方差分析66918

*方差分析（ANOVA）一.样本容量相等时的单因素方差分析1.预备知识（1）记 : I=总体数或者是处理数;=第1个总体的均值（期望）或者是当第1种处理使用时的期望观测值. . . = 第个I总体的均值（期望）或者是当第I种处理使用时的期望观测值所要做的假设为： 备择假设为： Ha: at least two of the are different （2）Xi,j=随机变量 (rv)记录第i个总体的第j个测量，或者是第i个处理的第j个实验 xi,j = Xi,j的观测值 一些常用的统计量为： （3）这I个总体或处理的分布满足正态分布且有有相同的方差，即 (4) 每个处理的均方为： 对应的误差均方为： (5) 2.原假设 : 备择假设 Ha: at least two of the are different (J 个观测值是随机分布) 检验统计量为： with 当 H0不被排斥时,;但当H0被排斥时, 也就是说，H0不被排斥时，这两个统计量都是总体方差的无偏估计量；但H0被排斥时，MSTr 趋向于超过 。3.方差分析中的多重比较： 当H0 被排斥时 ,我们可以继续对 进行分析，看看具体那些存在差异，这个过程被称为是多重比较过程。 Tukeys Procedure (the T method ): Tukeys Procedure 涉及到另外一个概率分布的应用，这个概率分布称为Studentized range distribution. 这个分布决定于两个参数:分子的自由度为m, 分母的自由度为 ,记为在分子的自由度为m,和分母的自由度为时的上侧分位数值（置信度为1-）， 的值会在特定的表中给出 .此时 可以用来估计成对的的置信区间 .结论是 置信度为 对应的区间为 注: 每一个不包括0的区间表明 在水平 是差异显著 . Tukeys Procedure的快速求解过程的步骤:（1）选择 并且从对应表中找到.（2） 计算 （3）把样本的均值按从大到小的顺序排列，当一对均值的差值小于是在这一对均值下面划横线. 这样，最后不在一条直线上的均值表明它们之间差异显著。二.当样本容量不相等时的单因素方差分析 当来自每个总体或者处理的样本容量不相等时，记 J1 , J2 .JI分别为I个样本的容量，记为总的观测值个数。此时对应的统计量和检验过程就为： 于是检验的统计量为：此时若用Tukeys procedure，和样本容量相等时的唯一不同之处在于： 其他方法与样本容量相等时相同。三.两个因素的方差分析1.当Kij=1时的两个因素方差分析（1） 预备知识：Xij= 记录当因素A处在i水平而且因素B处在j水平时的随机变量。Xij= Xij的观测值 （2）结构模型为 这里满足的条件为 （3）原假设和备择假设为： 其检验过程为：几者的关系为： 其检验表为： 假设检验统计量排斥区间（4）Turkeys Procedure 当H0A或者H0B被排斥时，就可以进一步利用Turkeys Procedure进行多重比较。其步骤为：（1）选择 并且从对应表中找到因素A对应的分位数 .因素B对应的分位数 .（2） 计算 （3）按因素A和B分别把样本的均值按从大到小的顺序排列，当一对均值的差值小于是在这一对均值下面划横线. 这样，最后不在一条直线上的均值表明它们之间差异显著。2.当Kij1时的两个因素方差分析 （1）准备知识： （2）结构模型*（3）原假设及备择假设：相关统计量为：几者之间的关系为： 并且有 假设检验为: 假设检验统计量排斥区间（4）Turkeys procedure 当H0A不被排斥时，并且A和B两个因素中至少有一个被检验有显著差异是，就可以利用Turkeys procedure具体的步骤为（以A差异显著为例）：（1）选择 并且从对应表中找到因素A对应的分位数 .（2） 计算 （3）按因素A把样本的均值按从大到小的顺序排列，当一对均值的差值小于是在这一对均值下面划横线. 这样，最后不在一条直线上的均值表明它们之间差异显著。 对于因素B类似四、三个因素的方差分析 （1）模型为： （2）基本的统计量为： 并且满足：（3）假设及检验：原假设检验统计量排斥区间（4）拉丁方设计的方差分析：其模型为： 在这里 并且满足： 其对应的统计量为：几者的关系为：假设检验为：原假设检验统计量排斥区间