0，又00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2解析：选A由题意可知2，则2.因为x，kZ，所以2k，2k，kZ，故4k2k，kZ.即.7在ABC中，AC，BC2，B60，则AB边上的高等于()A. B. C. D2解析：选C设ABc，由AC2AB2BC22ABBCcos B，得7c242c2cos 60，c22c30，得c3，因此23sin 603hAB(hAB为AB边上的高)，所以hAB.8在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b2c(b2c)，若a，cos A，则ABC的面积为()A. B. C. D3解析：选Cb2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又a，cos A，c2，b4.SABCbcsin A42.9在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中A150，b2，且ABC的面积为1，则()A4() B4()C2() D2()解析：选C因为ABC的面积Sbcsin A1，A150，b2，所以c2，所以a2b2c22bccos A84，解得a.设ABC外接圆的半径为R，则有2R，得2R2()，所以2R2()10已知函数f(x)sin(2x)，其中|，若f(x)对xR恒成立，且ffCf(x)是奇函数Df(x)的单调递增区间是(kZ)解析：选D由f(x)恒成立知x是函数f(x)图象的对称轴，即2k，kZ，所以k，kZ.又ff()，所以sin()sin(2)，即sin 0，所以，f(x)sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递增区间是(kZ)11若sin 1tan 10sin ，则锐角的值为()A40 B50 C60 D70解析：选B原式可变形为sin (1tan 10)1，可得sin (1tan 10)2sin 2sin 1，所以sin sin 50.又因为为锐角，所以50.12已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x1(xR)，若在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，A为锐角，且f，则ABC面积的最大值为()A. B.C. D.解析：选Af(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2xsin，fsin2Acos 2A，2cos2A1，cos A，sin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc32bcbc，bc，SABCbcsin A，当且仅当bc时等号成立，故ABC面积的最大值为.二、填空题13已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为_解析：由题知，tan ，且sin0，cos0，所以是第四象限角，因此的最小正值为.答案：14函数y2sin的单调递增区间为_解析：由y2sin，得y2sin，由2kx2k，kZ，得3kx3k，kZ，故函数的单调递增区间为3k，3k，kZ.答案：，kZ15对于函数f(x)给出下列四个结论：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当xk(kZ)时，该函数取得最小值1；该函数的图象关于x2k(kZ)对称；当且仅当2kx2k(kZ)时，0f(x).其中正确结论的序号是_(请将所有正确结论的序号都填上)解析：如图所示，作出f(x)在区间0,2上的图象由图象易知，函数f(x)的最小正周期为2；在x2k(kZ)和x2k(kZ)时，该函数都取得最小值1，故错误由图象知，函数图象关于直线x2k(kZ)对称；当且仅当2kx2k(kZ)时，00a与b的夹角为锐角或零角；若ab0，使得c，d()A. B.C. D解析：选A因为a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，所以c(1，)，由图象可知d(4,3)，所以cosc，d0，排除C，D项；当，即11296390时，此方程无正根，所以无解，排除B项；当，即39296110时，此方程有两正根二、填空题13已知点A(1，1)，B(3,1)，C(1,4)，则向量在向量方向上的投影为_解析：由A(1，1)，B(3,1)，C(1,4)，得(2,3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影为|cos，.答案：答案：115如图，在ABC中，B60，O为ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且 (x，yR)，则xy的最大值为_解析：B60，AOC120，当P在A点时，x1，y0，xy1；当P在A，C之间时，得x0，y0，将两边平方得x2y2xy1，(xy)213xy32(xy)2，即(xy)24，xy2，故(xy)max2.答案：216定义域为a，b的函数yf(x)的图象的两个端点为A，B，M(x，y)是f(x)图象上任意一点，其中xa(1)b(R)，向量若不等式k恒成立，则称函数f(x)在a，b上“k阶线性近似”若函数yx在1,2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为_解析：由题意知a1，b2，所以A(1,2)，B.所以直线AB的方程为y(x3)因为xMa(1)b
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