【教学论文】探求以空间图形为背景的轨迹问题【教师职称评定】

探求以空间图形为背景的轨迹问题的常用方 江西省灰埠中学 朱 英 近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视。在知识网络交汇处设计试题是高考考试命题的一个方向，空间轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”(如2004年重庆高考理科数学试卷第12题)。由于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。 探求空间轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡。本文通过几道典型例题的分析，寻求空间轨迹问题的探求方法。 一、联想圆的定义AOP 例1 已知平面平面，平面、间的距离为8，点P在平面内，则在平面内到点P的距离为10的点的轨迹是 A A.一个圆 B.一条直线 C.一个点 D.不存在 解：过点P作平面的垂线，设垂足为O， 则PO=8，又设平面内一点A到点P的距离为10，连PA、OA，BCDAC1B1A1D1P2P1PP3P6P4P5 则在PAO中，由勾股定理可得OA=6。可知A点的轨迹为圆，故选A。 练习1 已知正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为 B A. B. C. D. 提示：当点P在上底面时，连AP、A1P，在直角APA1中，求得PA1=，即弧P1P2的长。同理左侧面的弧P5P6、后侧面的弧P3P4的长也为；当点P在前侧面时，弧P1P6的半径为，因为直角A1P1A中，直角边A1P1的长为斜边P1A的一半，所以弧P1P6的圆心角为，从而弧P1P6的长为。同理右侧面的弧P2P3的长与下底面的弧P4P3的长的长也为。故曲线的总长度为。因此选B。 二、联想到抛物线的定义 例2 已知正方体的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离的平方与点P到点M的距离的平方之差为1，则P点的轨迹为 A A.抛物线弧 B.双曲线弧CDABD1C1B1A1EFPM C.线段 D.以上都不对 解：过P作PF垂直AD于F，则PF垂直平面ADD1A1，过点F作FE垂直A1D1于E，连PE，则PE为点P到直线A1D1的距离，由已知，即，得， PF=PM，故P点的轨迹是以M为焦点，以AD为准线的抛物线，故选A。 练习2 在正方体的侧面ABB1A1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为 C A.直线 B.双曲线C1D1A1B1DCBAP C.抛物线 D.圆 提示：因为B1C1垂直于平面ABB1A1，所以PB1为点P到直线B1C1的距离，于是问题转化为在平面ABB1A1内，点P到定点B1的距离与点P到定直线AB的距离相等。故根据抛物线的定义可知选答案C。 三、联想到球面的定义 例3 已知棱长为3的正方体中， 长为2的线段的一个端点在上运 动，另一个端点在底面上运动。则 的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几 何体的体积为 B DCPABD1C1B1A1 A. B. C. D. 解：由题意可知，是直角三角形， 点为斜边的中点， 。 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的球面位于正方体内的部分，该部分球面与正方体围成的几何体是球的八分之一，故选B。 四、利用向量工具 例4 一定长线段AB的两个端点A、B沿互相垂直的两条异面直线、运动，求它的中点的轨迹。 解：设MN为、的公垂线段，连结AM、BN，设MN、AB的中点分别为O、P，则 ， 所以， 即P点必在MN的垂直平分面上。 因为异面直线、互相垂直，所以 。 所以P点在以O为圆心，为半径的圆上。 故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。 另解：设MN为、的公垂线段，则MN与、两两垂直。如图，以N点为原点，直线为轴，直线NM为轴，以过点N所作直线的平行线为轴，建立空间直角坐标系。 设， 则， P点坐标为，其中横坐标和纵坐标为变量，中有竖坐标为常量。 即P点必在MN的垂直平分面上。 取MN的中点O，则， 所以P点在以O为圆心，为半径的圆上。 故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。 评注：求空间动点的轨迹，按立体几何的传统方法几乎无从着手，空间向量巧妙地解决了这一问题。 五、利用线与面、面与面的关系 例5(见例4) 解：设MN为异面直线、的公垂线段，连BN，分别取MN、BM、AB的中点O、Q、P，连OP、PQ、OQ，则由已知异面直线、互相垂直不难证得OPQ为直角三角形。也不难证明OQ、PQ都与、平行，从而平面OPQ与平面平行。可知点P在公垂线段MN的垂直平分面内。因为为定值。故P点的轨迹是MN的垂直平分面内的一个圆。 六、利用特殊点定位 例6 如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E为BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，且总保持PEAC。求动点P的轨迹。 解：当点P在CD边上时，SCPGFODBAE 由PEAC及BDAC可知， 此时，P为CD的中点F； 当点P在SC边上时， 由PEAC及SBAC可知， 此时，P为SC的中点G。 于是猜想P点的轨迹是SCD的CD和CS边上的中位线FG。 证明如下：因为FEAC， GEAC，所以AC平面EFG，得到ACFG。 故P点的轨迹是SCD的CD和CS边上的中位线FG。 练习3 如图所示，在三棱锥A-BCD中，P为CD的中点，动点M在ABD内部及边界上运动，PMRQADBC且总保持PM平面ABC。求动点M的轨迹。 提示：当点M在BD边上时， 由PM平面ABC可得PMBC， 此时点M是BD边的中点Q， 当动点M在AD边上时， 同理可得PMAC，此时点M是AD边的中点R。 于是猜想动点M的轨迹为中位线RQ。证明留给读者。 最后以2004年重庆高考理科数学试卷第12题及解答结束本文 题：若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形是( D )AAABACPDADBCEPFO 解答：由题意作出如右图所示的三棱锥A-BCD，过P作PO平面BCD，PEAB于E，PFBC于F，连OF。 PO=PE，PFPO, PFPE,即点P总在ABC平分线的上方。 而 至此可猜想P点的轨迹是直线，可选D。 证明如下：BPEFAC 建立如右图所示的直角坐标系，设，则AB的所在直线方程为，即 ，设 。得 化简得 或 (舍去， 此直线的斜率比大)。 P点的轨迹是直线 第 6 页