材料力学第五章-梁弯曲时的位移

2021/6/7 1 第 五 章 梁 弯 曲 时 的 位 移 梁 的 位 移 挠 度 及 转 角 梁 的 挠 曲 线 近 似 微 分 方 程 及 其 积 分 按 叠 加 原 理 计 算 梁 的 挠 度 和 转 角 奇 异 函 数 梁 挠 曲 线 的 初 参 数 方 程 梁 的 刚 度 校 核 提 高 梁 的 刚 度 的 措 施 梁 内 的 弯 曲 应 变 能 2021/6/7 2 当 梁 发 生 对 称 弯 曲 时 ， 梁 的 轴 线 在内 弯 成 一 条 平 面 曲 线 。 光滑连续曲线 线 位 移 角 位 移 梁 的挠 曲 线 2021/6/7 3 w = f ( x )小 变 形 情 况 下 ： f = tanq q （ ）q = f ( x ) 图 示 坐 标 下 ： w 为 ， q 转 为 。 2021/6/7 4高 等 数 学 ： 梁 中 性 层 的 曲 率 ： 1r (x) M(x)E Iz=1r (x) w（ 1 w ）2 3/2 2021/6/7 5 = M(x)E Iz w（ 1 w ）2 3/2 2021/6/7 6 挠 曲 线 微 分 方 程挠 曲 线 微 分 方 程= M(x)E Iz w（ 1 w ）2 3/2w（ 1 w ）2 3/2 = M(x)E Izw= M(x)E Iz 2021/6/7 7 等 直 梁 ： E I w M(x)CxxMEI d )(q由 、 确 定 DCxxxxMEIw d d )( 积 分 法 2021/6/7 8 wA 0wB 0wA 0qA 0 挠 曲 线 上 某 些 点 的 （ 挠 度 和转 角 ） 条 件 支 座 处 的 2021/6/7 9 挠 曲 线 的 任 意 点 上 ， 有 的 挠度 和 转 角 当 弯 矩 方 程 需 要 建 立 时 ， 在 相 邻 梁段 的 ， 应 具 有 挠 度 和 转 角 。约 束 条 件连 续 条 件 边 界 条 件本 教 材 中 2021/6/7 10 例 1： 悬 臂 梁 在 自 由 端 受 集 中 力 F作 用 ，试 求 梁 的 转 角 方 程 和 挠 度 方 程 ， 并 求 最 大 转角 和 最 大 挠 度 。 设 梁 的 弯 曲 刚 度 为 EI。P 160 例 5-1 2021/6/7 11 )()( xlFxM )()( xlFxMwEI CFxFlxEIwEI 22q DCxFxFlxEIw 62 32 x = 0 时 ： 0w 0w 0C 0DEIFxEIFlxw 2 2 q EIFxEIFlxw 62 32 2021/6/7 12 例 2： 简 支 梁 在 D点 受 集 中 力 F 作 用 ， 试 求梁 的 转 角 方 程 和 挠 度 方 程 ， 并 求 最 大 挠 度 。 设梁 的 弯 曲 刚 度 为 EI。P 162 例 5-3 2021/6/7 13xlFbxM )(1AD段 （ 0 x a ） ： )()(2 axFxlFbxM DB段 （ a x l ） ： lFbFA lFaFB 2021/6/7 14 xlFbxM )(1AD段 （ 0 x a ） ： 1211 2 CxlFbEIwEI q 1131 6 DxCxlFbEIw xlFbwEI 1 2021/6/7 15 )()(2 axFxlFbxM 22222 2 )(2 CaxFxlFbEIwEI q 22332 6 )(6 DxCaxFxlFbEIw DB段 （ a x l ） ： )(2 axFxlFbwEI 2021/6/7 16 21 ww 21 ww x = a 时 ： 02 wx = l 时 ：01 wx = 0 时 ：确 定 0 21 DD )(6 2221 bllFbCC 2021/6/7 17 22211 26 )( xEIlFbEIlblFbw q 3221 66 )( xEIlFbxEIlblFbw 222222 )(226 )( axEIFxEIlFbEIlblFbw q 33222 )(666 )( axEIFxEIlFbxEIlblFbw 2021/6/7 18 ： 当 a b 时 ， 梁 最 大 挠 度 发 生 在 AD段 。3 220 blx EIlblFbw 39 )( 2/322 max 01 w EI blFbwC 48 )43( 22 对 于 受 任 意 荷 载 的 ， 若 挠 曲 线 上 ，则 可 用 的 挠 度 代 替 最 大 挠 度 。wC 与 wmax 非 常 接 近 ， 最 大 误 差 2.65 。 2021/6/7 19 例 3： 悬 臂 梁 如 图 ， 已 知 F、 a， M 0.5 Fa，梁 的 弯 曲 刚 度 EI 为 常 数 ， 试 画 出 挠 曲 线 的 大 致 形状 。 A B C Da a a 2021/6/7 20 A B C Da a a M 图0.5Fa 0.5FaH， 挠 曲 线 ； ， 挠 曲 线 ；为 挠 曲 线 的 ； ， 挠 曲 线 为 。 2021/6/7 21 例 4： 已 知 一 直 梁 的 挠 曲 线 方 程 为 )23(48 3230 xlxlEIxqw 试 求 ： 端 点 （ x 0 及 x l ） 的 约 束 情 况 ； 画 弯 矩 图 、 剪 力 图 ； 荷 载 情 况 ， 并 画 出 梁 的 简 图 。 2021/6/7 22 )89(48 3230 xlxlEIqw q0)0( w EIlq48)0( 30q0)( lw 0)( lq )23(48 3230 xlxlEIxqw 2021/6/7 230 Sdd)( qxFxq )43(8)( 20 xlxqwEIxM )83(8dd)( 0S xlqxMxF 0)0( M lqF 0S 83)0( 2081)( lqlM lqlF 0S 85)( 2021/6/7 24FS 图 （ q0l ） 38 58M 图 （ q0l 2 ）189128 FS 图 （ q0l ） 38 58189128 2021/6/7 25 当 某 一 （ 如 内 力 、 应 力 、 位 移 等 ） 与 荷载 时 ， 叠 加 原 理 荷 载 作 用 下 引 起 的 参 数 等于 各 个 荷 载 作 用 下 所 引 起 的 参 数 的 。 积 分 法 挠 度 和 转 角 的 梁 上 荷 载 复 杂 时 ， 须 分 段 建 立 弯 矩 方 程 ， 积 分 常 数成 倍 增 长 ， 确 定 积 分 常 数 十 分 烦 琐 。叠 加 法 、 奇 异 函 数 法 （ 初 参 数 法 ） 、 能 量 法 等P 372 附 录 2021/6/7 26 求 wC 、 qA+ wC ( q ) 、 qA ( q )wC (F ) 、 qA (F ) + 2021/6/7 270.5 lA BwB ( q ) 、 qB ( q ) B C0.5 l+ 求 wC 、 qC0.5 l0.5 lA B C 2021/6/7 28 不 仅 可 将 拆 开 ， 进 行 、 叠 加 ； 还 可 将 拆 开 ， 进 行 、 叠 加 。 拆 分 时 不 能 改 变 梁 的 情 况 ； 叠 加 时 不 能 改 变 梁 的 情 况 。 2021/6/7 29 例 ： 外 伸 梁 受 力 如 图 ， 已 知 F、 q、 a， 试用 叠 加 法 求 梁 自 由 端 C 的 挠 度 。 设 梁 的 弯 曲 刚度 为 EI。 2 a aA B C 2021/6/7 302 aA B aB C+qB = qB ( q ) +qB ( M ) wC (F ) 2 a aA B C 2021/6/7 31 一 、 梁 的 刚 度 校 核 max lwlw max qq 2021/6/7 32 60015001 lw 40012001 lw 75015001 lw 10000150001 lw rad005.0rad001.0 q 2021/6/7 33 例 ： 简 支 梁 横 截 面 由 两 个 槽 钢 组 成 ， 受 力 如 图 。已 知 F1 =120 kN、 F2 =30 kN、 F3 =40 kN、 F4 =12 kN；钢 s =170 MPa， t =100 MPa； E =2.1 105 MPa；梁 w / l= 1 / 400。 试 选 择 槽 钢 的 型 号 。P 173 例 5-8 2021/6/7 34S 画内力图 2021/6/7 35 按 选 择 槽 钢 型 号maxmax ss zWM maxsMWz 3cm367查 型 钢 表 (P370) 33 cm356cm2178 zW 3cm367要 正 应 力 强 度 条 件MPa175maxmax ss zWM相 对 误 差 为 3 5 ， 正 应 力 强 度 条 件 。， 选 用 号 槽 钢 。 2021/6/7 36 切 应 力 强 度 条 件dI SF z z maxmaxSmaxt 切 应 力 强 度 条 件查 型 钢 表 （ 号 槽 钢 ） ： mm7d 4cm4.1780zImm200h mm73b mm11MPa4.57t dI hdhbF z 22 )5.0(5.0)5.05.0(2 2maxS 2021/6/7 37 刚 度 41 22max 48 )43(i iiiC EI blbFww m4.01 b m8.0 2 bm9.03 b m6.04 b mm94.4max wmm6 llww max ww 刚 度 条 件 选 用 两 个 号 槽 钢 2021/6/7 38 二 、 提 高 梁 的 刚 度 的 措 施 梁 的 位 移 除 与 梁 的 和 情 况 有 关 外 ，还 与 下 列 因 素 有 关 ： 与 弹 性 模 量 E 成 与 惯 性 矩 I 成 与 跨 长 l 的 n 次 幂 成 梁 的 弯 曲 刚 度 EI 跨 长 和 改 变 结 构 2021/6/7 39 A B A B 2021/6/7 40O qMe qe21MV EIlM2 2 EIMll rq 2021/6/7 41EI xxMV 2 d)(d 2 xEIxMV l d2 )(2应 变 能 弯 曲 应 变 能 （ 弯 曲 变 形 ）剪 切 应 变 能 （ 剪 切 变 形 ）S S 2021/6/7 42lA B 例 ： 悬 臂 梁 长 为 l， 弯 曲 刚 度 为 EI， 受集 中 力 F 作 用 。 试 求 梁 的 应 变 能 ， 并 利 用 功能 原 理 求 A端 的 挠 度 。 P178 例 5-9 2021/6/7 43 lA B横 力 弯 曲 FxxM )( xEIxMV l d2 )(2 l xxEIF0 22 d2 EIlF6 32wA AFwW 21 V EIFlwA 3 3 2021/6/7 44 5 6 ；5 12、 23 ；5 24 。 部 分 资 料 从 网 络 收 集 整理 而 来 ， 供 大 家 参 考 ，感 谢 您 的 关 注 ！