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江西省南昌市2021届高三数学三模试题 理(含解析)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1设全集为R,已知集合Ax|lnx0,Bx|exe,则A(RB)()ARB1,+)C0,+)D(0,+)2若复数z满足(1+i)(z2)2i,则()A3+iB3iC3+iD3i3已知自由落体运动的速度vgt,则自由落体运动从t0s到t2s所走过的路程为()AgB2gC4gD8g4若函数,则()ABC1D5已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82,则()Aa60Ba70CS120DS1306若变量x,y满足,则目标函数z|x|2y的最小值为()A8B6C10D47随机变量X服从正态分布,有下列四个命题:P(Xk)0.5;P(Xk)0.5;P(Xk+1)P(Xk2);P(k1Xk)P(k+1Xk+2)若只有一个假命题,则该假命题是()ABCD8将方程f(x)f(x)的实数根称为函数f(x)的“新驻点”记函数f(x)exx,g(x)lnx,的“新驻点”分别为a,b,c,则()AcabBcbaCacbDabc9平安夜苹果创意礼品盒,如图1,它的形状可视为一个十面体,其中上下底面为全等的正方形,八个侧面是全等的等腰三角形如图2,底面正方形ABCD的边长为2,上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为,则该几何体的侧面积为()ABCD10如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行,然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行,设圆形轨道的半径为R,圆形轨道的半径为r,则下列结论中正确的序号为()轨道的焦距为Rr;若R不变,r越大,轨道的短轴长越小;轨道的长轴长为R+r;若r不变,R越大,轨道的离心率越大ABCD11已知函数与直线ya(0a2)在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1,x2,xn,则f(x12x23x3)()A1B0C1D12已知直线l:xy+40与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y24的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为()ABCD3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13已知两个单位向量,且|1,则| 14等比数列an的前n项和为Sn,若S69S3,S3a3,则 15设双曲线的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),圆(xc)2+y24c2与双曲线C在第一象限的交点为A,若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直,则l的方程为 16球面几何学是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用,如图,A,B,C是球面上不同的大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点,经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC已知地球半径为R,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点若P,Q在赤道上,且|PQ|R,则球面NPQ的面积为 ;若NPPQQNR,则球面NPQ的面积为 三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17如图,在梯形ABCD中,ABCD,BCD135,BDCD()求sinCBD的值;()若ABD的面积为4,求AD的长18如图,在四棱锥PABCD中,BC平面PAB,ABCD,若DCDP2,BC,AP1,AB3()求证:APAB;()求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值19已知抛物线C:x24y,过点P(1,2)作斜率为k(k0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点()求k的取值范围;()记P点关于x轴的对称点为Q点,若QAB的面积为16,求直线l的方程20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,7的球槽内例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下()如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入5号球槽的概率;()小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为元,其中|164m|小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为元,其中(n4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由21定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x0时,f(x)3ex+a,其中e是自然对数的底数(1)求函数f(x)的解析式;(2)求最大的整数m(m1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)3ex(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:0(00,),R)()求曲线C1的极坐标方程;()设A,B是曲线C1、C2的公共点,若,求曲线C2的直角坐标方程选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)|x3|+2|x1|()求f(x)的最小值m;()已知a0,b0,若a+2bm时,正常数t使得ta+ab的最大值为2,求t的值答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设全集为R,已知集合Ax|lnx0,Bx|exe,则A(RB)()ARB1,+)C0,+)D(0,+)解:因为集合Ax|lnx0x|0x1,Bx|exex|x1,所以RBx|x1,则A(RB)(0,+)故选:D2若复数z满足(1+i)(z2)2i,则()A3+iB3iC3+iD3i解:由(1+i)(z2)2i,得z2+2+2+i(1i)3+i,所以3i故选:B3已知自由落体运动的速度vgt,则自由落体运动从t0s到t2s所走过的路程为()AgB2gC4gD8g解:,故选:B4若函数,则()ABC1D解:根据题意,函数,则f()4sin()2,则f(2)log22;故选:D5已知公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82,则()Aa60Ba70CS120DS130解:因为公差不为0的等差数列an满足a52+a62a72+a82,所以a82a52+a72a620,所以(a8a5)(a8+a5)+(a7a6)(a7+a6)0,即3d(a8+a5)+d(a7+a6)0,因为d0,所以3(a8+a5)+(a7+a6)0,由等差数列的性质得4(a1+a12)0,即a1+a120,所以S120故选:C6若变量x,y满足,则目标函数z|x|2y的最小值为()A8B6C10D4解:z|x|2y,由约束条件作出可行域如图,由图可知,A(0,4),可行域与目标函数都关于y轴对称,只需考虑x0时即可,当x0时,可行域为y轴(含y轴)右侧,目标函数为zx2y,由图可知,zx2y过A时,z有最小值为8故选:A7随机变量X服从正态分布,有下列四个命题:P(Xk)0.5;P(Xk)0.5;P(Xk+1)P(Xk2);P(k1Xk)P(k+1Xk+2)若只有一个假命题,则该假命题是()ABCD解:因为4个命题中只有一个假命题,又P(Xk)0.5;P(Xk)0.5,由正态分布的相知可知,均为真命题,所以k,则P(Xk+1)P(Xk+2)P(Xk2),故错误;因为P(k1Xk)P(kXk+1)P(k+1Xk+2),故正确故选:C8将方程f(x)f(x)的实数根称为函数f(x)的“新驻点”记函数f(x)exx,g(x)lnx,的“新驻点”分别为a,b,c,则()AcabBcbaCacbDabc解:令f(x)f(x),则exxex1,解得x1,即a1;令g(x)g(x),则,设,则,即函数(x)在(0,+)单调递增,又,函数(x)在(1,2)上存在唯一零点,即1b2;令h(x)h(x),则,解得,则cab故选:A9平安夜苹果创意礼品盒,如图1,它的形状可视为一个十面体,其中上下底面为全等的正方形,八个侧面是全等的等腰三角形如图2,底面正方形ABCD的边长为2,上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为,则该几何体的侧面积为()ABCD解:该几何体的俯视图如图所示,设 O 为俯视图的中心,则 ,所以 ,设等腰三角形的高为 h,则 ,得 ,所以一个等腰三角形的面积为 ,所以该几何体的侧面积为 ,故选:B10如图所示,“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道上绕月球飞行,然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月球飞行,设圆形轨道的半径为R,圆形轨道的半径为r,则下列结论中正确的序号为()轨道的焦距为Rr;若R不变,r越大,轨道的短轴长越小;轨道的长轴长为R+r;若r不变,R越大,轨道的离心率越大ABCD解:由题意可得知,圆形轨道的半径为R,设轨道的方程为+1,则a+cR,因为圆心轨道的半径为r,则acr,联立,解得2cRr,所以轨道的焦距为2cRr,故正确;由于a,c,故焦距为2cR+r,2b22,所以R不变,r增大,b增大,轨道的短轴长增大,故不正确;长轴2aR+r,故正确;所以离心率e1,r不变,R越大,e越大,即轨道的离心率越大,故正确所以正确,故选:C11已知函数与直线ya(0a2)在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1,x2,xn,则f(x12x23x3)()A1B0C1D解:,令f(x)a,即a,解得或,且,则有,所以x12x23x3,则f(x12x23x3)故选:D12已知直线l:xy+40与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y24的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为()ABCD3解:由题意设点P(t,t+4),C(x1,y1),D(x2,y2),因为PD,PC是圆的切线,所以ODPD,OCPC,所以C,D在以OP为直径的圆上,其圆的方程为,又C,D在圆x2+y24上,将两个圆的方程作差得直线CD的方程为:tx+(t+4)y40,即t(x+y)+4(y1)0,所以直线CD恒过定点Q(1,1),又因为OMCD,M,Q,C,D四点共线,所以OMMQ,即M在以OQ为直径的圆上,其圆心为,半径为,如图所示所以|AM|min|AO|r2,所以|AM|的最小值为,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13已知两个单位向量,且|1,则|解:,且;1+1+13;故答案为:14等比数列an的前n项和为Sn,若S69S3,S3a3,则解:根据题意,设等比数列an的公比为q,若S69S3,则q1,则有9,变形可得1+q39,解可得q2,则S37a1,a34a1,若S3a3,则;故答案为:15设双曲线的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),圆(xc)2+y24c2与双曲线C在第一象限的交点为A,若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直,则l的方程为4x+3y0解:设AF1的倾斜角为,AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直,且,tan,联立,解得cos,在AF1F2中|AF1|AF2|+2a2c+2a,|F1F2|2c,由余弦定理可得:(2c)2(2c+2a)2+(2c)22(2c+2a)2ccos4a2+8c2+8ac8b(a+c),化简得:a+c2b,即c2ba,又a2+b2c2,a2+b2(2ba)2+4b2+a24ab,即,则直线l的方程为y,即4x+3y0故答案为:4x+3y016球面几何学是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用,如图,A,B,C是球面上不同的大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点,经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC已知地球半径为R,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点若P,Q在赤道上,且|PQ|R,则球面NPQ的面积为;若NPPQQNR,则球面NPQ的面积为R2解:如图1,OPOQR,PQ,OP2+OQ2PQ2,则OPOQ,又ON赤道所在平面,OP、OQ、ON两两互相垂直,则4R2;如图2,当NPPQQNR时,构造球内接正四面体NPQS,其中心为O,连接NO交三角形SPQ于H,则NOR,OH为正四面体NSPQ内切球的半径,由等体积法可得,OHNH,则OH,cos,在NOP中,由余弦定理可得:cos,即,得PN由对称性可得,球面NPQ的面积为4R2R2故答案为:;R2三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17如图,在梯形ABCD中,ABCD,BCD135,BDCD()求sinCBD的值;()若ABD的面积为4,求AD的长解:()在BCD中,由正弦定理知,所以BDsinCBDCDsinBCD,因为,即()因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以AD2AB2+BD22ABBDcosABD10,所以18如图,在四棱锥PABCD中,BC平面PAB,ABCD,若DCDP2,BC,AP1,AB3()求证:APAB;()求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值【解答】()证明:如图,过点D作AB的垂线,垂足为E,因为BC平面PAB,所以BCAB,BCAP,所以BCDE,因为,所以,AE1,则,因为AP1,DP2,所以AD2+AP2DP2,即APAD,因为BC与AD相交,BC、AD平面ABCD,所以AP平面ABCD,AB平面ABCD,所以APAB; ()解:如图,建立空间直角坐标系,则,所以,设平面ADP的法向量为,则,所以,令,则,所以,所以直线PC与平面ADP所成角的正弦值为 19已知抛物线C:x24y,过点P(1,2)作斜率为k(k0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点()求k的取值范围;()记P点关于x轴的对称点为Q点,若QAB的面积为16,求直线l的方程解:()由题意设直线l的方程为y+2k(x1),由,得到:x24kx+4k+80由题意知0,所以k2k20,即k1或k2,因为k0,所以k的取值范围为(2,+) ()设A(x1,y1),B(x2,y2),由()知x1+x24k,x1x24k+8,因为,所以,即k2k60,所以k3或k2,因为k2,所以k3,则直线l的方程为3xy50 20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,且等可能向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,7的球槽内例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下()如图1,进行一次高尔顿板试验,求小球落入5号球槽的概率;()小红、小明同学在研究了高尔顿板后,利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板,付费6元可以玩一次游戏,小球掉入m号球槽得到的奖金为元,其中|164m|小明改进了高尔顿板(如图2),首先将小木块减少成5层,然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时,有的概率向左,的概率向右滚下,最后掉入编号为1,2,5的球槽内,改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,小球掉入n号球槽得到的奖金为元,其中(n4)2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小红和小明同学谁的盈利多?请说明理由解:()设这个小球掉入5号球槽为事件A掉入5号球槽,需要向右4次向左2次,所以P(A)所以这个小球掉入5号球槽的概率为()小红的收益计算如下:每一次游戏中,的可能取值为0,4,8,12.,04812P一次游戏付出的奖金,则小红的收益为 小明的收益计算如下:每一次游戏中,的可能取值为0,1,4,9,的分布列为:0149P一次游戏付出的奖金,则小明的收益为413,小明的盈利多21定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x0时,f(x)3ex+a,其中e是自然对数的底数(1)求函数f(x)的解析式;(2)求最大的整数m(m1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)3ex解:(1)yex是增函数,当x0时,f(x)为增函数,又f(x)为偶函数,f(x)minf(0)3+a,3+a3a0当x0时,x0f(x)f(x)3ex综上,(2)当x1,m时,有f(x+t)3ex,f(1+t)3e当1+t0时,3e1+t3e即e1+te,1+t1,1t0当1+t0时,同理,2t1,2t0同样地,f(m+t)3em及m2,得em+tem由t的存在性可知,上述不等式在2,0上必有解et在2,0上的最小值为e2,即eme3m0令g(x)exe3x,x2,+)则g(x)exe3由g(x)0得x3当2x3时,g(x)0,g(x)是减函数;当x3时,g(x)0,g(x)是增函数g(x)的最小值是g(3)e33e32e30,又g(2)0,g(4)0,g(5)0,g(x)0在2,+)上有唯一解m0(4,5)当2xm0时,g(x)0,当xm0时,g(x)0在x2,+)时满足不等式的最大实数解为m0当t2,x1,m0时,f(x2)3ex3e(e|x2|1x),在x1,2)时,e|x2|1e1x1f(x2)3ex0,在x2,m0时,f(x2)3ex综上所述,m最大整数为4(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为:0(00,),R)()求曲线C1的极坐标方程;()设A,B是曲线C1、C2的公共点,若,求曲线C2的直角坐标方程解:()曲线C1的参数方程为:(为参数),整理得曲线C1的直角坐标方程为x2+y22x30,根据,曲线C1的极坐标方程为22cos30()因为曲线C2的极坐标方程为0,由,得到22cos030,设|OA|A|,|OB|B|,则A+B2cos0,AB3,则A,B异号,不妨设A0,B0,则,所以,则cos01,因为00,),所以00,所以曲线C2的直角坐标方程为y0选修4-5:不等式选讲23已知函数f(x)|x3|+2|x1|()求f(x)的最小值m;()已知a0,b0,若a+2bm时,正常数t使得ta+ab的最大值为2,求t的值解:()因为,所以当x1时,f(x)minm2,()因为m2,所以a+2b2,则a+2(b+t)2t+2,又因为,所以,则,所以,则t1或t3(舍),当且仅当a2(b+1),即a2,b0时,等号成立
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