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中小学1对1课外辅导专家 第二章 勾股定理类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 举一反三 【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 【变式2】如图是一个长方体盒子，长AB4，宽BC2，高CG1 (1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是_ (2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为_点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是 ( ) A5 B25 C15 D35【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为_【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是_cm 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 【变式4】（1）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 （2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是_【变式5】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在RtABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图中的实线)是_【变式6】如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4_【变式7】如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为 ( ) A11 B15 C10 D22【变式8】在ABC中，B90，两直角边AB7，BC24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是_类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法（1） 转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 类型四：平方根、立方根与实数5、(1)若，则xy的值为 ( )A1 B1 C2 D3 (2)已知a为实数，那么等于 ( )Aa Ba C1 D0【变式】（1）已若“(b27) 20，则_ （2）已知x、y都是实数，且y，则xy_ （3）若(y6) 20，则xy_ (4)若，则abc_6、 已知的整数部分是a，小数部分是b，则(a)3(b2)2_ 【变式1】（1）估计20的算术平方根在 ( )A2与3之间 B3与4之间 C4与5之间 D5与6之间 （2）估算2的值在 ( ) A1和2之间 B2和3之间 C3和4之间 D4和5之间 （3）估算1的值在 ( ) A2和3之间 B3和4之间 C4和5之间 D5和6之间【变式2】若的整数部分为a，的整数部分为b，求的值7、已知2al的平方根是，3a2bl的平方根是3，求4ab的算术平方根【变式】（1）若5x6的平方根是1，则x_ 。 (2)一个正数x的算术平方根是a，那么x2的算术平方根是_，x1的立方根是_ (3)一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是_；的平方根是_ （4）已知(xy2)(xy2)45，则xy的值是_ （5）如果一个数的平方根是a3与2a15，那么这个数是_； （6）如果5x4的平方根是1，那么x_ (7)如果3x+12的立方根是3，求2x+6的平方根； (8)已知一个正数的平方根是2a1与a+2求a2009的值 8、在实数，57，0.121 121 112，18，0.351，3.141 59中，无理数有 ( )A2个 B3个 C4个 D5个 【变式】 下列各数：3.5，3. 141 6，902，3.51，4.121121112，7.030 303中，有理数有_，无理数有_类型五：科学记数法与有效数字9、用四舍五入法，按括号内的要求取下列各数的近似数 (1) 60 340(保留2个有效数字)； (2)0.038 49(保留2个有效数字)；(3)0.000 077(精确到0.000 01)； (4) 81595(精确到百位)【变式】 (1) 3.4万精确到_位，有_个有效数字 (2)5.82104精确到_位，有_个有效数字 （3）6.510104精确到_位，有_个有效数字，分别是_10
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