三次函数的性质以及在高考中的应用

三次函数的性质以及在高考中的应用 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。 函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为，则可得到以下性质： 性质1：函数， 若，当时，yf(x)是增函数；当时，其单调递增区间是，单调递增区间是； 若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。 （证明略） 推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。 根据a和的不同情况，其图象特征分别为：图1 性质2：函数若，且，则： ； 。 （证明略） 性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。 证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故 ，得 ， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，yf(x)图象的对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点。 下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。 例1. （浙江）设是函数f(x)的导函数，的图象如图2所示，则yf(x)的图象最有可能是（ ）图2图3 解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息： ； 导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）； 在（0，2）上；在（，0）或（2，）上。 由和性质1可排除B、D；由和性质1确定选C。 例2. （江苏）函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，1B. 1，17 C. 3，17D. 9，19 解：函数的导方程是，两根为1和1，由性质2得： ， 。 故选C。 例3. （天津）已知函数在x1处取得极值。 （I）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （II）过点A（0，16）作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。 解：（I）因为，所以导方程。 因为在x1处取得极值，所以，是导方程的两根， 所以 解得 a1，b0 所以 由推论得是f(x)的极大值；f(1)2是f(x)的极小值。 （II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。 设切点为M 因为，故切线方程为 点A（0，16）在切线上，所以 解得，切点为M（2，2） 故所求切线方程为 例4. （湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。 （I）求b与c的关系式（用c表示b）； （II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。 解：（I）依题意，得 ， 所以 因为 所以 （II）因为 所以F（x）的导方程为： 依性质1的推论得： 所以 ， 所以 或 解之得 故所求c的范围是（0，）（）。 纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。4