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学科：数学教学内容：平面向量【考点梳理】一、考试内容1.向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。2.平面向量的坐标表示，线段的定比分点。3.平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。4.平移及平移公式。二、考试要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2.掌握向量的加法与减法。3.掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。三、考点简析1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。表示法几何法：画有向线段表示，记为或。坐标法：=xi+yj=(x,y)。=(x2x1,y2y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算向量的加法与减法定义与法则（如图51）：a+b=(x1+x2,y1+y2),ab=(x1x2,y1y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。运算律：a+b=b+a,(a+b)+C=a+(b+c),a+O=O+a=a。向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图52）：a=(x,y)=(x, y)运算律（a）=()a,( +)a=a+a, (a+b)= a+b。平面向量的数量积定义与法则（如图53）：ab=|a|b|cos(a0,b0,0)0a=0,ab=x1x2+y1y2a=(x1,y1),b=(x2,y2)。运算律：ab=ba,(a)b=a(b)=（ab），（a+b）c=ac+bc。（3）定理与公式共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b= a平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的。任一向量a，有且只有一对实数1,2使a=1e1+2e2两向量垂直的充要条件(i)abab=0(ii)abx1x2+y1y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、,使=+，其中+=1，O为平面内的任一点。数值计算公式两点间的距离公式：|=P1(),P2(x2,y2)线段的定比分点坐标公式：P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),P(x,y), =中点坐标公式：两向量的夹角公式：cos=0180,a=(x1,y1),b=(x2,y2)图形变换公式平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则有关结论(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);一般地，若P是分线段AB成定比的分点（即=，1）则=+，此即线段定比分点的向量式（注意与例7（1）表述方法的不同，例7（1）用时很方便）。(ii)有限个向量a1,a2,an相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2, =an,则向量即这些向量的和，即a1+a2+an=+=（向量加法的多边形法则）。当An和O重合时（即上述折线OA1A2An成封闭折线时），则和向量为零向量。注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。3.向量的应用（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用四、思想方法向量法：用向量证明或解题的方向称为向量法。向量法在处理物理学、几何学中有很大的用处。【例题解析】例1 设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）A.0B.1C.2D.3解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。注 向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。例2 已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin），a与b之间有关系|ka+b|=|akb|，其中k0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。注 与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab例3 已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60, x=2ab,y=3ba,则x与y的夹角是多少？解 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=。要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值。|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=coscos=，=arccos。注 在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得，如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60。由向量减法的几何意义，得=2ab。由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.例4 讨论|ab|与a,b的和或差的模的大小关系。解 如图：（1）当a与b不平行时，a,b以及ab可以构成一个三角形，如图，于是| a |b|ab|a|+|b|（2）当a与b平行时，如果a与b的方向相同，则有|ab|=|a|b|，其中当|a|b|时，有|ab|=|a|b|，当|a|0，即ab2+(a2+b2) +ab0。把ab=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得32+11+30，解之得，此即所求的取值范围。例6 如图所示，已知四面体OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若AB=OC，试用向量方法证明，PMQN。证明 M是BC的中点，连结OM，=（+）。同理由N是AC的中点，得=（+）。=+=（+） =（+）=（+），=+=（+）=（+）=（+）= （）。=（+）（）=（）。|=|，=0，即PMQN。例7如图，设G为OAB的重心，过G的直线与OA，OB分别交于P和Q，已知=h,=k,OAB与OPQ的面积分别为S和T。求证：（1）+=3；（2）TS。证明 （1）连结OG并延长交AB于M，则M为AB的中点，=（+），=+。 设G分PQ所成比为t：(1t)，则=(1t) +t,而=h,=k,=（1t）h+tk。比较，得(1t)h=,tk=，即=3(1t), =3t,+=3。（2）POQ=AOB，=hk。由题（1）知k=0，3h10,=。又=，=，且依题意0h1,0k1, 1k=1=0,，。因此，STS成立。注 解本题的关键是理解向量各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。例8 将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式。解法一 设平移向量a=(h,k)，则将y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(xh)2+k。设M(m,n)和M(m,n)是y=2x2+4x+2与y=2(xh)2+k的两个交点，则：解得：或点（1，4）和点（1，4）在函数y=2(xh)2+k的图像上故所求解析式为：y=2(x+1)24，即y=2x2+4x2解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P(x,y)，则故yk=2(xh)2是平移之后的函数图像解析式。由消去y得：4x24(h+1)x+2h2+k2=0又两交点关于原点对称x1+x2=0,即=0,h=1又y1+y2=0,2x124hx1+2+k+2x224hx2+2+k=02(x12+x22)+4(x1+x2)=42k2(x1+x2)2+4(x1+x2)4x1x1=42kx1x2=，4=42k,k=4y=2(x+1)24,即y=2x2+4x2。例9 如图正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E，求DOE的余弦值。解析 创造使用求角公式的条件，为此须求。=+=+，=+=+，=（+）（+） =+（+）+， =0，=0。又=， =，=|2=。于是=（|2+|2）=|2，又|2=|2+|2=|2+|2=|2，cosDOE=注 利用向量解几何题，关键是将有关线段设为向量，不同的设法可出现不同的解法。利用向量解平面几何有时特别方便，但要注意的一点，不宜搞得过难，因为高考在这方面要求不高，只是在数学竞赛中有较高要求。专题四 平面向量练习一、选择题1.若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则（ ）A.x=-1B.x=3C.x=D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k）B.(-,-)C.(-10,2)D.(5k,4k)3.若点P分所成的比为，则A分所成的比是（ ）A.B. C.- D.-4.已知向量a、b，aa=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a与b的夹角为（ ）A.60B.-60C.120D.-1205.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，则向量ab=（ ）A.10B.-10C.10D.106.已知a=(3,0),b=(-5,5)，则a与b的夹角为( )A.B. C. D.7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+xb与b垂直，则x的值为（ ）A.B.C.2D.-8.设点P分有向线段的比是，且点P在有向线段的延长线上，则的取值范围是（ ）A.(-,-1)B.(-1,0)C.(-,0)D.(-,-)9.设四边形ABCD中，有=，且|=|，则这个四边形是（ ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C的解析式为（ ）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（ ）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（ ）A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2，则b= 。14.已知：|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45，要使b-a垂直，则= 。15.已知|a|=3,|b|=5，如果ab，则ab= 。16.在菱形ABCD中，（+）（-）= 。三、解答题。17.如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、。18.已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为可值时：（1）ka+b与a-3b垂直；（2）ka+b与a-3b平行，平行时它们是同向还是反向？19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60，试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角。20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标和。21. 已知两个向量a和b，求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab。22.已知ABC顶点A（0，0），B（4，8），C（6，-4），点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且AMN的面积等于ABC面积的一半，求N点的坐标。参考答案1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C13.(4,-2) 14.2 15.15 16.017.解 连结AC=a,=+= b+a, =-= b+a-a= b-a, =+=+= b-a,=-=a-b。18.解 （1）ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。当(ka+b)(a-3b)=0时，这两个向量垂直，由10(k-3)+(2k+2)（-4）=0得k=19。（2）当ka+b与a-3b平行，存在惟一的实数，使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4)得解得此时-a+b与a-3b反向。19.解 a=2e1+e2,|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7,|a|=。同理得|b|=。又ab=（2e1+e2）(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1e2+2e22=-， cos=-,=120.20.解 如图8，设B(x,y),则=(x,y), =(x-4,y-2)。B=90，x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。设OA的中点为C，则C(2,1), =（2，1），=(x-2,y-1)ABO为等腰直角三角形，2(x-2)+y-1=0，即2x+y=5。解得、得或B(1,3)或B(3,-1)，从而=(-3,1)或=（-1,-3）21.证明 如图9，=a, =b。 （1）充分性：若，OBCA为矩形，则|a+b|=|,|a-b|=|OBCA为矩形，|=|，即|a+b|=|a-b|（2）必要性：|a+b|=|,|a-b|=,且|a+b|=|a-b|,|=|,平行四边形OBCA为矩形，ab，即a的方向与b的方向垂直。22.解 如图10，=。M分的比为3，=，则由题设条件得=， =，=2。由定比分点公式得N(4,-)。
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