矿山测量学第五章 测量误差的基本知识

51 测 量 误 差 的 概 念 52 衡 量 精 度 的 指 标 53 误 差 传 播 定 律 及 应 用 第 五 章 测 量 误 差 的 基 本 知 识 51 测 量 误 差 的 概 念 测 量 误 差 按 其 对 测 量 结 果 影 响 的 性 质 ， 可 分 为 ：系 统 误 差 和 偶 然 误 差 。一 系 统 误 差 (system error)1 定 义 ：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2 特 点 ：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 例 如 ： 钢 尺 尺 长 误 差 、 钢 尺 温 度 误 差 、 水 准仪 视 准 轴 误 差 、 经 纬 仪 视 准 轴 误 差 。 二 偶 然 误 差 (accident error)1、 定 义 ：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、 特 点 ： （ 见 图 ）（ 1） 具 有 一 定 的 范 围 。（ 2） 绝 对 值 小 的 误 差 出 现 概 率 大 。（ 3） 绝 对 值 相 等 的 正 、 负 误 差 出 现 的 概 率 相 同 ，数 学 期 限 望 等 于 零 。 即 ： 此 外 ， 在 测 量 工 作 中 还 要 注 意 避 免 粗 差 (gross error)（ 即 ： 错 误 ） 的 出 现 。 0lim nn 四 个 特 性 ：有界性，趋向性，对称性，抵偿性。 0limlim 21 nn nnn -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y误 差 分 布 频 率 直 方 图正 态 分 布 曲 线 52 衡 量 精 度 的 指 标 一 、 中 误 差 (mean square error) 1.用 真 误 差 （ true error） 计 算 中 误 差 的 公 式 。，XlXl iii 为 观 测 值 的 真 值为 观 测 值真 误 差 ：标 准 差 公 式 ： 为 观 测 值 的 个 数nnn lim nnm n 22221 中 误 差 公 式 为 ： 2.用 改 正 数 计 算 中 误 差 的 公 式 iii lxlnlv 当观测值的真值未知时：设 某 未 知 量 的 观 测 值 为 ： nlll , 21nln lllx n 21 则 该 量 的 算 术 平 均 值 为 ： 则 该 量 的 改 正 数 ： 1 nVVm计算得：观测值的中误差 二 、 相 对 误 差 (relative error) 1、 相 对 中 误 差 =2、 往 返 测 较 差 率 K=三 、 极 限 误 差 (limit error)或 容 许 误 差 (tolerance） 常 以 两 倍 或 三 倍 中 误 差 作 为 偶 然 误 差 的 容 许 值 。MDm 1 MDD DD 12/)( 返往 返往 53 误 差 传 播 定 律 对 于 能 直 接 观 测 的 量 (如 角 度 、 距 离 、 高 差 等 )， 经 过多 次 观 测 后 ， 便 可 通 过 真 误 差 或 改 正 数 计 算 出 观 测 值 的 中误 差 ， 作 为 评 定 观 测 值 精 度 的 标 准 。 但 在 实 际 工 作 中 ， 某些 未 知 量 不 可 能 或 不 便 于 直 接 进 行 观 测 ， 而 需 要 由 另 一 些直 接 观 测 量 根 据 一 定 的 函 数 关 系 计 算 出 来 ， 这 些 未 知 量 即为 观 测 值 的 函 数 。 例 如 ， 在 水 准 测 量 中 ， 两 点 间 的 高 差h=a-b， 则 h是 直 接 观 测 值 a和 b的 函 数 ； 在 三 角 高 程 测 量 的计 算 公 式 中 ， 如 果 觇 标 高 v等 于 仪 器 高 i， 则 h=ltan ， 这时 ， 高 差 h就 是 观 测 值 l和 的 函 数 ， 等 等 。 本 节 所 要 讨 论 的 就 是 在 观 测 值 中 误 差 为 已 知 的 情 况 下 ，如 何 求 观 测 值 函 数 中 误 差 的 问 题 。 阐 述 观 测 值 中 误 差 与 函数 中 误 差 之 间 数 学 关 系 的 定 律 ， 称 为 误 差 传 播 定 律 。 1、 倍 数 函 数设 有 函 数 Z=Kx 式 中 x为 直 接 观 测 值 ， 其 中 误 差 为 mx； 为常 数 ； Z为 观 测 值 x的 函 数 。 若 对 x作 n次 同 精 度 观 测 ， 则 有 ： m 2 2mx2 或 m mx 上 式 表 明 ： 对 于 倍 数 函 数 ， 函 数 的 中 误 差 等于 观 测 值 中 误 差 的 K倍 。 2、 和 、 差 函 数 设 有 函 数 Z=x y 式 中 ， x、 y为 两 个 相 互 独 立 的 观 测 值 ， 均作 了 n次 观 测 ， 其 中 误 差 分 别 为 mx和 my。 用同 样 的 方 法 可 推 导 出 : mz2=mx2+my2 ),( 21 nxxxFZ 设 函 数 x1 为 独 立 观 测 值 ，则 有 全 微 分 nn dxxFdxxFdxxFdZ 2211转 换 成 中 误 差 关 系 式 即 误 差 传 播 定 律 ： 2222222121 nnZ mxFmxFmxFm 3、 一 般 线 性 函 数