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2 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用 21 实际问题中导数的意义实际问题中导数的意义 第四章第四章 导数应用导数应用 学习导航学习导航 第四章第四章 导数应用导数应用 学习学习目标目标 1.理解导数的实际意义理解导数的实际意义(重点重点) 2掌握导数在物理、经济生活中的应用掌握导数在物理、经济生活中的应用(难点难点) 学法学法指导指导 1.通过实例体会数学建模思想通过实例体会数学建模思想 2体会导数在刻画函数变化中的作用体会导数在刻画函数变化中的作用. 1.功与功率功与功率 在物理学中在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率通常称力在单位时间内做的功为功率，它是它是_的导数的导数 2.降雨强度降雨强度 在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称为降雨强度，在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是它是_的导数的导数 功功W对时间对时间t 降雨量对时间降雨量对时间 3.边际成本边际成本 在经济学中，通常把生产成本在经济学中，通常把生产成本y关于产量关于产量x的函数的函数yf(x)的导的导函数称为边际成本函数称为边际成本 4.瞬时速度瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是_的导数；速度对时间的导数是的导数；速度对时间的导数是_ 5.线密度线密度 单位长度的物体质量称为线密度，它是单位长度的物体质量称为线密度，它是_的导数的导数 位移位移s对时间对时间t 加速度加速度 质量关于长度质量关于长度 6.把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生把实际问题抽象为数学问题，逐步把数学知识应用到生 产、生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养分析问产、生活的实际中去，形成应用数学的意识，培养分析问 题、解决问题的能力处理这类问题，通常分为三步：题、解决问题的能力处理这类问题，通常分为三步： 阅读理解，即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景阅读理解，即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义 根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立目标函数,将将实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题 进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决数学问题加以解决 7.解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把 实实 际际 问问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如图所示实际问题中去，其思路如图所示 审题：阅读理解文字所表达的含义，分清条件和结论，审题：阅读理解文字所表达的含义，分清条件和结论， 找找出问题中各量之间的关系；出问题中各量之间的关系； 建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建 立立相应的数学模型；相应的数学模型； 解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法法求解；求解； 对结果进行验证评估：定性、定量分析对结果进行验证评估：定性、定量分析,作出正确的判断作出正确的判断,确确定其答案定其答案 1一个物体的运动方程为一个物体的运动方程为s1tt2，其中其中s的单位是米的单位是米，t的单位是秒的单位是秒，那么该物体在那么该物体在3秒末的瞬时速度是秒末的瞬时速度是( ) A7米米/秒秒 B6米米/秒秒 C5米米/秒秒 D8米米/秒秒 解析：解析：s12t，则，则s(3)5，即该物体在，即该物体在3秒末的瞬时速度秒末的瞬时速度是是5米米/秒秒 C 2一次降雨过程中，降雨量一次降雨过程中，降雨量y是时间是时间t的函数的函数,用用yf(t)表表 示示,则则f(10)表示表示( ) At10时的降雨强度时的降雨强度 Bt10时的降雨量时的降雨量 Ct10时的时间时的时间 Dt10时的温度时的温度 解析：解析：f(t)表示表示t时刻的降雨强度时刻的降雨强度 A 3某公司的盈利某公司的盈利y(元元)和时间和时间x(天天)的函数关系是的函数关系是yf(x)，假假设设f(x)0恒成立恒成立，且且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明则这些数据说明第第20天与第天与第10天比较天比较( ) A公司已经亏损公司已经亏损 B公司的盈利在增加公司的盈利在增加，增加的幅度变大增加的幅度变大 C公司在亏损且亏损幅度变小公司在亏损且亏损幅度变小 D公司的盈利在增加公司的盈利在增加，但增加的幅度变小但增加的幅度变小 解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的度变小了，但还是增加的 D 4若某段导体通过的电量若某段导体通过的电量 Q(单位：单位：C)与时间与时间 t(单位：单位：s)的函的函数关系为数关系为 Qf(t)120t2t80，t0，30，则，则 f(15)_，它的实际意义是，它的实际意义是_. 解析：解析：Qf(t)110t1，令，令 t15，则，则 f(15)52 (C/s)，它表，它表示示 t15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量时的电流强度，即单位时间内通过的电量 52 C/s t15 s 时的电流强度为时的电流强度为52 C/s 导数在物理中的应用导数在物理中的应用 某质点的运动方程为某质点的运动方程为s2t23t，其中其中s是位移是位移 (单位：单位：m)，t是时间是时间(单位：单位：s) (1)求求t从从1 s变到变到3 s时时，位移位移s关于时间关于时间t的平均变化率的平均变化率，并解释并解释它的实际意义；它的实际意义； (2)求求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义并解释它们的实际意义 (链接教材第四章链接教材第四章2.1例例1) 解解 (1)t 从从 1 s 变到变到 3 s 时，时，s 关于关于 t 的平均变化率为的平均变化率为sts（3）s（1）312753111(m/s) 它表示从它表示从 t1 s 到到 t3 s 这段时间内， 该质点平均每秒的位这段时间内， 该质点平均每秒的位移是移是 11 m. (2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得根据导数公式表和导数的运算法则，可得 s(t)4t3， 则则 s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s) s(1)和和 s(2)分别表示分别表示 t1 s 和和 t2 s 时，位移时，位移 s 关于时间关于时间 t的瞬时变化率，即瞬时速度的瞬时变化率，即瞬时速度 方法归纳方法归纳 (1)套用套用st公式即可求出平均变化率， 即质点在该段时间内公式即可求出平均变化率， 即质点在该段时间内的平均速度；的平均速度； (2)利用导数运算法则求出质点的运动方程利用导数运算法则求出质点的运动方程 ss(t)的导数，的导数，它表示它表示 t 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 1.电流通过一导线，从电流通过一导线，从0时刻到时刻到t时刻通过该导线横断面的电时刻通过该导线横断面的电荷量荷量Q与与t有如下的函数关系：有如下的函数关系：Q4t2t1(Q的单位：的单位：C；t的单位：的单位：s)，求，求t3时的瞬时电流时的瞬时电流 解：解：Q4t2t1，Q(t)8t1. t3时，时，Q(3)83125(A) 导数在日常生活中的应用导数在日常生活中的应用 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加已知将纯净度的提高，所需净化费用也不断增加已知将 1 吨水吨水净化到纯净度为净化到纯净度为 x%时所需费用时所需费用(单位：元单位：元)为为 c(x)5 284100 x(80 x100) (1)求求 c(x)； (2)求求 c(90)，c(98)，并解释它们的实际意义，并解释它们的实际意义 (链接教材第四章链接教材第四章 2.1 例例 2) 解解 (1)c(x) 5 284100 x 5 284（100 x）5 284 （100 x）（100 x）2 0 （100 x）5 284 （1）（100 x）25 284（100 x）2. (2)c(90)5 284（10090）252.84(元元/吨吨)， c(98)5 284（10098）21 321(元元/吨吨) 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以，纯净度为因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时，费用的瞬时变化率是时变化率是 52.84 元元/吨，同样，纯净度为吨，同样，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是 1 321 元元/吨吨 方法归纳方法归纳 (1)要理解导数的实际意义，首先必须正确理解函数表达式要理解导数的实际意义，首先必须正确理解函数表达式 的的实际意义实际意义 (2)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同. 2.一名工人上班后开始连续工作， 生产的产品数量一名工人上班后开始连续工作， 生产的产品数量 y(单位：单位：g)是工作时间是工作时间 x(单位：单位：h)的函数，设这个函数表示为的函数，设这个函数表示为 y f(x)x2204 x. (1)求求 x 从从 1 h 变到变到 4 h 时，时，y 关于时间关于时间 x 的平均变化率，的平均变化率，并解释它的实际意义；并解释它的实际意义； (2)求求 f(1)，f(4)，并解释它的实际意义，并解释它的实际意义 解：解：(1)当当 x 从从 1 h 变到变到 4 h 时，产量时，产量 y 从从 f(1)8120 (g)变到变到 f(4)445 (g)， 此时平均变化率为此时平均变化率为f（4）f（1）41445812031912(g/h)，它表示它表示从从 1 h 到到 4 h 这段时间内这个人平均每小时生产这段时间内这个人平均每小时生产1912 g 产品产品 (2)f(x)x102x,于是于是 f(1)2110 (g/h),f(4)75 (g/h),分别表示分别表示在第在第 1 小时和第小时和第 4 小时这个人每小时生产产品小时这个人每小时生产产品2110 g 和和75 g. 某厂生产某种产品某厂生产某种产品 x件的总成本件的总成本 c(x)120 x10 x2100(元元) (1)当当 x 从从 200 变到变到 220 时，总成本时，总成本 c 关于产量关于产量 x 的平均变的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？化率是多少？它代表什么实际意义？ (2)求求 c(200)，并解释它代表什么实际意义，并解释它代表什么实际意义 (链接教材第四章链接教材第四章 2.1 例例 3) 导数在产量与成本中的应用导数在产量与成本中的应用 解解 (1)当当 x从从200变到变到220时， 总成本时， 总成本 c从从 c(200)540(元元)变到变到 c(220)626(元元) 此 时 总 成 本此 时 总 成 本c关 于 产 量关 于 产 量x的 平 均 变 化 率 为的 平 均 变 化 率 为c（220）c（200）22020086204.3(元元/件件)， 它表示产量从它表示产量从x200件到件到x220件变化时平均每多生产一件变化时平均每多生产一件产品时，总成本平均增加件产品时，总成本平均增加 4.3 元元 (2)根据导数公式和求导法则可得根据导数公式和求导法则可得 c(x)110 x50， 于是， 于是 c(200)11044.1(元元/件件) 它指的是当产量为它指的是当产量为 200 件时，每多生产一件产品，需增加件时，每多生产一件产品，需增加4.1 元成本元成本 方法归纳方法归纳 导数在经济生活中应用时，要准确理解一些常用经济学导数在经济生活中应用时，要准确理解一些常用经济学概念，如成本、利润、销售量等，才能正确解释其导数概念，如成本、利润、销售量等，才能正确解释其导数的实际意义的实际意义 易错警示易错警示 因物理意义理解不清致误因物理意义理解不清致误 在高台跳水运动中在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度时运动员相对于水面的高度是是h(t)4.9 t26.5 t10(单位：单位：m)，求高台跳水运动中运求高台跳水运动中运动员在动员在t1 s时的瞬时速度时的瞬时速度，并解释此时的运动状况并解释此时的运动状况 解解 h(t)9.8 t6.5，h(1)3.3. 故运动员在故运动员在t1 s时的瞬时速度是时的瞬时速度是3.3 m/s，此时运动员向，此时运动员向下以下以3.3米米/秒的速度运动秒的速度运动 错因与防范错因与防范 (1)对该问题求得当对该问题求得当t1 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为3.3 m/s，但由于对其中的，但由于对其中的“负负”号物理意义理解不明，易回答为正号物理意义理解不明，易回答为正值而出错值而出错 (2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向值，它表明了运动速度的大小和方向 (3)利用导数解决物理问题利用导数解决物理问题,关键是要熟悉相关的物理概念、公关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解式，并联系导数的物理意义进行求解 3一杯一杯80 的热红茶置于的热红茶置于20 的房间里的房间里，它的温度会逐它的温度会逐渐下降渐下降，温度温度T(单位：单位：)与时间与时间t(单位：单位：min)之间的关系之间的关系由函数由函数Tf(t)给出给出，请问：请问： (1)f(t)的符号是什么的符号是什么？为什么为什么？ (2)f(3)4的实际意义是什么的实际意义是什么？ 解：解：(1)由题意可知由题意可知f(t)0，所以所以f(t)为负数为负数，因为红茶温度因为红茶温度在下降在下降 (2)f(3)4的实际意义是：的实际意义是：t3 min时，温度的瞬时时，温度的瞬时 变变 化化率为率为4 /min，即，即3 min附近时，红附近时，红 茶约以茶约以4 /min 的的 速速度下降度下降 技法导学技法导学 实际问题的函数建模实际问题的函数建模 如图，某工厂拟建一座平面图如图，某工厂拟建一座平面图 为矩为矩 形形 ，且，且 面面 积积 为为200 m2的三级污水的三级污水 处理池，由于地形限制，长、宽都不能处理池，由于地形限制，长、宽都不能 超过超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间元，中间 两条两条 隔墙建造单价为每米隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米元，池底建造单价为每平方米80元元 (池壁厚度忽略不计，且池无盖池壁厚度忽略不计，且池无盖) (1)写出总造价写出总造价y(元元)与污水处理池长与污水处理池长x(m)的函数关系式的函数关系式,并并指出其定义域；指出其定义域； (2)求求(1)中函数的导数，并写出导函数的定义域中函数的导数，并写出导函数的定义域 解解 (1)设污水处理池长为设污水处理池长为 x m，则宽为，则宽为200 x m. 据题意据题意 0 x16，0200 x16，解得解得252x16. y(2x2200 x)400400 x24816 000 800 x259 200 x16 000(252x16) (2)y800259 200 x2，其定义域为，其定义域为 252，16 . 感悟提高感悟提高 (1)恰当设出自变量和因变量并正确确定定义恰当设出自变量和因变量并正确确定定义 域域，寻找它们之间的关系是此题关键点和难点寻找它们之间的关系是此题关键点和难点 (2)函数在闭区间的端点无导数函数在闭区间的端点无导数 本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束 按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
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