[初二数学]全等三角形复习练习题

全等三角形练习、复习、过关测试合肥大地学校：许皖教学内容讲解一、教学内容：三角形单元复习1. 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边；2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180，直角三角形两锐角互余；3. 三角形中的三条主要的线段：三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点；4. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；5. 三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；6. 直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”. 二、复习指导1. 应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）. 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若ABCDEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则ABC与DEF是对应角，边AC与边DF是对应边. 2. 判定两个三角形全等的解题思路：3. 运用三角形全等可以证明两线段或两角相等，在直接找不到两个全等三角形时，可考虑添加辅助线构造全等三角形. 三、思想方法1. 转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题就是转化思想的运用. 2. 运动变化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化，需要运用运动变化的思想进行解决. 3. 构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形变换的方法构造全等三角形. 4. 分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合法去寻找证题的一种方法. 四、学习重难点：1. 两个能够重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 全等三角形的判定方法有（1）SAS；（2）ASA；（3）AAS；（4）SSS. 对直角三角形全等的判定除以上方法外，还有HL. 3. 两个三角形的两边和一角对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形不一定全等. 【典型例题】考查要点1、三角形三边关系：例1、如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个分析：本题主要考查三角形三边之间的关系，三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.即abca+b. 解：设三角形的第三边的长为x，则92x9+2，即7x11，由于三角形的周长为奇数，而两边的和2+9=11为奇数，因此，第三边必须为偶数，所以，第三边的长可以为8和10，因此，满足条件的三角形有两个。选B。例2、已知等腰三角形的周长是24cm，（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；（2）已知其中一边长为6cm，求其他两边长.分析：1、计算（1）可以通过设未知数来进行计算，得出方程，通过求方程的解从而求出答案，其中体现了方程思想。2、计算（2）要注意分两种情况考虑，因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，所以通过其中一边长为6cm，求其他两边的长应该分成两种情况考虑：一种是6cm长的边为腰，另一种是6cm长的边为底，体现了数学中的分类讨论思想。并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边。解：（1）设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据题意，得 x+2x+2x=24x=4.8腰长=2x=24.8=9.6 （cm）（2）因为长为6cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算当长为6cm的边为腰时，则底边为 2462=12（cm）6+6=12 两边之和等于第三边，所以6cm长为腰不能组成三角形，舍去。当长为6 cm的边为底边时，则腰长为（246）2=9（cm）6cm、9cm、9cm可以组成三角形三角形其他两边长为9 cm.做一做：1、已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（）A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 5答案：B2、现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：B3、甲地离学校，乙地离学校，记甲乙两地之间的距离为，则的取值为（）A. B. C. 或D. 答案：D考查要点2、三角形内角和例3、如图，已知A=27，CBE=90，C=30，求ADE的度数。分析：1、要求一个角的度数，可以先看一下它所处的位置：如果是某个三角形的一个内角，可以考虑用三角形内角和定理来计算，如果是某个三角形的外角，可以考虑用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来计算。本题中的ADE只能是BFD或者AED的内角，不可能是某个三角形的外角。2、本题可以通过设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题中的方程思想。解：设ADE=XCBE=90，C=30（已知）DEC=180（CBE+C）=180（90+30）=60（三角形内角和定理）又DEC=A+ADE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）60=27+XX=6027=33即ADE=33练一练：1、三角形的三个内角的度数比为123，则这个三角形的三个内角分别为（ ）A. 10，20，30B. 30，60，90C. 30，70，80D. 不确定2、下面对三角形三个角的判断正确的有（ ）至少有一个角小于60； 不可能三个角都大于60；可以有两个角大于60； 一定要有两个角小于60；三个角都可以是60. A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3、如图所示，ECAF于点E，F=40，C=20，求FBA的度数. 4、ACD叫ABC的外角，它与ACB相邻，与另两个角不相邻. 猜想ACD与A，B的关系并利用所学的知识验证. 考查要点3、三角形的三线（角平分线，中线、高线）例4、如图，和的平分线交于点. （1）填空：当时，_；当时，_；（2）当时，_. 例5、ABC中，BM是ABC的中线，已知AB=5cm，BC=3cm，求ABM与BCM的周长的差. 例6、如图，中，于. 猜想与的关系，并说明你的理由. 试一试：1、已知：，为的角平分线，则（）A. B. C. D. 2、具备下列条件的三角形，不是直角三角形的是（）A. B. C. D. 3、在中，为钝角，画出：（1）的平分线；（2）边上的中线；（3）边上的高线. 4、三角形的三条高所在的直线_交于一点. （填“能”或“不能”）5、如图，是的角平分线，则_；是的中线，则_. 6、如图，在中，边上的高是_. 考查要点4、三角形全等的判定：例7、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E. 则四边形AECF的面积是_. 分析：本例看似是正方形的问题，其实质是考查全等三角形的判定. 由于EAF=BAD=90可得出EAB=DAF，ABE=D=90，AB=AD，ABEADF，所以，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16. 解：因为EAF=BAD=90，所以EAB=DAF，ABEADF四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16.例8、如图，在ABC与DEF中， 给出以下六个条件：AB=DE；BC=EF；AC=DF；A=D；B=E；C=F，以其中三个条件作为已知，不能判断ABC与DEF全等的是（ ）. A. B. C. D. 分析：三角形全等的判定方法有：“边、边、边”、“边、角、边”、“角、边、角”或“角、角、边”.本题可采用排除法寻找答案. “、 （真）” 为“边角边”判定方法；“、（真）”为“边边边”判定方法；“、 （真）”为“角角边”判定方法；“、（假）”，为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法，因此，不能判断ABC与DEF全等的是D.例9、如图，已知：CEAD于E，BFAD于F，你能说明BDF和CDE全等吗？ 若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是_，说明这两个三角形全等，并写出证明过程. 分析：题目要证明的两个三角形全等已满足两组角对应相等，但三角形全等至少要有一组边对应相等，因此，需要补充一组边对应相等.解：补充的条件为：BD=CD，DE=DF或BF=CE.若补充BD=CD.证明过程如下：CEAD于E，BFAD于F，所以，F=CED.BDFCDE.例10、将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上. （1）求证：ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明. 分析：充分利用边相等或角相等或互余的关系.（1）证明：由题意可知ABCDEF，因而A=D，而A+B=90，故D+B=90，即BPD=90，所以，ABED.也可以利用两直线平行，内错角相等证明A=D.（2）若PB=BC，则有ABCDBP.ABCDBP.注：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：APNDCN；DEFDBP；EPMBFM.考查要点5、三角形全等的判定的开放性问题类型1、条件探索型例11、（1）如图，点B在AE上，CAB=DAB，要使ABCABD，可补充的一个条件是： （写一个即可）。（2）如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得AODCOB，你添加的条件是 （只需写一个）。（3）如图，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E. 其中能使成立的条件有（）。A. 个B. 个C. 个D. 个解析：两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS，结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键。（1）已知CAB=DAB，隐含有AB=AB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AC=AD，ABC=ABD和ACB=ADB中的任一个；（2）隐含有AOB=COD，利用已知AB=CD，故AO=OC或OB=OD；（3）已知1=2，AC=AD，从而DAE=CAB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AB=AE，ACB=ADE和B=E。类型2、结论探索型例12、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是 。解析：该题是结论探索题，题设已有AC=AD，隐含AB=AB，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加BC=BD，CAB=DAB，得CABDAB；隐含AE=AE，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加CE=DE，CAE=DAE，得CAEDAE。证明略。类型3、猜想证明型例13、如图，在ABD和ACE中，有下列四个等式：AB=AC AD=AE 1=2 BD=CE。请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）。解析：此题为探索、猜想、判断并证明的试题，我们要认真观察、作出判断再加以说明。考题提供了四个论断，让我们创编一道“知其三可推一”的数学问题。我们的思路就是按着两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS逐一验证。通过验证发现满足“SSS”，得ABDACE，有1=2；满足“SAS” ，得ABDACE，有BD=CE。和满足“SSA”得不出三角形全等。故符合要求的问题有两个。现列举一个：已知：如图5，在ABD和ACE中AB=AC ，AD=AE，1=2，则BD=CE。证明：在ABD和ACE中，由1=2，得BAD=CAE。又AB=AC ，AD=AE，所以ABDACE，所以BD=CE。练习巩固：1、如图，已知：BDEF，BCEF，现要说明ABCDEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件；若要以“ASA”为依据，还缺条件；若要以“AAS”为依据，还缺条件，并说明理由. 2、已知：如图，AB=AC，ADBC，垂足是F，P是AD上任意的一点，请说明：PB=PC. 3、如图，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D. 请说明：AE=CD. 4、如图，ABCD，AB=CD，点B，E，F，D在一条直线上，A=C. 请说明：AE=CF. 5、如图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予说明. 6、如图，AB，CD相交于点O，AOBO，ACDB. 那么OC与OD相等吗？说明你的理由 . 7、如图，在一小水库的两测有A，B两点，请设计一种方案能用皮尺测量出A，B两点的距离（只说明设计方案，不要求数据计算，要求画出草图，并说明理由）. 8、已知：如图，AE=CF，DAF=BCE，AD=CB. 问：ADF与CBE全等吗？请说明理由. 考查要点6、三角形全等的应用：例14、某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，设计时要测量隧道的长度. 小山前面恰好是一块空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖的隧道的长度？说明道理. 点拨：A、B两点直接测量有难度，因此，可利用山前面的空地，构造全等的两个三角形，使含AB的一对对应边相等，则测量出对应边的长，即得出AB的长. 解：方法：可在空地上取一个能直接到达A点、B点的点O，连结AO延长到D，使ODOA；连接BO延长到E，使OEOB。连结DE并测出它的长度，则DE的长就是A、B间的距离. 理由：AOBDOE（SAS）ABDE（全等三角形，对应边相等）. 例15、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性. 点拨：直接测量A、B间的距离有困难，而若用上题中的方法，则会出现这种情况：得到的O点在河中间，很难取到；即使O点取好，而寻找的全等三角形中AB的对应边CD的两点仍然在河的两岸，与A、B的位置相同，因此此法不可取. 要寻求另一种使对应边在岸上的方法. 利用下面图示568的方法就可以. 解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CDBC。过点D作BE的垂线DG，并在DG上取一点F，使A、C、F在一条直线上，这时测得的DF的长就是A、B间的距离. 理由：ABBE，DGBE BBDF90ABCFDC（ASA）ABDF（全等三角形对应边相等）. 注意：要注意区分这两种情况，根据具体情况或题目的语言叙述来判断. 最明显的区别是第一种没有垂直的情况，利用SAS证全等；而第二种有垂直的情况，利用ASA证明三角形全等. 当然，若特殊情况，需具体分析. 【课堂小结】同学们今天我们主要复习了三角形一章，本章的内容非常重要，它是今后进一步学习的基础，全等三角形在今后的学习中尤为重要，望同学们认真复习巩固。【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）。1. 现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）A. 10cm的木棒B. 20cm的木棒 C. 50cm的木棒 D. 60cm的木棒*2. 在下图中，正确画出AC边上高的是（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 如图，PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，且PDPE，则APD与APE全等的理由是（ ）. A、SAS B、AAS C、SSS D、HL*4. 已知ABC的三个内角A、B、C满足关系式B+C=3A，则此三角（ ）A、一定有一个内角为45B. 一定有一个内角为60C. 一定是直角三角形D. 一定是钝角三角形*5. 在下列条件中：A+B=C，ABC=123，A=90B，A=B=C中，能确定ABC是直角三角形的条件有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个6. 如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（ ）. A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形7. 如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的图形是（）A、甲和乙B、乙和丙C、只有乙D、只有丙8. 下列说法正确的是（ ）三角形的三条角平分线必交于一点，且交点必定在三角形的内部。全等三角形的边，角对应相等。两个内角分别对应相等的两个三角形全等。有两边及一角对应相等的两个三角形全等。A. B. C. D. 9. 如图，已知CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，那么图中全等三角形共有（ ）对.A. 3 B. 4 C. 5 D. 610. 如图，已知在ABC中，AB3，AC4，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围（ ）A、3AD4B、1AD7C、AD3D、AD二、填空题（每题2分，共20分）11. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是 . 12. 一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和6 cm，则它的周长是_cm. 13. 如果一个三角形的两个内角是20、30，那么这个三角形是 三角形. 14. 直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于_。15. 如图，ABDABC，C100，ABD30，那么 DAB . 16. 已知ABCABC，若ABC的周长为23，AB=8，BC=6，则AC= ，B1C1 。*17. 如图，在ABC与DEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上 = 或 ，就可证明ABCDEF 18. ABC中，若A=80，I为三条角平分线交点，则BIC= . *19. 若三角形的三边长分别为x1，x，x+1，则x的取值范围是 .20. 我们来探究 “雪花曲线”的有关问题：下图（3）是边长为1的正三角形， 将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如下图（4）；再将下图（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如下图（5），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于 。三、操作与解释（21题8分；22题4分；23，24每题6分）*21. 没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗？请说明理由. （1）小彬的做法如图，角平分线刻度尺画法：利用刻度尺在AOB 的两边上，分别取ODOC. 连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E. 画射线OE. 所以射线OE为AOB的角平分线. （2）小红的做法 如图，角平分线三角板画法：利用三角板在AOB 的两边上，分别取OMON. 分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P. 画射线OE. 所以射线OP为AOB的角平分线. *22. 初一（1）班的篮球拉拉队同学，为了在明天的比赛中给同学加油助威，提前每人制作了一面同一规格的三角形彩旗. 小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗. （1）请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形；（2）解释你作图的理由。23. 如图，ABCD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，A=C.求证：AE=CF.说明：证明过程中要写出每步的证明依据.24. 如图，已知ABDE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.四、观察与比较（25，26每题6分 27，28每题8分）25. 如图AB、CD相交于点O，AOBO，ACDB。那么OC与OD相等吗？说明你的理由。 26. 如图，在一小水库的两测有A、B两点，请设计一种方案能用皮尺测量出A、B两点的距离（只说明设计方案，不要求数据计算、要求画出草图，并说明理由。）。 *27. 如图AB=12米，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米；点Q从点B向点D运动，每分钟走2米；P，Q两点同时出发，运动几分钟后，CAPPBQ，并说理由。*28. 已知如图，12，34，点P在AB上，可以得出PCPD吗？为什么？五、探究与思考（29题10分；30题8分）*29、（1）已知：如图，AECF，DAFBCE，ADCB。问：ADF与CBE全等吗？请说明理由。 （2）如果将BEC沿CA边方向平行移动，可有下列幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗？请说明理由。*30. （1）如图，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C. ABC中，A30，则ABCACB 度，XBCXCB 度；（2）如图，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么ABXACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABXACX的大小. 【试题答案】 1. B 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D11. 三角形的稳定性 12. 14；16 13. 钝角14. 135 15. 50 16. 9；6 17. B，DEF AB，DE 18. 130 19. ；20. 21.（1）小彬的做法正确。在COE和DOE中COEDOE，COE=DOE，OE为AOB的平分线.（2）小红的做法正确。在RtPOM和RtPON中RtPOMRtPON，POM=PON，OP为AOB的平分线.22.理由略23. 证明：ABCD，B=D（两条直线平行，内错角相等）.又AB=CD，A=C，ABECDF（ASA）.AE=CF（全等三角形对应边相等）. 24. 解：此图中有三对全等三角形.分别是：ABFDEC、ABCDEF、BCFEFC.证明：ABDE，A=D.又AB=DE、AF=DC，ABFDEC. 25. OC与OD相等；可证AOCBOD根据角边角.26. 解：在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长至D，使得AC=CD，连接BC并延长至E，使得BC=CE，连接DE，则DE的长度就是A、B之间的距离. 理由：在ABC和DEC中，AC=DC，ACBECD BC=ECABCDECDE=AB27. 当P，Q运动4分钟后，BP=4米，BQ=8米，则AP=124=8（米）=BQ，又AC=BP=4米，AB=90，所以 CAP PBQ 28. 解PCPD. 理由：在ABD和ABC中ABDABC（ASA）AD=AC，在APD和APC中，PCPD. 29. 理由：（1）ADF与CBE全等；AECFAEEFCFEF即AF=CE又DAFBCE，ADCBADFCBE（2）结论成立，理由类同30.（1）150，90；（2）不变化。ABX+ACX=ABCXBC+ACBXCB=（ABC+ACB）（XBC+XCB）=15090=60第一组：基本训练图7QCPAB例1如图7，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论2.如图，在ABC中，AB=AC,BAD=20,且AE=AD,则CDE= 。例3.如图在66的网格（小正方形的边长为1）中有一个ABC，则ABC的周长是 。例3请作一条直线，将下面的三角形分成两个三角形，是每个三角形都是 等腰三角形，并标出相关的数据。三角平分线、线段的垂直平分1)。角平分线性质定理： 。 逆定理： 。2）。垂直平分线定理： 。 逆定理： 。 例1如图，在中，平分，那么点到直线的距离是cm例2. 如图，在ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E, BCE的周长等于18cm, 则AC的长等于（ ）(A) 6cm (B) 8cm(C)10cm (D) 12cm例3. 如图，RtABC中，C=90, CAB=30, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.例4.如图，已知在RtABC中，C=90, BD平分ABC, 交AC于D.(1) 若BAC=30, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2) 若AP平分BAC，交BD于P, 求BPA的度数.5.如图，ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。求证：BF=FC.1、尺规作图举例AOB例1（06长沙）如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）4.如图，已知。（1）边的垂直平分线（2）作AC上的高（3）作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）ABC例5. （05 四川）如图，内宜高速公路和自雅路在我市相交于点，在内部有五宝和正紫两个镇，若要修一个大型农贸市场，使到的距离相等，且使，用尺规作出市场的位置（不写作法，保留作图痕迹）ACOBD 一、全等三角形1、全等三角形的概念及其性质1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。2）.全等三角形性质：（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等2.全等三角形的判定方法1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）例1已知：如图，在中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG。求证：AG=AD.例2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：例3.如图，在中,AB=AC,点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M是BC中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.例4.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，连接AE。 求证：AE=AC。例5.如图，C为AB上一点，、是等边三角形.直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F .(1) 求证：AN=BM。(2) 求证：是等边三角形(3) 将ACM绕点C逆时针方向旋转90,其他条件不变，在右图中补出符合要求的图形并判断(1)、（2）两小题结论是否仍然成立(不要求证明)例6.如图，在中，。是中点.(1) 写出点O到的三个顶点A、B、C的距离关系.(2) 如果点M、N分别在AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断的形状，并证明你的结论.例7.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请说明理由。2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )例1.如图,AD是的平分线，M是BC中点，FM/AD，交AB于E。 求证：BE=CF。例2.如图，梯形ABCD中，AB/CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F（1） 求证：（2） 若BCAB,BC=10,AB=12,求AF.例3.如图，在矩形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DEAG于E，且DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论. 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )例1.如图，在中,分别以AB、AC为边在的外侧作正三角形ABE与正三角形ACD。DE与AB交于F。求证:EF=FD。 例2.如图，在中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且,AD=DE 求证：.例3.如图，在中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE交于F，ABC=45，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。（1）ADBD, （2）AEBF （3）AC=BF.4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1.如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE. 例2如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DEAB。例4. 如图，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。求证：MB=MC5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )例1、如图在中,，沿过点B一条直线BE折叠，使点C恰好落在AB变的中处则A的度数等于多少？ 1题 2题 3题例2.如图，M是BC中点，DM平分。求证：AM平分例3.如图，AD为的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD. 求证：BEAC 例4.如图，在中,ACB=90,D是AC上一点，AEBD，交BD的延长线于点E，又AE=BD，求证：BD是ABC的平分线。第二组：综合训练一、选择题1如图，给出下列四组条件：；其中，能使的条件共有（ ）A1组B2组C3组D4组2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处若，则等于（ ）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）AB CDCADPB图（四）A B C D 4.如图，在ABC与DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是( ) (A)B=E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)A=D，B=E（D）A=D，BC=EF5如图，ABC中，C = 90，AC = BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC = 10cm，则DBE的周长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）1处2处3处4处7某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点已知，则的度数为（ ）A B C D9如图，=30，则的度数为（ ）A20 B30C35 D4010如图，ACAD，BCBD，则有（ ）AAB垂直平分CD BCD垂直平分ABCABCAB与CD互相垂直平分DCD平分ACBADCEB11尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS 12.如图, C=90,AD平分BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A B平分C D垂直平分14.如图，已知那么添加下列一个条件后，ABCD仍无法判定的是（ ）A BCDOBAPODPCAB15.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）第1个第2个第3个ABCD二、填空题1.如图，已知，要使 ，可补充的条件是 （写出一个即可）2.如图,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,且AB=5cm,则DEB的周长为 _3.如图，请你添加一个条件： ，使（只添一个即可）4.如图，在ABC中，C=90ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。DOCBABACEBD5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 6.已知：如图，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）。8.如图所示，AB = AD，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE，则需要添加的条件是_.OABCDEAB D E C三、解答题1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使（1）求的度数；（2）求证： 3.如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .EDCBA4.如图，D是等边ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由5.如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点MB CA DMN（1）求证：ABCDCB ；（2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论6.（如图，四边形的对角线与相交于点，求证：（1）；DCBAO1234（2）7如图，在和中，现给出如下三个论断：；请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题21（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：（2）请选择一个真命题加以证明 你选择的真命题是：证明：8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD9如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CEBDCFA郜E10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明11（7分）已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：12如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由