大学物理第一章 矢量分析

第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波31. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波4矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波5（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波6（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）两矢量的标量积也称为点积两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积本书称为标积)。定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢量模的乘积，结果为标量。量模的乘积，结果为标量。AB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）写成行列式形式为写成行列式形式为 亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，表示，C的大小的大小为为A和和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和和B构成构成的平面且的平面且A、B和和C三者符合右手螺旋法则。三者符合右手螺旋法则。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波10第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波11 直角坐标系直角坐标系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波12第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波13圆柱坐标系圆柱坐标系xyzpddrezdzerdydzdzdzdzedrpdpdpdodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波14第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波15 球坐标系球坐标系xyzrderedreddrrsindrsindrsindrdrrddrrsindodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波164. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波171.3 标量场的梯度标量场的梯度q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波181.1. 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波19方向导数表示场沿某方向的空间变化率。方向导数表示场沿某方向的空间变化率。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波20第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波212. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率方向导数表示场沿某方向的空间变化率。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波22梯度的表达式梯度的表达式：意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波23标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波24 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.3.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波25表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波26而该点的梯度值为而该点的梯度值为 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波271.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波282. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波29通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波30 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波310Fdiv0Fdiv0Fdiv第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波32直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如为一直平行六面体，如图所示。则图所示。则第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波33根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波34圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波354. 散度定理散度定理 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波361.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何何闭合曲面的通量为零闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中。但在场所定义的空间中闭合路径的积闭合路径的积分不为零分不为零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波37环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即 例如：流速场。例如：流速场。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波38 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波39（2）环流面密度）环流面密度称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限n第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波40 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 矢量场在矢量场在M点处的旋度为一点处的旋度为一矢量，其数值为矢量，其数值为M M点的环面密度点的环面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向即：即：max0|d1limrotCSlFSnF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波41rot (coscoscos ) (rotrotrot)nnyyxzxxyzzFerotFeeeeFeFeF任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影：任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影：nSCMFnerotF计算矢量场的旋度计算矢量场的旋度rot F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波42而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF4321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzyyyFMFFMzzz)(2zzFMFFMyyy)(3)(1MFFyy)(4MFFzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波43于是于是 同理可得同理可得故得故得物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：rot FF yyxxzzxyzxyzxyzFFFFFFrot FeeeyzzxxyeeexyzFFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波44旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波45q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波46旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波473. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波484. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波491. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波502. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F梯度的性质梯度的性质:梯度的旋度恒为零梯度的旋度恒为零证明：证明：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波510dClF性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波52（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即0 F旋度的性质旋度的性质:任意矢量的旋度的散度恒为零任意矢量的旋度的散度恒为零 由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场B B，必然可以，必然可以表示为某个矢量场的旋度。即表示为某个矢量场的旋度。即 ： 磁场的散度为零磁场的散度为零，则则磁场强度可磁场强度可表为表为某一矢量的旋度某一矢量的旋度. .性质性质：0dSSF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波53（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波541.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波55概念概念：即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波562. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场导数，那么，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式：满足下列等式： 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波57基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 格林定理说明了区域格林定理说明了区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。格林定理广泛地用于电磁理论。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波58亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度、旋度及边界条件唯一确定。域，矢量场可由其散度、旋度及边界条件唯一确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波59 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波60 前面讨论的均为矢量分析中的基本概念及方法，前面讨论的均为矢量分析中的基本概念及方法，概括起来包括：概括起来包括：