数学分析课件

1第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分r),(rP),(zrzr,三个数称为点M的柱坐标柱坐标.其变化范围为其变化范围为: r020z三组坐标面分别为 ,常数r常数， 常数，z即以z轴为轴的圆柱面圆柱面;即过z轴的半平面半平面;即与xoy面平行的平面平面.直角坐标与柱面坐标的关系为直角坐标与柱面坐标的关系为:zzryrxsincosxyzo),(zyxMxyz2三重积分在柱面坐标中的计算法三重积分在柱面坐标中的计算法dvzyxf),(将将化为柱面坐标形式化为柱面坐标形式.被积函数被积函数),sin,cos(),(zrrfzyxfrddzrdrddvdvzyxf),(dzrdrdzrrf),sin,cos(化为三次积分计算化为三次积分计算,积分次序积分次序是是:先对先对z ,再对再对r, 最后对最后对drrddzxyzo32为例例1.计算zdv, 其中422zyxz ,所围成的闭区域.解解 画草图202042rzr:zdv420202rzrdzdrdxyz20416212drrr)(2062618rr.364另解另解zdvdxdyzdzzD4040zdzz.3644为例例2.计算zdv, 其中0 , 1222zzyx解解 画草图201010:2rrzzdv2101020rzrdzdrddrrr)1 (2122104另解另解1, 10),(222zyxzzyxzdvdxdyzdzzD10102)1 (dzzz4xyz52xyD例例3 计算dvyx)(22 其中由曲面5),(254222zyxz所围.解解 画草图4:22 yxDxy2020525:rzrdvyx)(2220525220rdzrdrrd203)255(2drrr8xyz562例例4 求曲面22224yxzyxz与所围立体体积.解解 画草图, 联立22224yxzyxz得2:22 yxDxy20204:22rrzrdvv2242020rrdzrdrd202)24(2drrr4xyz4224yxz22yxz24rz2rz7解解 画草图,az 020cos20:rDxydvyxz22azdzrrdrd0cos2020da2032)cos2(3121229832382aa例例5. 计算dvyxz22, 其中是由平面)0(, 0, 0aazzy)0(0222yxyx所围闭区域.及圆柱面xyDxyz2a8二二. 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分xyz),(zyxMorP, r称作点M 的球面坐标球面坐标.),(r r0020r常数, 表球面;常数, 表锥面;常数, 表平面.直角坐标与球面坐标间的关系直角坐标与球面坐标间的关系:xyzcosrz cossinrx sinsinry 可以推得体积元素体积元素:ddrdrdvsin29例例6 计算2222222222: , sinazyxdvzyxzyxI解解 画草图xyz2000:arIardrdd0020sinsin)cos1 (4addrdrrrsinsin2210另解例另解例2 计算0, 1: , 222zzyxzdvI画草图, 用球面坐标.202010:rIdrrd10320cossin241022020sincosdrrrddxyz11例例7 计算dvyxz)(22.,4 2222所围由yxzyxz解解 画草图204020:rdvyxz)(22202224020sinsincosdrrrrdd205403cossin2drrd342xyzo2r412例例8 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围 立体的体积.解解 建立坐标系如右图. 球面方程为:azzyx2222即cos2ar 20 ,0 ,cos20:ardvvcos202020sinadrrdd033sincos382da)cos1 (3443axyoza213例例9 求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量.解解 取球心为坐标原点,z 轴与l轴重合,并设球半径为RxyzozlII dvyx)(22ddrdrrsinsin222Rdrrdd040320sin34525RMR252334RM 为球体质量.14例例10. 选用适当的坐标系计算下列三重积分：选用适当的坐标系计算下列三重积分：00011122yxzzyxxydv,: , ).(.: , ).(zzyxdvzyx2222222所围所围.所围所围.xyz11 ).(xydv1101020rdzrrdrdsincos10320drrdsincos.811xyz1 ).(dvzyx2222cossin022020drrrdd204412dcossin.10