专题八-三角恒等变换及辅助角公式

恐八-三角恒等变换及辅助角锐乐思教育Really Simple专题八三角恒等变换及辅助角公式一、基本内容串讲1 .两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin(a/7) = sinfzcos/7costzsin p ;cos(a ft) = cos a cos p+sin a sin p ;/ t tan tan Z7 tan(a P) =1 + tan a tan p对其变形：tana+tanB=tan(a + B) (1- tana tanB),有时应用该公式比较方便。2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2a = sin a cos a.cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a -1 = 1 - 2 sin?。.-2 tan atan 2a =；-.1 Taira要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角一降次，降角一升次).特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，COS2a =1号2a.sin2a =匚产 这两个形式常22用。3 .辅助角公式：对于般形式sina + /?cosa(“、6不全为零)，如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？./ 1. f, ub、asina + bcosa = yja + b ( ,sin a + cos a)4a? +.2 JT=+/Jsin(a + 0)fa aCOS /?=，、其中辅助角耳曲6干确定，即辅助角(通常。然，) sin B = . , y/a2 +Z?2的终边经过点(我们称上述公式为辅助角公式，其中角耳为辅助角。4 .简单的三角恒等变换(1)变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。锐乐思教育Really Simple锐乐思教育Really Simple（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5 .常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、sin 20,cos400 + cos 200 sin 400 的值等于（）42、若tana = 3, tan/?=,则tan（a-/?）等于（）3考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos工cos红的值等于（）554、已知工，且cos/= 3,那么sin2Z等于（）25考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知匕11（0 + /7） = 2.11（/-工）=,则111（0 + 乂）的值等于（ ）54442211596、已知sina + sin/7 = 5，cosa + cos/ = ,则cos（。-/?）值等于（）7、函数/（x） = cos2（x - j1） + sin2（x + *） l 是（C ）（A）周期为2%的奇函数（B）周期为2乃的偶函数（C）周期为兀的奇函数（D）周期为江的偶函数三、解题方法分析1,熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名 称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理 解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要 抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。sin 502 cos 25：则有(acb )例 1 设 a = ! cos 6。一避 sin 6，力=一?理,22l + tair13【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：.1 . -sin2a). )、 2tana -sm a cos a = sin 2a , cos a =, cos* a-sirr a = cos2a , - = tan 2a ,22sina1-tarral2sinacosa = (sin 6z cosor)2 ,1 + cos2a = 2cos2 a ,1 -cos2a = 2sin2 a ,1 + cos2a. 、1 -cos2a./0、八0、cos* a =, sin- a =, tan a 十tan P =tan( a + p )tan a tan P )22等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为+b。sin(x +。)艮|J asinx+bcosx= 7a2 +b2 sin(x + 0)(其中 tan = 2)是常用转化手段。 a特别是与特殊角有关的sin土cosx, sinx V3 cosx,要熟练掌握其变形结论。2 .明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口 (1)运用转化与化归思想，实现三角恒等变换、【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及 二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用 该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、 名称、形式的变换问题。例 2.己知印 cos(。-)二存 sinSG=一|,求 sin2。的 (本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的 特点，2。= (a ) + (a + )例 3.化简：2sin50 +sinlO (l+x/3 tanlO0 ) Jsin? 80。.【点评】：本题属于“理解”层次,解题的关键在于5锐乐思教育Really Simple灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的 三角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式 成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底， 分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数, 能求值的尽量求出值来。(2)运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的 实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中, 可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式 列出关于未知数的方程求解。例 4：已知 sin (。+ ) =-, sin (。一)=-,求屋、)二no 二的值。34tan /7 tan(z + /7)tan2/?tan(a + /7)tan2 cr - tan(a + /7)tail/?tan(cr + 夕)- tan a tan 夕 _ tan(z + /?)-tan(6z + /)(1 - tan a tan /) tana _【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题 中的条件运用方程思想达到求值的目的。(3)运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系, 把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解,解题时要特别注意新元的范围。6锐乐思教育Really Simple例5：若sin a +ski/=上,求cosa+ cos/7的取值范围。 2【解析】：令 cos a + cos /3 = t,则(sin a + sin /7)2 + (cos a + cos /3)2 =r + , 2即 2 + 2cos(z_夕)=b + g = 2cos(a-/7) = r2八)3八1,7x/14V14 ttrt 714- 亚：.-2r-一一rr-, Bp-cosa + cos6-2222222【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子32 + 3月看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3 .关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何 等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例 6：已知：向量” =(,一1) , S = (sin2x, cos2x),函数=(1)若/(x) = 0且0xv乃，求x的值；工=或与1212(2)求函数/(x)取得最大值时，向量与B的夹角.【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力.四、课堂练习1 sinl65 - () A B. C. D 22449锐乐思教育Really Simple132 . sinl40cosl60+sin760cos74 的值是（） A.D.- 2IT473 .已知xe （一一,0）, cosx = ,则 tan2x= （） A. 25244 .化简 2sin （ - -x） sin （其结果是（44A. sin2x B . cos2x C . cos2x5 . sin cos上 的值是（）1212A. 0 B. V2 C.、历 D. 2 sin-12_1 - tan2 754/、6 .的值为（）A. 273 B. C. -2V3 D.- 337 .若cos = g, sinj = q,则角6的终边一定落在直线（）上。A. 7x+24y = 0B. 7x-24y = 0 C. 24.v+7y = 0 D. 24.r-7y = 08 . cosQ + /7）cos p + siii（z + /7）sin p =.2B.724B- ID. sin2x2D.-24T-1 - tan 15c9.1 + tanl5c10 . tan 20 + tan40 + 百tan 20 tan40 的值是.11 .求证：一）S =lsin2 .12.已知 tan2a 求 tanc 的值.一 m 4313 .已知0 vx v2,sin（2一x） = *,求一的值。4413 尸、cos（ + x）414 .若 A e（0,/r）,且sinA + cosA =1，求-54:上d 的值。13 15sin A-7cosAc15.在中，若 sia4sin庐cos?,则被7是（）A.等边三角形C不等边三角形B.等腰三角形D.直角三角形16.化简17.求证:1 +sin 2-cos 28l + sin2 + cos 20l-2sina-cosa _ 1-taiia cos2 a-sin2 1 + taiia