种群的相互依存

楚雄师范学院数学系数学模型课程教 学 论 文题 目： 种群的相互依存模型 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2009级01班 学 号： 20091021108 学生姓名： 尹仙菊 完成日期： 2011 年 12 月种群的相互依存摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立了可以独立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。关键词：微分方程 稳定性 平衡点 Logsitic模型 种群 matlab一、问题的提出自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。植物可以独立生存，昆虫的授粉又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活。事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。其发展和演进有着什么样的定性性质呢？二、问题的复述如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。这种共生现象可以描述如下：甲乙两种群的相互依存有三种形式：1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。三、模型建立及求解（一）基本假设1、该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。2、 考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。3、 区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。(二）符号说明t：时间 、：两物种与时刻的个体数、：两种群的最大容纳量 、：两种群的固有增长率：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍数：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的倍（三）分三种情况讨论：形式一：甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。1、模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。2、模型建立种群甲的数量演变规律可以写作 （1） 式子中的+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物。的含义是，单位数量乙（相对于）提供的甲的食物量为单位数量甲(相对于)消耗的供养甲食物的倍。种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为，则乙单独存在时有 （2）甲为乙提供食物，于是（2）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有 （3）式中表示甲为乙提供食物是乙消耗的 倍显然仅当时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用， （3）式右端还要添加Logistic项，方程变为 （4） 方程（1）、（4）构成相互依存现象的数学模型。3、模型求解下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。令,可得平衡点:， ,线性化矩阵为A=对于，有，于是当时，稳定；对于，有，稳定条件为p，q=0,于是当时，稳定；对于，有，知q恒小于零，所以一定不稳定。综上所述，得到方程（1）、（4）的平衡点及其稳定性分析的结果列入下表一：平衡点Pq稳定条件不稳定表一 种群依存模型的平衡点及其稳定性显然，点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，下面着重分析稳定的条件。局部稳定性分析： 可知，只在情况下，稳定，甲乙才分别趋向非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又互相提供食物，将使二者均趋向无穷。全局稳定性分析：由点的表达式容易看出，要使平衡点有实际意义，即位于相平面第一象限（x1,x2=0),必须下面两个条件中的一个：而由表一中点的p，q可知，仅在条件下才是稳定的（而在下是鞍点，不稳定）。图一画出了条件下相轨线的示意图，其中。直线将相平面划分成4个区域：从四个区域中的正负不难看出其相轨线的趋向如图一所示。图一 稳定的相轨线图4、结果分析：分析条件的实际意义，其关键部分是。考虑到的含义，这表示种群甲要为乙提供足够的食物维持其生长。而则是在条件下为使位于相平面第一象限所必须的，当然这要求很小（是必要条件）。注意到的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长。在种群依存模型（1）、（4）中如果平衡点稳定，那么种群乙灭绝，没有种群的共存。即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。在时，平衡点是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。5、数值模拟(1)为求微分方程组(（1）和（4） 及初始条件的数值解,（并作图)，分析稳定点的数值解. 设=0.7, =0.3 , =1, =0.9, =2500,=2000,=8000, =6000,用MatLab 软件求解.首先建立M文件，如下：function f=shier(t,x)r1=0.7;r2=0.3;b1=1;b2=0.9;N1=8000;N2=6000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);并保存为“shier.m”，然后在Maltab命令窗口中输入下列程序： ts=0:0.5:20; t,x=ode45(shier,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：17t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.5000 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000x =1.0e+003 *2.5000 2.00003.4717 1.72784.5454 1.52785.6193 1.38206.5928 1.27587.4002 1.19838.0187 1.14148.4639 1.09838.7723 1.06428.9741 1.03669.1017 1.01319.1796 0.99229.2221 0.97339.2433 0.95579.2504 0.93909.2467 0.92309.2371 0.90759.2249 0.89259.2101 0.87789.1932 0.86349.1757 0.84949.1583 0.83569.1406 0.82219.1227 0.80889.1050 0.79579.0876 0.78299.0703 0.77039.0533 0.75809.0365 0.74589.0200 0.73399.0038 0.72218.9878 0.71068.9721 0.69938.9566 0.68818.9414 0.67728.9265 0.66648.9118 0.65588.8973 0.64548.8831 0.63528.8692 0.62518.8554 0.6152可得、及相轨线如图二、图三。图二 数值解、的图形图三 相轨线的图形由图可知，甲种群的数量随着时间的增加而增加。即甲可以独自生存，乙不能独自生存。亦即当时，平衡点是稳定点，此时种群依存模型是全局稳定的。验证了平衡点的稳定条件是正确的。(2)为求微分方程组(（1）和（4）) 及初始条件的数值解,（并作图) , 分析稳定点的数值解. 设=0.7, =0.3 , =0.8, =1.2, =2500,=2000,=8000, =6000,用MatLab 软件求解.首先建立M文件，如下：function f=shier1(t,x)r1=0.7;r2=0.3;b1=0.8;b2=1.2;N1=8000;N2=6000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);并保存为“shier1.m”，然后在Maltab命令窗口中输入下列程序： ts=0:0.5:20; t,x=ode45(shier1,ts,2500,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.5000 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000x =1.0e+004 *0.2500 0.20000.3404 0.17550.4402 0.15820.5409 0.14640.6342 0.13880.7140 0.13440.7777 0.13240.8259 0.13210.8619 0.13300.8883 0.13480.9067 0.13730.9201 0.14030.9306 0.14350.9388 0.14700.9456 0.15070.9516 0.15460.9569 0.15860.9618 0.16270.9667 0.16690.9715 0.17130.9763 0.17580.9811 0.18030.9859 0.18500.9909 0.18980.9960 0.19471.0011 0.19971.0064 0.20481.0118 0.21001.0173 0.21541.0229 0.22081.0286 0.22641.0345 0.23211.0405 0.23791.0466 0.24381.0528 0.24981.0592 0.25601.0657 0.26231.0723 0.26871.0791 0.27521.0860 0.28191.0931 0.2887可得、及相轨线如图四、图五。图四 数值解、的图形图五 相轨线的图形由图可知，甲乙种群的数量都随着时间的增加而增加，但甲增加的数量较大，乙刚开始有一段下滑，说明不能独自生存，随着甲给它提供食物，数量开始增加。即甲可以独自生存，乙不能独自生存，甲乙一起生存时相互提供食物。亦即当时，平衡点是稳定点，此时种群依存模型是全局稳定的。验证了平衡点的稳定条件是正确的。形式二：甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。1、模型假设甲、乙均可以独自生存，数量变化均服从Logistic规律; 甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2、模型建立种群甲的数量演变规律可以写作 （5） 式子中的+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物。的含义是，单位数量乙（相对于N2）提供的甲的食物量为单位数量甲(相对于N1)消耗的供养甲食物的倍。种群乙的数量演变规律可以写作 （6） 方程（5）、（6）构成相互依存现象的数学模型。3、模型求解下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。令,可得平衡点:， ,，线性化矩阵为A=对于，有，知q恒小于零，故一定不稳定；对于，有，稳定条件为p，q0,于是当时，稳定；对于，有，知p恒小于零，所以一定不稳定。对于，有，知q恒小于零，所以一定不稳定。综上所述，得到方程（5）、（6）的平衡点及其稳定性分析的结果列入下表二：平衡点Pq稳定条件不稳定不稳定不稳定表二 种群依存模型的平衡点及其稳定性显然，只有在的情况下，平衡点是稳定的，此时甲乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。4、结果分析：注意到的含义，这实际上是对乙向甲提供食物加以限制，以防止甲的过分增长。在种群依存模型（5）、（6）中如果平衡点稳定，那么两种群共存。在时，平衡点是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。5、数值模拟为求微分方程组(（5）和（6） 及初始条件的数值解,（并作图) , 分析稳定点的数值解. 设=0.7, =0.6 , =0.6, =0.7, =1000,=2000,=6000, =5000,用MatLab 软件求解.首先建立M文件，如下：function f=shier2(t,x)r1=0.7;r2=0.6;b1=0.6;b2=0.7;N1=6000;N2=5000;f=r1*x(1).*(1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);并保存为“shier2.m”,然后在Maltab命令窗口中输入下列程序： ts=0:0.5:20; t,x=ode45(shier2,ts,1000,2000)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：t = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000 8.0000 8.5000 9.0000 9.5000 10.0000 10.5000 11.0000 11.5000 12.0000 12.5000 13.0000 13.5000 14.0000 14.5000 15.0000 15.5000 16.0000 16.5000 17.0000 17.5000 18.0000 18.5000 19.0000 19.5000 20.0000x =1.0e+004 *0.1000 0.20000.1452 0.24650.2086 0.30030.2941 0.36270.4031 0.43520.5323 0.51970.6744 0.61660.8200 0.72340.9600 0.83561.0893 0.94591.2037 1.04831.3010 1.13851.3829 1.21341.4482 1.27451.5004 1.32191.5397 1.35911.5706 1.38661.5935 1.40721.6085 1.42411.6220 1.43461.6305 1.44351.6377 1.44921.6422 1.45391.6462 1.45671.6483 1.45941.6507 1.46071.6526 1.46161.6514 1.46421.6550 1.46261.6529 1.46501.6540 1.46481.6540 1.46531.6547 1.46511.6546 1.46541.6551 1.46511.6548 1.46551.6556 1.46501.6553 1.46531.6546 1.46581.6556 1.46511.6545 1.4660可得、及相轨线如图六、图七。图六 数值解、的图形图七 相轨线的图形由图可知，刚开始时，甲乙数量的增长幅度相对小，随着一起生存，增长幅度增大，最终分别都达到两种群的最大容量。即甲乙均可以独自生存，一起生存时相互提供食物，促进增长。符合得到的平衡点稳定性条件： 形式三：甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。1、模型假设甲乙均不能独自生存，甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长；甲乙各自的增长分别又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。2、模型建立种群甲的数量演变规律可以写作 （7） 式子中的+号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物。的含义是，单位数量乙（相对于）提供的甲的食物量为单位数量甲(相对于)消耗的供养甲食物的倍。1中的号，表示甲受到自身的阻滞作用。种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为，则乙单独存在时有 （8）甲为乙提供食物，于是（8）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有 （9）式中表示甲为乙提供食物是乙消耗的倍显然仅当时种群乙的数量才会增长。与此同时乙的增长又会受到自身的阻滞作用， （9）式右端还要添加Logistic项，方程变为 （10） 方程（7）、（10）构成相互依存现象的数学模型。3、模型求解下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。令,可得平衡点:， ,，线性化矩阵为A=对于，无实际意义。对于，有，稳定条件为p，q0,于是矛盾，故不稳定；综上所述，得到方程（7）、（10）的平衡点及其稳定性分析的结果列入下表三：平衡点Pq稳定条件不稳定稳定表三 种群依存模型的平衡点及其稳定性4、结果分析：在种群依存模型（7）、（10）中如果平衡点稳定，在任一条件下均稳定，那么种群的共存。5、数值模拟为求微分方程组(（7）和（10）及初始条件的数值解、（并作图) , 分析稳定点的数值解.设 =0.2,=0.3 ,b1=2.6,b2=2.5,=1000,=1200,=6000, =5000，用MatLab 软件求解.首先建立M文件，如下：function f=shier3(t,x)r1=0.2;r2=0.3;b1=2.6;b2=2.5;N1=6000;N2=5000;f=r1*x(1).*(-1-x(1)./N1)+b1.*x(2)./N2);r2*x(2).*(-1-x(2)./N2)+b2.*x(1)./N1);在Maltab中输入下列程序： ts=0:1:20; t,x=ode45(shier3,ts,1000,1200)plot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid执行得到的数值结果为：t = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x =1.0e+003 *1.0000 1.20000.8862 0.93840.7696 0.73340.6583 0.57140.5566 0.44300.4666 0.34170.3886 0.26230.3220 0.20030.2659 0.15230.2189 0.11540.1799 0.08710.1477 0.06560.1211 0.04920.0992 0.03690.0813 0.02760.0665 0.02060.0545 0.01530.0446 0.01140.0365 0.00850.0299 0.00630.0244 0.0047可得、及相轨线如图八、图九。图八 数值解、的图形图九 相轨线的图形 由图像可知，随着t的增加，、 逐渐减少，即种群甲乙的数量随着时间的增加而减少。亦即甲乙均不能独自生存。而甲乙一起生存时，种群的数量在增加，说明甲乙一起生存时，相互提供食物。 四、模型评价（1） 本模型在建立过程中充分考虑到自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象的普遍性，得出最佳的模型；（2） 在模型的数值模拟中，利用matlab软件编程进行求解，所得的结果误差小，数据准确合理；（3） 该模型实用性较强，对现实有很强的指导意义。五、参考文献1、 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型（第三版），北京 高等教育出版社2、 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型（第三版），习题解答参考 北京 高等教育出版社19