第一章 §2 综合法与分析法

第一章 2 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 阅读下面的例题 例：若实数 a ， b 满足 a b 2 ，证明： 2a 2b 4. 证明： 因为 a b 2 ，所以 2a 2b 2 2a2b 2 2a b 2 22 4 ，故 2a 2b 4 成立 问题 1 ：本题利用什么公式？ 问题 2 ：本题证明顺序是什么？ 提示：从已知到结论 提示：基本不等式 综合法 (1)含义：从命题的 出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过 推理，一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法 (2)思路：综合法的基本思路是 “由因导果 ” (3)模式：综合法可以用以下的框图表示： 其中 P为条件， Q为结论 条件 演绎 结论 P Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 3 Q n Q 你们看过侦探小说 福尔摩斯探案集 吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据 问题 1：他的推理如何入手？ 提示：从结论成立入手 问题 2：他又是如何分析的？ 提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件 问题 3：这种分析问题方法在数学问题证明可以借鉴吗？ 提示：可以 分析法 (1)含义：从求证的 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的 ，直到归结为这个命题的 ，或者归结为 等这种证明问题的思维方法称为分析法 (2)思路：分析法的基本思路是 “执果索因 ” (3)模式：若用 Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示： 结论 充分条件 条件 定义、公理、定理 Q P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 得到一个明显成立的条件 1综合法是从 “已知 ”看 “可知 ”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件它的证明格式为：因为 ，所以 ，所以 所以 成立 2分析法证明问题时，是从 “未知 ”看 “需知 ”，执果索因逐步靠拢 “已知 ”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件它的证明格式：要证 ，只需证 ，只需证 因为 成立，所以 成立 例 1 已知 a ， b 是正数，且 a b 1 ，求证： 1a 1b 4. 思路点拨 由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论 精解详析 法一： a ， b 为正数，且 a b 1 ， a b 2 ab ， ab 12， 1a1ba bab1ab 4. 法二 ： a ， b 为正数， a b 2 ab 0 ，1a1b 21ab 0 ， ( a b )(1a1b) 4 ， 又 a b 1 ， 1a1b 4. 法三 ： a ， b 为正数， 1a1ba baa bb 1 baab 1 2 2 abba 4 ， 当且仅当 a b 时，取 “ ” 号 一点通 从 “已知 ”看 “可知 ”，逐步推向 “未知 ”，由因导果，其逐步推理，实际上是寻找每一步的必要条件，如何找到 “切入点 ”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键 1 在 A BC 中， ACAB c os Bc os C ，证明 B C . 证明： 在 A BC 中，由正弦定理及已知得sin Bsin Cc os Bc os C. 于是 si n B c os C c os B sin C 0 ，即 si n ( B C ) 0 ， 因为 B C 0 时，求证： a2 b222( a b ) 思路点拨 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明，将要证明的不等式一步步转化为较简单的不等式 精解详析 要证 a2 b222( a b ) ， 只需证 ( a2 b2)222 a b 2， 即证 a2 b212( a2 b2 2 ab ) ，即证 a2 b2 2 ab . 因为 a2 b2 2 ab 对一切实数恒成立， 所以 a2 b222( a b ) 成立 一点通 分析法是 “执果索因 ”，一步步寻找结论成立的充分条件它是从求证的结论出发，逆着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达式是 “要证 ，只需证 ” 3 求证： 3 6 4 5 . 证明： 欲证不等式 3 6 4 5 成立， 只需证 3 2 18 64 2 20 5 成立， 即证 18 20 成立， 即证 1820 成立 由于 1820 成立，故 3 6 0 ， y 0 且 x y 1 ， y 1 x 0 ， 只需证明1 1x1 11 x 9 ， 即证 (1 x )(1 x 1) 9 x (1 x ) ， 即证 2 x x2 9 x 9 x2，即证 4 x2 4 x 1 0 ， 即证 (2 x 1)2 0 ，此式显然成立，所以原不等式成立 分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程