连续介质力学例题与习题

连续介质力学例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令, , 则有又因为: ; ;则: 习题:1、证明下列恒等式：1）2) 2、请判断下列矢量是否线性无关？ .其中为单位正交基矢量。3、试判断是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵。二、张量代数例1：令是一个张量，其使得矢量，经其变换后变为，假定一个矢量，求。解：利用张量的线性性质，有：=例2：假定一个张量将基矢变换成以下形式： 那么该张量将变换成什么样的结果？解：由对基矢量的变换张量可知的矩阵表示为： 则有：即 例3：利用张量的变换定义证明：1）若为一个二阶张量，则为一四阶张量；2）若为一矢量，则对任意坐标系满足的为一矢量。 证明：1）因为为一二阶张量，由张量的变换定义有： 则有 令 则有 即为一四阶张量。2）由于和分别是矢量和张量，则有 由此可得： （*）又因为对于任意坐标系都成立，则有 由（*）式可得： 等式两边同时乘以可得： 又因为 ，则 或 所以 由于上式对任一张量都成立，则有 即这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此是一个矢量的分量。习题 1、证明：如果和为任意二阶张量和的分量，且对任意坐标系都成立，则为一四阶张量。例4：已知张量的矩阵形式为：，求张量的特征值和特征向量。解：由求特征值和特征向量的特征方程有：由此，可得三个不同的特征值： 对，由可得： （为待求的特征向量） 利用可解得： 则与对应的特征向量为：对于，同理有： 同样利用可解得： 则与对应的特征向量为： 同理，对应的特征向量为： 习题：1、令一张量可用矩阵形式表示，则：a)求的主值和主方向；b)求的主不变量；c)如果、是的主方向，则写出d)针对同样的基矢量，矩阵能否表示同样的张量？2、令和是任意两个张量，试证明：a)是一个张量；b)；c）3、令一张量的矩阵形式为：，则：a)求张量的对称部分和反对称部分；b)求的反对称部分的对偶矢量（或轴矢量）。第二节 矢量和张量的分析例1:利用指标定义证明下列等式：1），2），p是整数；3），F为任一标量函数。证明：（1）对于任意矢量，有。 则 由此也可得： （2）对 (3）因为 且关于i和j对称，则对于该矢量的第k个分量有 （i，j互换） （重新将i变为j，j变为i） (利用其对称性)则 例2：证明证明：令为任一二阶张量，则有： 其中 ；因为 结合二阶张量的主不变量的定义可得： 这表明： 由张量的标量函数导数的定义有： （对任一二阶张量） 则 又因为： 则有 由的任意性可得：习题1、令和为矢量场，为标量场，证明下列不等式：a）b）c） （）d）2、对于，其中为一常值二阶张量，证明：3、考虑一张量值函数，证明： （其中为一任意二阶张量） 第二章 运动学第一节 物体的运动例1：考虑如下运动：，其中是质点P在t时刻的位置矢量，而是质点P在t=0时刻的位置矢量。请画出初始时刻（t=0）具有如下图所示边长为单位1的立方体形状的物体在t时刻的构型。解：由已知运动可得： ，a）在t=0时刻，质点O位于原点（0, 0, 0），对该点t=0坐标为：, , 由此可得对任意时刻，质点O的坐标保持为：换句话说，该点在整个运动中保持在（0, 0, 0）点处。同样，对质点A，t=0时刻有： 而t时刻为： 这也表明了质点A在整个运动中也保持不动。实际上，在OA线段上所有的点都保持不动。b）然而对线段CB上的点，t=0时刻的坐标为： 而由给定的运动方程可得t时刻的坐标为： 这表明线段CB在水平方向上移动一个距离kt。c）对于线段OC上的点，t=0时刻的坐标为：而t时刻的坐标则为：表示直线OC在t时刻还是一条直线，即如图所示的d）同样，线段AB在t时刻也保持为一条直线，即。这一个运动实际上就是距形平面在面内的简单剪切运动。第二节 变形梯度例1、一个连续体变形以后的构形为： ，求其位移场。 解： 这表示受压缩过程。 例2、在直角坐标系下给定一个运动为：， 。求t=0,和时刻的变形梯度。 解：因为 所以t=0时刻， 时刻，例3、如果，求a)、变形梯度；b)、右伸长张量；c）、旋转张量；d)、左伸长张量解：（a） （b）因为 所以 （因为上式一个正定的根） （c） （d） 或者 例4：给定在t时刻的运动： ，。求如图所示的材料线段：（a）OP，（b）、OQ，（c）、OB的伸长。解：由给定的运动方程可得变形梯度张量为： （对称的定张量）可见给定的变形是均匀的纯伸长变形。其特征向量为、，而对应的特征值分别为：3、4、1。由此可得：（a）对OP线段，其伸长即为3（b）对OQ线段，其伸长即为4（c）对材料线段OB，有变形后为： 则 即 其伸长为： 变形前，线段OB和轴的夹角为，但变形后该夹角变为。例5：对简单的剪切变形：，。 求：1）Lagrange应变张量； 2）线段OB变形后的长度； 3）比较和线段OB变形后的长度值关系。 解：1）因为 所以 则由可得： 2）由图所示的几何关系可得OB段的长度变形后为，即 3) 因为，则有 因为，则有： 可见和有关，当k很小时，有。例6：考虑如下单轴应变场对应的位移分量为： ， （a）计算其Lagrange应变张量和无限小张量； （b）利用和来计算，变形前后的伸长； （c）对线段，利用和分别计算其。解：（a） （b）由，有，则有， 即 另外，由=k，有，也可得 （c）令，则 则 （这可以由如图所示的几何关系而得）同样，对，有： 则 注意到，当k很小时，两者一致。例7：对简单的剪切变形：， （a）求Caudy-Green变形张量和； （b）利用验证对这一变形， ； （c）验证： （d）计算和 （e）画出线元和变形前后的位置。由图计算这两个线元的伸长并与和比较。 解：（a）因为 所以 ， （b）因为 所以给出的满足要求。 （c）因为 所以给出的正确。 （d）由前面给出的可得为： 则可得： 令 （e）由图可见，由表示，变形后变为。 由于E和点之间的距离为kd，其保证是关于线段的 镜像，其长度与相同，则该线元的伸长为1，这与的值相同。 同样，由表示，变形后为，则长度的平方为： 而的长度dS=1，则有： 习题：1、对于一运动，其中为一个小的常数张量（即其分量值小且与无关），证明其无限小应变张量可写为：2、考虑如下运动：；令和为求变形构形中的两个微材料线元。（a）求变形后的和；（b）计算这些线元的伸长，以及它们之间的夹角的变化；（c）令和，重复（b）的计算；（d）比较（c）的结果和由小应变张量得到的结果。3、给定如下运动：，求：（a）；（b）和；（c）；（d）；（e）Lagrange应变；（f）Euler应变；（g）变形前后的体积比；（h）法向矢量为，大小为1的单位面积变形后的大小和法向量。4、给定如下大小的剪切变形：，（a）求伸长张量，并验证（右Caudy-Green张量）；（b）方向为上线元的伸长为多少？（c）计算方向为上的线元的伸长；（d）线元和变形后的夹角为多少？5、给定位移场：，。确定如图所示的对角线线段OA的长度增加量：（a）利用应变张量；（b）利用几何关系。已知：的方向为。