（全国通用）高考数学大一轮复习 第十章 统计与统计案例、概率 第6节 几何概型课件 文 新人教A

第第6节节 几何概型几何概型 最新考纲 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义. 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 知知 识识 梳梳 理理 长度 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有 ； (2)等可能性：每个结果的发生具有 . 3.几何概型的概率公式 P(A) . 无限多个 等可能性 构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 常用结论与微点提醒 1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关. 2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) 答案 (1) (2) (3) (4) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)从区间1，10内任取一个数，取到 1 的概率是110.( ) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件.( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( ) 诊诊 断断 自自 测测 2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 答案 A 解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，所以 P(A)P(C)P(D)P(B). 答案 B 解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40154058. 3.(2016 全国卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯， 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310 解析 任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴). 答案 B 4.(2018 莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于 1 的概率是( ) A.8 B.4 C.12 D.34 故所求概率 P1412114. 5.如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_. 答案 0.18 解析 由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正1801 0000.18，因为 S正1，所以 S阴0.18. 考点一考点一 与长度与长度(角度角度)有关的几何概型有关的几何概型 【例 1】 (1)(2016 全国卷)某公司的班车在 7：30，8：00，8：30 发车，小明在 7：50至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 (2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_. 解析 (1)如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 上，而当他的到达时间落在线段 AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P10104012. 依题意，点 P在BD上任何位置是等可能的，且射线 AP 与线段 BC 有公共点，则事件“点 P在BC上发生”. 又在 RtABC 中，易求BACBAC6. 故所求事件的概率 PlBClBD6 12 113. (2)以 A 为圆心，以 AD1 为半径作圆弧DB交 AC，AP，AB 分别为 C，P，B. 答案 (1)B (2)13 规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置. 2.(1)例 1 第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求 P12. (2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比. 【训练 1】 (1)(2017 江苏卷)记函数 f(x) 6xx2的定义域为 D.在区间4，5上随机取一个数 x，则 xD 的概率是_. (2)(2018 西安调研)在区间1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_. 解析 (1)由6xx20，得2x3，即D2，3. (2)直线ykx与圆(x5)2y29相交的充要条件是圆心(5，0)到直线ykx的距离小于3. 故所求事件的概率 P3（2）5（4）59. 则|5k0|k2（1）23，解得34k34. 故所求事件的概率 P34341（1）34. 答案 (1)59 (2)34 考点二考点二 与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型(多维探究多维探究) 命题角度命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型与平面图形面积相关的几何概型 【例21】 (2017 全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14 B.8 C.12 D.4 解析 设正方形的边长为2，则面积S正方形4. 又正方形内切圆的面积S12. 答案 B 所以根据对称性，黑色部分的面积 S黑2. 由几何概型的概率公式，概率 PS黑S正方形8. 命题角度命题角度2 与线性规划的交汇问题与线性规划的交汇问题 【例 22】 由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，由不等式组xy1，xy2确定的平面区域记为 2，若在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为_. 由几何概型的概率公式，所求概率 PS四边形OACDSOAB214278. 答案 78 解析 如图，平面区域 1就是三角形区域 OAB，平面区域 2与平面区域 1的重叠部分就是区域 OACD，易知 C 12，32. 规律方法 1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合. 2.解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【训练 2】 (1)(2016 全国卷)从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( ) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn (2)(2018 石家庄调研)在满足不等式组xy10，xy30，y0的平面内随机取一点 M(x0，y0)，设事件 A“y02x0”，那么事件 A 发生的概率是( ) A.14 B.34 C.13 D.23 解析 (1)如图，数对(xi，yi)(i1，2，n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知 PS扇形S正方形14R2R24，又 Pmn，所以4mn，故 4mn. 答案 (1)C (2)B (2)作出不等式组xy10，xy30，y0表示的平面区域(即ABC)， 其面积为 4.事件 A“y02x0”表示的区域为AOC，其面积为 3.所以事件 A 发生的概率是34. 考点三考点三 与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型 【例 3】 (1)(2018 深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38 (2)已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VPABC12VSABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14 解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内. 答案 (1)C (2)A (2)由题意知，当点 P 在三棱锥的中截面 ABC以下时，满足 VPABC12VSABC，又 V锥SABC1214V锥SABC18V锥SABC. 事件“VPABC12VSABC”的概率 PV台体ABCABCV锥SABCV锥SABCV锥SABCV锥SABC78. 这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 27，故安全飞行的概率为 P127. 规律方法 1.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 2.本题易忽视基本事件的等可能性，错用“长度”度量，误求 P12. 【训练 3】 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率为_. h12，则点 M 在正方体的下半部分，故所求事件的概率 P12V正方体V正方体12. 答案 12 解析 设四棱锥 MABCD 的高为 h， 由于 S正方形ABCD1， V正方体1， 且h3S正方形ABCD16.