2012年高考数学 考点40 椭圆

考点40 椭圆一、选择题1.（2012浙江高考文科8）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（ ）A.3 B.2 C. D. 【解题指南】分别设出椭圆与双曲线的方程,根据其焦点相同和M，O，N将椭圆长轴四等分得出离心率之间的关系.【解析】选.设双曲线的方程为，椭圆的方程为，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以， 又所以.2.（2012江西高考文科8）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【解题指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列建立的方程，转化为离心率，解方程得e.【解析】选B. 因为A、B为左右顶点，为左右焦点，所以，又因为成等比数列，所以即，所以离心率.3.（2012新课标全国高考文科4）与（2012新课标全国高考文科4）相同设是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A B. C. D.【解题指南】根据题意画出图形，寻求所满足的数量关系，求得离心率。【解析】选C.设直线与轴交于点，则，在中，故，解得，故离心率.二、填空题4.（2012福建高考理科13）已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.【解题指南】运用等比数列的基本知识和基本定义和公式设边，运用余弦定理求解三角形【解析】依次设三边为，则最大边为，最大角的余弦值为.【答案】.5.（2012江西高考理科12）设数列都是等差数列.若，则_【解题指南】根据等差数列的性质，整体得到三者所满足的关系，求得的值.【解析】均是等差数列，根据等差数列的性质，即，35.【答案】35.6.（2012江西高考理科13）椭圆 的左、右顶点分别是A、B，左右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为_【解题指南】由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列建立的方程，转化为关于离心率的方程，解方程得e.【解析】为左右顶点，为左右焦点，所以，又因为成等比数列，所以，即，所以离心率【答案】.三、解答题7.（2012广东高考理科20）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由.【解题指南】 (1)根据题意可知从而可解出a,b的值。问题得解.（2）先求出原点到直线的距离，再利用圆的弦长公式，求出|AB|的长，进而求出,再根据在椭圆上，因而,从而确定出m的值，n的值。问题得解.【解析】（1）由题意得,椭圆C的方程为.(2)假设存在，设原点到直线的距离为d,则 ,在椭圆上，当且仅当,即此时.显然存在这点的点或,使的最大，最大值为.8.（2012广东高考文科20）在平面直角坐标系中，已知椭圆:（）的左焦点为,且点在.（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线同时与椭圆和抛物线:相切，求直线的方程.【解题指南】 (1)根据题意可知从而可解出a的值，问题得解.（2）由题意得直线的斜率一定存在且不为0，设出直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，根据直线与椭圆和抛物线相切时满足判别式等于0，可求得直线的方程. 【解析】（1）由题意得,椭圆的方程为.(2) 由题意得：直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程因为椭圆C的方程为 消去得直线与椭圆相切，.即直线与抛物线:相切，则消去得 即由（1）（2）解得所以直线的方程.9.（2012陕西高考文科20）与（2012陕西高考理科19）相同已知椭圆:，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程.【解题指南】（1）根据已知椭圆方程求出长轴、短轴、焦距等值即可求C2的方程；（2）设而不求的方法表示A、B的坐标，分析向量的关系，确定直线AB的特殊性，然后求直线AB的斜率是关键.【解析】（）由已知可设椭圆C2的方程为（），其离心率为，故，则，故椭圆C2的方程为.（）（解法一）A，B两点的坐标分别记为，由及（）知，O，A，B三点共线且点A，B不在轴上，因此可设直线AB的方程为，将代入椭圆方程得，所以，将代入中，得，所以，又由得，即，解得，故直线AB的方程为或.（解法二）A，B两点的坐标分别记为，由及（）知，O，A，B三点共线且点A，B不在轴上，因此可设直线AB的方程为，将代入椭圆方程得，所以，由得，将代入椭圆C2的方程中，得，即，解得，故直线AB的方程为或. - 6 -