（全国通用）高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数 第4节 数系的扩充与复数的引入课件 文 新人教A

第第4节节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 最新考纲 1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 知知 识识 梳梳 理理 a 内容 意义 备注 复数的概念 形如abi(aR，bR)的数叫复数，其中实部为 ，虚部为_ 若b0，则abi为实数；若a0且b0，则abi为纯虚数 复数 相等 abicdi (a，b，c，dR) b a=c且b=d 共轭复数 abi 与 cdi 共轭 (a，b，c，dR) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 叫实轴，y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ对应的复数为 zabi， 则向量OZ的长度叫做复数 zabi 的模 |z|abi| a=c且b=-d x轴 a2b2 2.复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数 zabi 复平面内的点 (a，bR). (2)复数 zabi(a，bR) 平面向量OZ. Z(a，b) 3.复数的运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1 z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1z2abicdi（abi）（cdi）（cdi）（cdi） acbd（bcad）ic2d2(cdi0). 常用结论与微点提醒 1.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*. 2.(1i)22i；1i1ii；1i1ii. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.( ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ) 解析 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1) (2) (3) (4) 诊诊 断断 自自 测测 2.(2016 全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a( ) A.3 B.2 C.2 D.3 解析 因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3. 答案 A 3.(2017 全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意，得z12i，其在复平面内所对应的点位于第三象限. 答案 C 4.(2017 江苏卷)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_. 答案 10 解析 z(1i)(12i)13i，所以|z| （1）232 10. z2i. 答案 2i 解析 z43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i， 5.(选修 12P63B1 改编)已知(12i)z43i，则 z_. 考点一考点一 复数的有关概念复数的有关概念 【例 1】 (1)(2017 全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1i)2 B.i2(1i) C.(1i)2 D.i(1i) (2)(2017 全国卷)设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|( ) A.12 B.22 C. 2 D.2 (3)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( ) A.3，2 B.3，2 C.3，3 D.1，4 解析 (1)由(1i)22i为纯虚数知选C. (3)(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2. 答案 (1)C (2)C (3)A (2)z2i1i2i（1i）（1i）（1i）2i22i1，则|z| 1212 2. 规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部. 【训练 1】 (1)(2018 广东名校联考)已知 z13i3i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数的虚部为( ) A.i B.i C.1 D.1 (2)(2017 全国卷)设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足1zR，则 zR； p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1z2； p4：若复数 zR，则zR. 其中的真命题为( ) A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4 p2：若z21，满足z2R，而zi，不满足zR，故p2不正确； p3：若z11，z22，则z1z22，满足z1z2R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确； p4：因复数zR，所以z的虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确. 答案 (1)D (2)B (2)p1：设 zabi(a，bR)，则1z1abiabia2b2R，得到 b0，所以 zR，故p1正确； 解析 (1)z13i3i（13i）（3i）（3i）（3i）i，则zi，则z的虚部为 1. 考点二考点二 复数的几何意义复数的几何意义 【例2】 (1)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为( ) A.(1，1) B.(1，1) C.(1，1) D.(1，1) (2)(2017 北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，) D.(1，) 解析 (1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1). 答案 (1)D (2)B (2)(1i)(ai)a1(1a)i 的对应点在第二象限，则a10，a1. 规律方法 1.复数 zabi(a，bR)一一对应Z(a，b)一一对应OZ(a，b). 2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. A.E B.F C.G D.H (2)(2016 北京卷)设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_. 【训练 2】 (1)若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数z1i的点是( ) 解析 (1)由题图知复数z3i， (2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1. 答案 (1)D (2)1 表示复数z1i的点为 H. z1i3i1i（3i）（1i）（1i）（1i）42i22i. 考点三考点三 复数的运算复数的运算 【例 3】 (1)(2017 全国卷)3i1i( ) A.12i B.12i C.2i D.2i (2)i 为虚数单位，i607的共轭复数为( ) A.i B.i C.1 D.1 (3)(2017 全国卷)(1i)(2i)( ) A.1i B.13i C.3i D.33i (2)因为i607(i2)303 ii，i的共轭复数为i. (3)由题意(1i)(2i)23ii213i. 答案 (1)D (2)A (3)B 解析 (1)3i1i（3i）（1i）（1i）（1i）2i. 规律方法 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式. 【训练 3】 (1)(2017 山东卷)已知 aR，i 是虚数单位.若 za 3i，z z4，则 a( ) A.1 或1 B. 7或 7 C. 3 D. 3 (2)1i1i62 3i3 2i_. 答案 (1)A (2)1i (2)原式（1i）226（ 2 3i）（ 3 2i）（ 3）2（ 2）2i662i3i 651i. 解析 (1)由已知得(a 3i)(a 3i)4，a234，解得 a1.