浙江省磐安县高考数学试题分类专题汇编圆锥曲线新人教A版

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张洲博刘浩宇22高考数学试题分类汇编圆锥曲线一 选择题:1.(福建卷11)又曲线(a0,b0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.C.(3,+)D.2.(海南卷11)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( A )A. (,1)B. (,1)C. (1,2)D. (1,2)3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行,若用和分别表示椭轨道和的焦距,用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出下列式子:; ; ; .其中正确式子的序号是BA. B. C. D. 4.(湖南卷8)若双曲线(a0,b0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)5.(江西卷7)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是CA B C D6.(辽宁卷10)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )ABCD7.(全国二9)设,则双曲线的离心率的取值范围是( B )ABCD8.(山东卷(10)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为A(A) (B) (C) (D)9.(陕西卷8)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( B )ABCD10.(四川卷12)已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点在上且,则的面积为( B )() () () ()11.(天津卷(7)设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为B(A) (B) (C) (D)12.(浙江卷7)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是D (A)3 (B)5 (C) (D)13.(浙江卷10)如图,AB是平面的斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使得ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是B(A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条平行直线14.(重庆卷(8)已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为C(A)=1(B) (C)(D)二 填空题:1.(海南卷14)过双曲线的右顶点为A,右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则AFB的面积为_2.(湖南卷12)已知椭圆(ab0)的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M,则直线FM的斜率等于 . 3.(江苏卷12)在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= 4.(江西卷15)过抛物线的焦点作倾角为的直线,与抛物线分别交于、两点(在轴左侧),则 5.(全国一14)已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 26.(全国一15)在中,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 7.(全国二15)已知是抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点设,则与的比值等于 8.(浙江卷12)已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点若,则=_。8三 解答题:1.(安徽卷22)(本小题满分13分)设椭圆过点,且着焦点为()求椭圆的方程;()当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上解 (1)由题意: ,解得,所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零,记,则且又A,P,B,Q四点共线,从而于是 , , 从而 ,(1) ,(2)又点A、B在椭圆C上,即 (1)+(2)2并结合(3),(4)得即点总在定直线上方法二设点,由题设,均不为零。且 又 四点共线,可设,于是 (1) (2)由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得 (3) (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上2.(北京卷19)(本小题共14分)已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1()当直线过点时,求直线的方程;()当时,求菱形面积的最大值解:()由题意得直线的方程为因为四边形为菱形,所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上,所以,解得设两点坐标分别为,则,所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知,点在直线上, 所以,解得所以直线的方程为,即()因为四边形为菱形,且,所以所以菱形的面积由()可得,所以所以当时,菱形的面积取得最大值3.(福建卷21)(本小题满分12分)如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.()已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;()设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有,求a的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一:()设M,N为短轴的两个三等分点,因为MNF为正三角形, 所以, 即1 因此,椭圆方程为 ()设 ()当直线 AB与x轴重合时, ()当直线AB不与x轴重合时, 设直线AB的方程为: 整理得 所以 因为恒有,所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时,a2b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0,解得a或a,综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).解法二:()同解法一,()解:(i)当直线l垂直于x轴时,x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1,即1,解得a或a.(ii)当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1), B(x2,y2).设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2 (x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b20时,不合题意;当a2- a2 b2+b2=0时,a=;当a2- a2 b2+b20时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2(舍去),a,因此a.综合(i)(ii),a的取值范围为(,+).4.(广东卷18)(本小题满分14分)设,椭圆方程为,抛物线方程为如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)AyxOBGFF1图4【解析】(1)由得,当得,G点的坐标为,过点G的切线方程为即,令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,同理 以为直角的只有一个。若以为直角,设点坐标为,、两点的坐标分别为和, 。关于的二次方程有一大于零的解,有两解,即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。5.(湖北卷19).(本小题满分13分)如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,是半圆弧上一点,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.()建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;()设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于,求直线斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.(满分13分)()解法1:以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c2,2a2,a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0,b0).则由 解得a2=b2=2,曲线C的方程为()解法1:依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, k(-,-1)(-1,1)(1,).设E(x,y),F(x2,y2),则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d,SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF,则有 综合、知,直线l的斜率的取值范围为-,-1(1-,1) (1, ).解法2:依题意,可设直线l的方程为ykx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F, .k(-,-1)(-1,1)(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时(如图1所示),SOEF当E、F在不同支上时(如图2所示).SODE=综上得SOEF于是由OD2及式,得SOEF=若OEF面积不小于2 综合、知,直线l的斜率的取值范围为-,-1(-1,1)(1,).6.(湖南卷20).(本小题满分13分)若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x02.(I)证明:点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;(II) 试问:点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x0表示):若不存在,请说明理由.解: (I)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)(x1x2),则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm, ym),则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P(x0,0)在直线上,所以 而于是故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知,弦AB所在直线的方程是,代入中,整理得 ()则是方程()的两个实根,且设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-3)0,g(t)在区间(0,4 x0-8)上是减函数,所以0l23时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(x0-1);当2 x03时,点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.8
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