江西省南昌市2021届高三数学三模试题理₍含解析₎

江西省南昌市2021届高三数学三模试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1设全集为R，已知集合Ax|lnx0，Bx|exe，则A（RB）（）ARB1，+）C0，+）D（0，+）2若复数z满足（1+i）（z2）2i，则（）A3+iB3iC3+iD3i3已知自由落体运动的速度vgt，则自由落体运动从t0s到t2s所走过的路程为（）AgB2gC4gD8g4若函数，则（）ABC1D5已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82，则（）Aa60Ba70CS120DS1306若变量x，y满足，则目标函数z|x|2y的最小值为（）A8B6C10D47随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：P（Xk）0.5；P（Xk）0.5；P（Xk+1）P（Xk2）；P（k1Xk）P（k+1Xk+2）若只有一个假命题，则该假命题是（）ABCD8将方程f（x）f（x）的实数根称为函数f（x）的“新驻点”记函数f（x）exx，g（x）lnx，的“新驻点”分别为a，b，c，则（）AcabBcbaCacbDabc9平安夜苹果创意礼品盒，如图1，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形ABCD的边长为2，上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为，则该几何体的侧面积为（）ABCD10如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）轨道的焦距为Rr；若R不变，r越大，轨道的短轴长越小；轨道的长轴长为R+r；若r不变，R越大，轨道的离心率越大ABCD11已知函数与直线ya（0a2）在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1，x2，xn，则f（x12x23x3）（）A1B0C1D12已知直线l：xy+40与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y24的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（）ABCD3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知两个单位向量，且|1，则| 14等比数列an的前n项和为Sn，若S69S3，S3a3，则 15设双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），圆（xc）2+y24c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为 16球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且|PQ|R，则球面NPQ的面积为 ；若NPPQQNR，则球面NPQ的面积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD135，BDCD（）求sinCBD的值；（）若ABD的面积为4，求AD的长18如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，ABCD，若DCDP2，BC，AP1，AB3（）求证：APAB；（）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值19已知抛物线C：x24y，过点P（1，2）作斜率为k（k0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点（）求k的取值范围；（）记P点关于x轴的对称点为Q点，若QAB的面积为16，求直线l的方程20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下（）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中|164m|小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中（n4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由21定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x0时，f（x）3ex+a，其中e是自然对数的底数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的整数m（m1），使得存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）3ex（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：0（00，），R）（）求曲线C1的极坐标方程；（）设A，B是曲线C1、C2的公共点，若，求曲线C2的直角坐标方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x3|+2|x1|（）求f（x）的最小值m；（）已知a0，b0，若a+2bm时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集为R，已知集合Ax|lnx0，Bx|exe，则A（RB）（）ARB1，+）C0，+）D（0，+）解：因为集合Ax|lnx0x|0x1，Bx|exex|x1，所以RBx|x1，则A（RB）（0，+）故选：D2若复数z满足（1+i）（z2）2i，则（）A3+iB3iC3+iD3i解：由（1+i）（z2）2i，得z2+2+2+i（1i）3+i，所以3i故选：B3已知自由落体运动的速度vgt，则自由落体运动从t0s到t2s所走过的路程为（）AgB2gC4gD8g解：，故选：B4若函数，则（）ABC1D解：根据题意，函数，则f（）4sin（）2，则f（2）log22；故选：D5已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82，则（）Aa60Ba70CS120DS130解：因为公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82，所以a82a52+a72a620，所以（a8a5）（a8+a5）+（a7a6）（a7+a6）0，即3d（a8+a5）+d（a7+a6）0，因为d0，所以3（a8+a5）+（a7+a6）0，由等差数列的性质得4（a1+a12）0，即a1+a120，所以S120故选：C6若变量x，y满足，则目标函数z|x|2y的最小值为（）A8B6C10D4解：z|x|2y，由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，4），可行域与目标函数都关于y轴对称，只需考虑x0时即可，当x0时，可行域为y轴（含y轴）右侧，目标函数为zx2y，由图可知，zx2y过A时，z有最小值为8故选：A7随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：P（Xk）0.5；P（Xk）0.5；P（Xk+1）P（Xk2）；P（k1Xk）P（k+1Xk+2）若只有一个假命题，则该假命题是（）ABCD解：因为4个命题中只有一个假命题，又P（Xk）0.5；P（Xk）0.5，由正态分布的相知可知，均为真命题，所以k，则P（Xk+1）P（Xk+2）P（Xk2），故错误；因为P（k1Xk）P（kXk+1）P（k+1Xk+2），故正确故选：C8将方程f（x）f（x）的实数根称为函数f（x）的“新驻点”记函数f（x）exx，g（x）lnx，的“新驻点”分别为a，b，c，则（）AcabBcbaCacbDabc解：令f（x）f（x），则exxex1，解得x1，即a1；令g（x）g（x），则，设，则，即函数（x）在（0，+）单调递增，又，函数（x）在（1，2）上存在唯一零点，即1b2；令h（x）h（x），则，解得，则cab故选：A9平安夜苹果创意礼品盒，如图1，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形ABCD的边长为2，上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为，则该几何体的侧面积为（）ABCD解：该几何体的俯视图如图所示，设 O 为俯视图的中心，则 ，所以 ,设等腰三角形的高为 h,则 ,得 ,所以一个等腰三角形的面积为 ,所以该几何体的侧面积为 ,故选：B10如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行，设圆形轨道的半径为R，圆形轨道的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）轨道的焦距为Rr；若R不变，r越大，轨道的短轴长越小；轨道的长轴长为R+r；若r不变，R越大，轨道的离心率越大ABCD解：由题意可得知，圆形轨道的半径为R，设轨道的方程为+1，则a+cR，因为圆心轨道的半径为r，则acr，联立，解得2cRr，所以轨道的焦距为2cRr，故正确；由于a，c，故焦距为2cR+r，2b22，所以R不变，r增大，b增大，轨道的短轴长增大，故不正确；长轴2aR+r，故正确；所以离心率e1，r不变，R越大，e越大，即轨道的离心率越大，故正确所以正确，故选：C11已知函数与直线ya（0a2）在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1，x2，xn，则f（x12x23x3）（）A1B0C1D解：，令f（x）a，即a，解得或，且，则有，所以x12x23x3，则f（x12x23x3）故选：D12已知直线l：xy+40与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y24的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（）ABCD3解：由题意设点P（t，t+4），C（x1，y1），D（x2，y2），因为PD，PC是圆的切线，所以ODPD，OCPC，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆x2+y24上，将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+（t+4）y40，即t（x+y）+4（y1）0，所以直线CD恒过定点Q（1，1），又因为OMCD，M，Q，C，D四点共线，所以OMMQ，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示所以|AM|min|AO|r2，所以|AM|的最小值为，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知两个单位向量，且|1，则|解：，且；1+1+13；故答案为：14等比数列an的前n项和为Sn，若S69S3，S3a3，则解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若S69S3，则q1，则有9，变形可得1+q39，解可得q2，则S37a1，a34a1，若S3a3，则；故答案为：15设双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），圆（xc）2+y24c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为4x+3y0解：设AF1的倾斜角为，AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，且，tan，联立，解得cos，在AF1F2中|AF1|AF2|+2a2c+2a，|F1F2|2c，由余弦定理可得：（2c）2（2c+2a）2+（2c）22（2c+2a）2ccos4a2+8c2+8ac8b（a+c），化简得：a+c2b，即c2ba，又a2+b2c2，a2+b2（2ba）2+4b2+a24ab，即，则直线l的方程为y，即4x+3y0故答案为：4x+3y016球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且|PQ|R，则球面NPQ的面积为；若NPPQQNR，则球面NPQ的面积为R2解：如图1，OPOQR，PQ，OP2+OQ2PQ2，则OPOQ，又ON赤道所在平面，OP、OQ、ON两两互相垂直，则4R2；如图2，当NPPQQNR时，构造球内接正四面体NPQS，其中心为O，连接NO交三角形SPQ于H，则NOR，OH为正四面体NSPQ内切球的半径，由等体积法可得，OHNH，则OH，cos，在NOP中，由余弦定理可得：cos，即，得PN由对称性可得，球面NPQ的面积为4R2R2故答案为：；R2三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD135，BDCD（）求sinCBD的值；（）若ABD的面积为4，求AD的长解：（）在BCD中，由正弦定理知，所以BDsinCBDCDsinBCD，因为，即（）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以AD2AB2+BD22ABBDcosABD10，所以18如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，ABCD，若DCDP2，BC，AP1，AB3（）求证：APAB；（）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值【解答】（）证明：如图，过点D作AB的垂线，垂足为E，因为BC平面PAB，所以BCAB，BCAP，所以BCDE，因为，所以，AE1，则，因为AP1，DP2，所以AD2+AP2DP2，即APAD，因为BC与AD相交，BC、AD平面ABCD，所以AP平面ABCD，AB平面ABCD，所以APAB； （）解：如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面ADP的法向量为，则，所以，令，则，所以，所以直线PC与平面ADP所成角的正弦值为 19已知抛物线C：x24y，过点P（1，2）作斜率为k（k0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点（）求k的取值范围；（）记P点关于x轴的对称点为Q点，若QAB的面积为16，求直线l的方程解：（）由题意设直线l的方程为y+2k（x1），由，得到：x24kx+4k+80由题意知0，所以k2k20，即k1或k2，因为k0，所以k的取值范围为（2，+） （）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（）知x1+x24k，x1x24k+8，因为，所以，即k2k60，所以k3或k2，因为k2，所以k3，则直线l的方程为3xy50 20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下（）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中|164m|小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中（n4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由解：（）设这个小球掉入5号球槽为事件A掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以P（A）所以这个小球掉入5号球槽的概率为（）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.，04812P一次游戏付出的奖金，则小红的收益为 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9，的分布列为：0149P一次游戏付出的奖金，则小明的收益为413，小明的盈利多21定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x0时，f（x）3ex+a，其中e是自然对数的底数（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的整数m（m1），使得存在tR，只要x1，m，就有f（x+t）3ex解：（1）yex是增函数，当x0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，f（x）minf（0）3+a，3+a3a0当x0时，x0f（x）f（x）3ex综上，（2）当x1，m时，有f（x+t）3ex，f（1+t）3e当1+t0时，3e1+t3e即e1+te，1+t1，1t0当1+t0时，同理，2t1，2t0同样地，f（m+t）3em及m2，得em+tem由t的存在性可知，上述不等式在2，0上必有解et在2，0上的最小值为e2，即eme3m0令g（x）exe3x，x2，+）则g（x）exe3由g（x）0得x3当2x3时，g（x）0，g（x）是减函数；当x3时，g（x）0，g（x）是增函数g（x）的最小值是g（3）e33e32e30，又g（2）0，g（4）0，g（5）0，g（x）0在2，+）上有唯一解m0（4，5）当2xm0时，g（x）0，当xm0时，g（x）0在x2，+）时满足不等式的最大实数解为m0当t2，x1，m0时，f（x2）3ex3e（e|x2|1x），在x1，2）时，e|x2|1e1x1f（x2）3ex0，在x2，m0时，f（x2）3ex综上所述，m最大整数为4（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：0（00，），R）（）求曲线C1的极坐标方程；（）设A，B是曲线C1、C2的公共点，若，求曲线C2的直角坐标方程解：（）曲线C1的参数方程为：（为参数），整理得曲线C1的直角坐标方程为x2+y22x30，根据，曲线C1的极坐标方程为22cos30（）因为曲线C2的极坐标方程为0，由，得到22cos030，设|OA|A|，|OB|B|，则A+B2cos0，AB3，则A，B异号，不妨设A0，B0，则，所以，则cos01，因为00，），所以00，所以曲线C2的直角坐标方程为y0选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x3|+2|x1|（）求f（x）的最小值m；（）已知a0，b0，若a+2bm时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值解：（）因为，所以当x1时，f（x）minm2，（）因为m2，所以a+2b2，则a+2（b+t）2t+2，又因为，所以，则，所以，则t1或t3（舍），当且仅当a2（b+1），即a2，b0时，等号成立