导数的四则运算习题课(好)

).(ln8)1, 0( ).(log7 ).(6)0( ).(5 ).(cos4 ).(sin3 ).(2 )( . 1xaaxeaaxxxcaxx且且 复习公式复习公式 （一）基本初等函数的导数公式（一）基本初等函数的导数公式 01 xxcosxsin aaxlnxeaxln1x1（二）导数的运算法则（和差积商的导数）（二）导数的运算法则（和差积商的导数） )()(. 3)()(.2)()( . 1xgxfxgxfxgxf)( )( xgxf )( )()()( xgxfxgxf 2)()( )()()( xgxgxfxgxf 轮流求导之和轮流求导之和 上导乘下上导乘下,下导乘上下导乘上,差比下方差比下方 （二）导数的运算法则（二）导数的运算法则 推论：推论： )(1. 2)(.1xfxcf)( xcf2)()( xfxf 例例 1：求下列函数的导数求下列函数的导数 (1)yx(x21x1x3)； (2)yexsin x； (3)yx3x23. 解：解：(1)yx(x21x1x3)x311x2， 解解：(2)y(exsin x)(ex)sin xex(sin x) y3x22x3. 解解：(3)y(x3x23) x3 x23 x3 x23 x23 2 exsin xexcos x ex(sin xcos x) x23 x3 2x x23 2 x26x3 x23 2. 题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型一：导数公式及导数运算法则的应用 练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数: 322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案: 2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx 54(6);yx 3(7);2yx 如何用导数解决与切线有关的问题? 题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用 设切点 求出切线方程 依据题意，代人条件 代数求解 得到结论 1.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 2.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤： （2）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。 0()fx（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 000( )( )().yf xf xxx（1 1）找切点）找切点 一、已知切点，求曲线的切线一、已知切点，求曲线的切线 曲线的切线问题，是高考的常见题型之曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：主要有以下几类问题： 例例 1、函数、函数lgyx在点在点1,0处处 的切线方程是的切线方程是_ 一、已知切点，求曲线的切线一、已知切点，求曲线的切线 曲线的切线问题，是高考的常见题型之曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：主要有以下几类问题： 例例 2.已知函数已知函数 yxlnx （1）求这个函数的导数）求这个函数的导数 （2） 求这个函数的图像） 求这个函数的图像在点在点1x 处的切线方处的切线方程程 【变式训练【变式训练】 1若曲线若曲线 yx2axb 在点在点(0，b)处的切线处的切线方程是方程是 xy10， 则， 则 a ， b a1，b1 2已知点已知点P在曲线在曲线 y4ex1上，上，为曲线在为曲线在点点P处的切线的倾斜角，则处的切线的倾斜角，则的取值范围的取值范围是是 34，) 例例 3 3：已知直线已知直线 l l1 1为曲线为曲线 y yx x2 2x x2 2 在点在点(1,0)(1,0)处的切线，处的切线，l l2 2为该曲线的另一条切线，且为该曲线的另一条切线，且 l l1 1ll2 2. . (1)(1)求直线求直线 l l2 2的方程；的方程； (2)(2)求由直线求由直线 l l1 1、l l2 2和和 x x 轴所围成的三角形的面积轴所围成的三角形的面积 解解：(1)y(1)y2x2x1.1. 题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用 直线直线 l l1 1的方程为的方程为 y y3x3x3.3. 设直线设直线 l l2 2与与曲线曲线 y yx x2 2x x2 2 的的切切点点 P(xP(x0 0,y,y0 0) )， 则则 l l2 2的的斜率斜率 k k2 2x x0 0+1+1 因为因为 l l1 1ll2 2， 所以直线所以直线 l l2 2的方程为的方程为 y y1 13 3x x22229 9. . 则有则有 2 2x xo o1 11 13 3，x xo o2 23 3. . 92013232220200 xxy(2)(2)解方程组解方程组 y y3x3x3 3，y y1 13 3x x22229 9， 得得 x x1 16 6，y y5 52 2. . 所以直线所以直线 l l1 1和和 l l2 2的交点坐标为的交点坐标为 ( (1 16 6，5 52 2) ) l l1 1、l l2 2与与 x x 轴交点的坐标分别为轴交点的坐标分别为(1,0)(1,0)、( (22223 3，0)0) 所以所求三角形的面积为所以所求三角形的面积为 S S1 12 225253 3|5 52 2| |1251251212. . .2342的距离的最小值到直线上任意一点，求点是曲线点例xyPxyP方法一：方法一： )3,(2 ttP设设的距离的距离则该点到直线则该点到直线02 yx2|2)3(|2 ttd2|1|2 tt2|43)21(|2 t243)21(2 t.823)413,21(,21到直线有最小距离到直线有最小距离时，点时，点即即当当PPt .23. 42的距离的最小值到直线上任意一点，求点是曲线点例xyPxyP方法二：方法二： 12108642-2-4-15-10-5510152xy 2 xymxy P.322相切相切与曲线与曲线相平行的直线相平行的直线设与设与 xymxyxy mxyxy32032 mxx0)3(41 m411 m0412 xx21 x)413,21(P823 d.23. 42的距离的最小值到直线上任意一点，求点是曲线点例xyPxyP方法三：方法三： 12108642-2-4-15-10-5510152xy 2 xyP),(32002yxPxyxy相切于点相切于点平行的直线与曲线平行的直线与曲线设与直线设与直线 12)(00 xxf则则)413,21(P823 d例例 5 5：点：点 P P 是曲线是曲线 y ye ex x上任意一点，求点上任意一点，求点 P P 到直线到直线 y yx x的最小距离的最小距离 解：根据题意设平行于直线解：根据题意设平行于直线 y yx x 的直线与曲线的直线与曲线 y ye ex x相切于点相切于点(x(x0 0，y y0 0) )，该切点即为与，该切点即为与 y yx x 距离最近的点，如图距离最近的点，如图 则在点则在点(x(x0 0，y y0 0) )处的切线斜率为处的切线斜率为 1 1， yy(e(ex x)e ex x， 即即 y|y|x xx x0 01.1. eex x0 01 1，得，得 x x0 00 0， 代入代入 y y0 0e ex x0 0，得，得 y y0 01 1， 利用点到直线的距离公式得距离为利用点到直线的距离公式得距离为2 22 2. . 即即 P(0,1)P(0,1) 练习练习5 .22)(1(*项和项和的前的前，求数列，求数列处的切线的斜率为处的切线的斜率为在在设曲线设曲线nnaaxNnxxynnn ,1 nnxxy解：解：nnxnnxy)1(1 nnxnnnya2)1(212 112)22(2 nnnn12)2( nn122 nnnannnS2121)21( 1 该数列是首项为该数列是首项为1，公比为，公比为2的等的等比数列。比数列。 .2. 62121212221方程线？写出这个公切线的有且仅有一条公切和取什么值时，问：当线的公切和是的切线，则称和同时是直线若：和：已知抛物线例CCaCClCClaxyCxxyC8642-2-4-6-8-15-10-551015xxy22 axy 2如图，如图，C1,C2在在P点和公切线相切，点和公切线相切，设切点横坐标为设切点横坐标为x.则有：则有： P xxaxxx222222 2121ax1),43,21( kP41 xy公切线公切线练习练习6 .,),2 , 1 (:2231的值有公切线，求实数且在点过点都经和已知两曲线cbaPPcbxxyCaxxyC 2121cba解：根据题意有：解：根据题意有： 1, 1 cbaxxyC 31:4)13()(1213 xxxxx两曲线在点两曲线在点P处有公切线，所以处有公切线，所以 42)2()(112 bbxcbxxxx2 b1 c从而从而课后练习课后练习1 已知函数已知函数 f(x)=2x3+ax 与与 g(x)=bx2+c 的的图象都过点图象都过点 P(2, 0), 且在点且在点 P 处有公共切线处有公共切线, 求求 f(x)、g(x) 的表达式的表达式. 解解: f(x)=2x3+ax 的图象过点的图象过点 P(2, 0), a=- -8. f(x)=2x3- -8x. f (x)=6x2- -8. g(x)=bx2+c 的图象也过点的图象也过点 P(2, 0), 4b+c=0. 又又g (x)=2bx, 4b=g (2)=f (2)=16, b=4. c=- -16. g(x)=4x2- -16. 综上所述综上所述, f(x)=2x3- -8x, g(x)=4x2- -16. 课后练习课后练习2 已知曲线已知曲线 S: y=x3- -6x2- -x+6. (1)求求 S 上斜率最小的切线方程上斜率最小的切线方程; (2)证明证明: S 关于切点对称关于切点对称. (1)解解: 由已知由已知 y =3x2- -12x- -1, 当当 x=2 时时, y 最小最小, 最小值为最小值为 - -13. S 上斜率最小的切线的斜率为上斜率最小的切线的斜率为 - -13, 切点为切点为 (2, - -12). 切线方程为切线方程为 y+12=- -13(x- -2), 即即 13x+y- -14=0. (2)证证: 设设 (x0, y0) S, (x, y) 是是 (x0, y0) 关于关于 (2, - -12) 的对称点的对称点, 则则 x0=4- -x, y0=- -24- -y. (x0, y0) S, - -24- -y=(4- -x)3- -6(4- -x)2- -(4- -x )+6. 整理得整理得 y=x3- -6x2- -x+6. (x, y) S. 曲线曲线 S 关于切点关于切点 (2, - -12) 对称对称. 下下课课了了 ！