第63讲 两个计数原理与排列、组合的基本问题

高考四元聚焦 理 数 学海网 1 高考四元聚焦 理 数 学海网 2 第第63讲讲 两个计数原理与排列、两个计数原理与排列、 组合的基本问题组合的基本问题 高考四元聚焦 理 数 学海网 3 高考四元聚焦 理 数 学海网 4 1书架上层放有 4 本不同的数学书，中层放有 5 本不同的物理书，下层放有 6 本不同的英语书，从中任取一本书的不同取法种数是( ) A15 B1 C120 D3 A 高考四元聚焦 理 数 学海网 5 解析：解析：这是一个分类问题，由分类计数原理，不同的取法种数 N45615 种故选 A. 高考四元聚焦 理 数 学海网 6 2将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有( ) A53 B35 C3 种 D15 种 B 高考四元聚焦 理 数 学海网 7 解析：解析：每封信均有 3 种不同的投法，5 封信投入可视为完成这件事分 5 步进行，由分步计数原理，不同投法 N3333335种，故选 B. 高考四元聚焦 理 数 学海网 8 3 (改编)从 11,12,13,14,15 五个数中选取两个不同的数x，y，那么构成加法算式 xy 个数有( ) A30 B20 C10 D5 B 高考四元聚焦 理 数 学海网 9 解析：由于 xy 与 yx 是不同的算式，因此可得算式xy 个数是 A2520，故选 B. 高考四元聚焦 理 数 学海网 10 4(改编)把 8 名同学分成两组，一组 5 人参加电脑学习，一组 3 人参加航模小组，则不同的安排方法有 . 高考四元聚焦 理 数 学海网 11 解析：C58C3887632156. 高考四元聚焦 理 数 学海网 12 5(改编)满足方程 Cx2x16C5x516的 x 值为 . 高考四元聚焦 理 数 学海网 13 解析： 由方程可得 x2x5x5 或 x2x16(5x5)， 得 x11，x25，x33，x47， 经检验 x1，x3，符合题意 高考四元聚焦 理 数 学海网 14 高考四元聚焦 理 数 学海网 15 一一 简单的排列应用问题简单的排列应用问题 【例 1】(1)某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A36 种 B42 种 C48 种 D54 种 高考四元聚焦 理 数 学海网 16 (2)(2012 广东省深圳市第二次调研)在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有 1 名、2 名、3 名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有( ) A6 种 B36 种 C72 种 D120 种 高考四元聚焦 理 数 学海网 17 解析：解析：(1)分两类：第一类：甲排在第一位，共有 A4424 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 A13 A3318 种排法，所以共有编排方案 241842 种，故选 B. (2)将各年级的同学看作一个元素作全排，然后作它们内部的全排即可，即 A33A22A3372，故选 C. 高考四元聚焦 理 数 学海网 18 【拓展演练 1】 现有 3 名男生， 4 名女生，分别求符合下列各条件下的不同排列方法总数 (1)排成前后三排：前排 2 人，中排 3 人，后排 2 人； (2)全体排成一排：甲不站排头也不站排尾； (3)全体排成一排：男女相间 高考四元聚焦 理 数 学海网 19 解析：(1)由排列的概念可知，排成三排可转化为排成一排后，前二人站第一排，中间三人站第二排，最后二人站第三排，故共有 A775040 种排法 (2)先满足甲的要求，在一排中间五个位置中选一个位置站甲，有 A15种，然后让其余的人站剩下的位置，有 A66种，故共有 A15 A663600 种排法 (3)先将女生排好，共有 A44种，然后在女生之间(不含首末位置)的三个位置插入男生，共有 A33种，故共有 A44 A33144 种排法 高考四元聚焦 理 数 学海网 20 二二 简单的组合应用问题简单的组合应用问题 【例 2】(1)某中学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( ) A4 种 B10 种 C18 种 D20 种 高考四元聚焦 理 数 学海网 21 (2)(2012 山东省济南市 3 月模拟)如图所示， 使电路接通，开关不同的开闭方式有( ) A11 种 B20 种 C21 种 D12 种 高考四元聚焦 理 数 学海网 22 解析：分两种情况：(1)3 本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了 4 种；(2)2 本画册 2 本集邮册，只要选两个人拿画册 C246 种，根据分类计数原理知共 10 种，故选 B. (2)若前一个开关只接通一个，则后一个有 C13C23C337，此时有 2714 种，若前个开关接通两个，则后一个有 C13C23C337，所以总共有 14721，故选 C. 高考四元聚焦 理 数 学海网 23 【拓展演练 2】 (1)为制作某电视剧封面宣传画将该剧组的 7 位身高各不相同的主演以伞型(中间高两边低)排列，若忽略名气等因素，则可以制作_幅不同宣传画( ) A20 B40 C10 D42 高考四元聚焦 理 数 学海网 24 (2)设编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子， 现将这五个球投放到五个盒子内， 要求每个盒子内投放一个球， 并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同， 则这样的投放方法总数为 . 高考四元聚焦 理 数 学海网 25 解析：(1)下图第四个位置排个子最高的演员，只有一种排法；再从剩下的演员中选 3 位排左边，因高矮顺序确定，与顺序无关，有 C3620 种，剩下的三位演员只排右边，故总共有 20 种不同的排法，能制作 20 幅不同的宣传画. 故选 A. 高考四元聚焦 理 数 学海网 26 (2)从五个球中任意取出两个放入和它们编号相同的盒子中有 C25种方法，再从剩下的 3 个球中取出一个放入和它编号不同的两个盒子中的一个有 C12种方法，最后剩下的两个球只能有一种放法，所以共有 C25C1220 种放法 高考四元聚焦 理 数 学海网 27 【例 3】 (1)(2012 广东省东莞市模拟)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A120 个 B80 个 C40 个 D20 个 三三 计数原理及应用计数原理及应用 高考四元聚焦 理 数 学海网 28 (2)(2012 山东省莱芜市上期末)如图，在一花坛 A，B，C，D 四个区域种花，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为( ) A48 B60 C72 D84 高考四元聚焦 理 数 学海网 29 解析： (1)(方法一)分中间分别为 3,4,5,6 四种情况， 这样的分别有 A22，A23，A24，A25，所以根据加法原理得“伞数”有 A22A23A24A2540 个，故选 C. (方法二)第一步，从 6 个数中选了 3 个数有 C3620 种 第二步，对选中的三个数排序，中间最大，较小的排两边有 C12种，故“伞数”有 C36 C1240 个 (2)当 A 与 C 同色时有 43336 种不同的涂法，当A 与 C 不同色时有 432248 种不同的涂法，所以共有 364884，故选 D. 高考四元聚焦 理 数 学海网 30 【拓展演练 3】 (1)在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1， 则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A10 B11 C12 D15 高考四元聚焦 理 数 学海网 31 (2)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、 下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有 种(用数字作答) 高考四元聚焦 理 数 学海网 32 解析： (1)与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同， 有 C246 种； 与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同， 有 C144 种； 与信息 0110 没有对应位置上的数字相同，有 C041种 所以与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 64111. 高考四元聚焦 理 数 学海网 33 (2)设 A、B、C、D、E 依次代表题设中的五个测试项目 上午的总测试方法有 A4424 种 若上午测试 E 的同学下午测试 D， 则上午测试 A 的同学下午只能测试 B、C，确定上午测试 A 的同学后其余两个同学上、下午的测试共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午测试A、B、C 中一个，则上午测试 A、B、C 中任何一个的下午都可以测试 D，安排完该同学后，其余两同学的测试方法只能有 3 种，故共有 339 种测试方法 高考四元聚焦 理 数 学海网 34 由乘法原理和加法原理，总的测试方法共有 24(29)264 种 高考四元聚焦 理 数 学海网 35 高考四元聚焦 理 数 学海网 36 1.(2012 浙江卷)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A60 种 B63 种 C65 种 D66 种 D 高考四元聚焦 理 数 学海网 37 解析：解析：从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即 C441 种方法； 第二类是取两个奇数， 两个偶数， 即 C25C2460 种方法；第三类是取四个奇数，即 C455，故有 160566 种方法，故选 D. 高考四元聚焦 理 数 学海网 38 2.(2012 陕西卷)两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A10 种 B15 种 C20 种 D30 种 C 高考四元聚焦 理 数 学海网 39 解析：解析：首先分类计算假如甲赢，比分 30 有 C331 种情况；比分 31 共有 C233 种情况，分别是前 3 局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是 32 共有 C246 种情况，就是说前 4 局 22，最后一局获胜，前 4 局中，用排列方法，从 4 局中选 2 局获胜，甲一共就 13610 种情况获胜乙获胜也有 10种情况，所以所有可能出现的情形有 101020 种，故选C. 高考四元聚焦 理 数 学海网 40 3.(2012 山东卷)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为( ) A232 B252 C472 D484 C 高考四元聚焦 理 数 学海网 41 解析：解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张， 若都不同色则有 C14C14C1464 种； 若 2 张颜色相同，则有 C23C12C24C14144；若红色卡片有 1 张，则剩余 2 张若不同色，有 C14C23C14C14192 种；若同色则有 C14C23C2472，所以共有 6414419272472，故选C. 高考四元聚焦 理 数 学海网 42 4.(2012 全国卷)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 A 高考四元聚焦 理 数 学海网 43 解析：解析：第一步先排第一列有 A336，再排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有 62种，故选 A. 高考四元聚焦 理 数 学海网 44 5.(2013 四川卷)从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是( ) A9 B10 C18 D20 C 高考四元聚焦 理 数 学海网 45 解析：解析：首先从 1,3,5,7,9 这五个数中任取两个不同的数排列， 共有A2520种排法， 因为3193，1339， 所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是 20218，故选 C. 高考四元聚焦 理 数 学海网 46 谢谢观看！谢谢观看！