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11分类加法计数原理和分步乘法计数原理学习目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理提示和解决一些简单的应用问题；学习重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 学习难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解自主学习 1 分类加法计数原理问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？思考：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）归纳结论:分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理问题3：用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以,，,的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码： 思考：你能说说这个问题的特征吗？（2）归纳结论:分步乘法计数原理 3注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.展示交流例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？例2 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后两个要求用数字19问最多可以给多少个程序命名？提示：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类拓展巩固1. .书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 反思与收获：121排列学习目标：知道排列数的意义，记住排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。学习重点：排列、排列数的概念学习难点：排列数公式的推导 自主学习：问题1从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？提示：解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 人，有 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 人中去选，于是有 种方法根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 = 种问题2从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？提示：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取 个，有 种方法；第二步确定中间的数，从余下的 个数中取，有 种方法；第三步确定右边的数，从余下的 个数中取，有 种方法由分步计数原理共有： = 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法结论：排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列排列数公式 全排列： 全排列数：（叫做n的阶乘）规定 0! =1 .合作探究例1某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？展示交流： 练习1(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？练习2用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？提示：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题反思与收获122组合学习目标：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。学习重点：组合的概念和组合数公式学习难点：组合的概念和组合数公式自主学习 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同组合数的概念： 组合数公式 规定: .合作探究例1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合例2 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？展示交流： 例3（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？例4在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？拓展巩固14名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？2一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？反思与收获：131二项式定理学习目标：记住二项式定理和二项展开式的通项公式学习重点：二项式定理及通项公式的记住及运用学习难点：二项式定理及通项公式的记住及运用自主学习： ；二项式定理：的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，展开式各项的系数： 每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，它有项，各项的系数叫二项式系数，叫二项展开式的通项，用表示，即通项 特例：合作探究例1展开例2求的展开式中的倒数第项展示交流： 例3展开例4求（1），（2）的展开式中的第项拓展巩固1（1）求的展开式常数项；（2）求的展开式的中间两项2（1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数反思与收获：课题：1. 2 排列与组合【使用说明】独立完成导学案所设计的问题，并在不会或有疑问的地方用红笔标出，规范书写. 课上小组合作探究完成，并及时用红笔纠错，补充.【学习目标】掌握排列、组合问题的解题策略【学习重点】（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略。【学习难点】综合运用解题策略解决问题。【学习过程】一、方法介绍排列问题的应用题是学生学习的难点，也是高考的必考内容,笔者在教学中排列问题归纳为三种类型来解决：特殊方法： （1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。 （3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。二、合作探究（一）.能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法（特殊优先）1.（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？2.某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ （二）.相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)相邻排列问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”37位同学站成一排，(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？（三）.机会均等排列问题(即某两或某些元素按特定的方式或顺序排列的排列问题)解决机会均等排列问题通常是先对所有元素进行全排列,再借助等可能转化，即乘以符合要求的某两（或某些）元素按特定的方式或顺序排列的排法占它们（某两（或某些）元素）全排列的比例，称为“等机率法”；或将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决.4. 7位同学站成一排(1)甲必须站在乙的左边?(2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列?三、反馈练习1.（2005辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）2.（2004. 重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ） A B C D3.（2003京春理）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42 B.30 C.20 D.124. 7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。（1）甲排中间；（2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；（5）甲，乙，丙连排；（6）甲，乙，丙两两不相邻。对排列组合中的“分配”问题的探究一、方法介绍（1）、解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列还是组合问题，牢记排列数和组合数的公式以及组合数的性质，容易产生的错误主要是在分类的过程中，标准不明确，前后不统一，要么重复，要么遗漏，因此在解题时要认真的分析题目的条件，作出正确的分类或分步；（2）、解决排列组合综合问题时，要注意 把具体问题转化为排列或组合问题。 通过分析确定是采用分类计数原理还是分步计数原理。 分析题目的条件，避免选取时重复或遗漏。 列处计算公式，通过排列数或组合数公式计算结果。 下面对排列组合中的“分配”问题做出简单的探究排列组合中的“分配”问题是排列组合中的一类常见问题，如：教师分配到班级中教学；护士、医生分配的学校给学生查体；小球放置在有标号的盒子里等都是排列组合中的常见“分配问题”；下面通过例题，对常见的几种“分配”问题简单作出探究：二、合作探究（一）.相同元素的“分配”问题1.有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？（二）.不同元素的“分配”问题 分析：不同元素的“分配”问题，有时比较容易混淆，作为分配问题，可以分两步来完成，先分组后发放的原则，这样就对分配问题有更加明确的理解；2.有不同的6本书分别分给甲、乙、丙三人，如果甲1本，乙2本，丙3本有多少种方法？如果一人1本，一人2本，一人3本，共有多少种方法？平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？如果每人2本，共有多少种分法？3.把6个不同的小球放在编号为的三个盒子里，要求每个盒子都不空，共多少种不同的方法？ 对排列组合中的“分配”问题练习1. 4.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A168B96C72D1442若，则等于（A）14 12 13 153.用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，2，4不相邻的有（B）360个408个504个576个4.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，则不同的选法有_种.5从6名短跑运动员中选出4人参加4 100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有A180种B240种C300种D360种6.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_种.7.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？8.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.9.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.10.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？11.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？12. 有7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下各有不同站法多少种？（1）2名女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）老师不站中间，女生不站两端。132“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：记住二项式系数的四个性质。学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题自主学习1二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数定义域是，性质：（1） 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等图象的对称轴 （2） 当时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时， 取得最大值；当是奇数时， 取得最大值（3）各二项式系数和： 合作探究：例1在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和例2已知，求：（1）； （2）； （3）.展示交流： 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数拓展巩固1若对于任意实数，有，则的值为（ ）A B C D2如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A.3 B.5 C.6 D.105 的展开式中常数项为 （用数字作答）6若的二项展开式中的系数为，则（用数字作答）反思与收获：15
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